1. http://perso.wanadoo.es/timonmate
Juan J. Pascual 1/3
MMééttooddoo ddee ssuussttiittuucciióónn::
1) RReessuueellvvee:
4x 3y 1
3x 2y 5
 + =
 − =−
DDeessppeejjaammooss llaa xx ddee llaa 11ªª eeccuuaacciióónn
((ppooddrrííaammooss hhaabbeerr eelleeggiiddoo ttaammbbiiéénn
llaa 22ªª eeccuuaacciióónn)) yy lloo oobbtteenniiddoo lloo
lllleevvaammooss aa llaa eeccuuaacciióónn 22ªª::
1 3y
4x 3y 1 x
4
3x 2y 5
3x 2y 5
1 3y
3 2y 5
4
3 9y 8y 20 7y 23
23
y
17
 − + = = ⇒ 
 − =−  − =−
⇓
 −  − = − ⇒  
⇒ − − =− ⇒− =− ⇒
⇒ =
LLlleevvaammooss eell vvaalloorr ddee yy aa llaa 11ªª
eeccuuaacciióónn::
23 17 691 3
1 3y 17 17x x
4 4 4
  −−  −  
= ⇒ = = =
52 13
: 4 x
17 17
−
= ⇒ =−
SSoolluucciióónn::
( )
13 23
x,y ,
17 17
 = −   
22)) RReessuueellvvee:
4x 1
5y
3 2
2x 3y
6
4
− + =−
 − =
QQuuiittaammooss llooss ddeennoommiinnaaddoorreess::
30y4x 3
3 3 2
2x 3y 24
4 4
− + =− ⇒
 − =
4x 30y 3
2x 3y 24
− + =−⇒ 
 − =
AAhhoorraa pprroocceeddeemmooss ddee llaa mmaanneerraa
aaccoossttuummbbrraaddaa::
DDeessppeejjaammooss llaa xx ddee llaa 22ªª eeccuuaacciióónn::
4x 30y 3
3y 24
2x 3y 24 x
2
− + =− +
 − = ⇒ =
LLlleevvaammooss eessttee rreessuullttaaddoo aa llaa 11ªª
eeccuuaacciióónn::
4x 30y 3− + = − ⇒
3y 24
4 30y 3
2
 + ⇒ − + =− ⇒  
( )2 3y 24 30y 3⇒− + + =− ⇒
15
24y 45 y
8
⇒ = ⇒ =
Uno no puede evitar la sensación de que esas ecuaciones matemáticas tienen una existencia independiente de la existencia
propia, de que son más sabias que nosotros, más sabias aún que sus descubridores, de que podemos obtener de ellas más de
lo que en ellas se puso.
Hertz, sobre las ecuaciones de Maxwell
SSiisstteemmaass ddee eeccuuaacciioonneess lliinneeaalleess
EEjjeerrcciicciiooss rreessuueellttooss

2. SISTEMAS DE ECUACIONES. PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS 2º ESO
Juan J. Pascual2/3
LLlleevvaammooss eell rreessuullttaaddoo aa llaa 22ªª
eeccuuaacciióónn::
15
3 24
3y 24 8
x x
2 2
  + +  
= ⇒ = ⇒
237
x
16
⇒ =
SSoolluucciióónn::
( )
237 15
x,y ,
16 8
 =   
MMééttooddoo ddee iigguuaallaacciióónn::
33)) RReessuueellvvee:
4x 3y 1
3x 2y 5
 + =
 − =−
DDeessppeejjoo llaa mmiissmmaa iinnccóóggnniittaa ddee llaass
ddooss eeccuuaacciioonneess,, ppoorr eejjeemmpplloo,, llaa xx::
1 3y
x
4x 3y 1 4
5 2y3x 2y 5
x
3
 − = + =  ⇒ 
  − +− =−  =
AAhhoorraa iigguuaalloo aammbbaass eexxpprreessiioonneess::
1 3y 5 2y
4 3
− − +
= ⇒
3 9y 20 8y⇒ − = − + ⇒
23
17y 23 y
17
⇒ − = − ⇒ =
PPoorr úúllttiimmoo,, lllleevvoo eessttee rreessuullttaaddoo aa llaa
11ªª eeccuuaacciióónn::
23
1 3
1 3y 17
x x
4 4
 −  −  
= ⇒ = ⇒
52 13
x : 4 x
17 17
−
⇒ = ⇒ = −
SSoolluucciióónn::
( )
13 23
x,y ,
17 17
 = −   
44)) RReessuueellvvee:
5x 2y 3
3x y
1
2
− + =− −
 =
DDeessppeejjoo llaa mmiissmmaa iinnccóóggnniittaa eenn llaass
ddooss eeccuuaacciioonneess.. EEnn eessttee ccaassoo vvooyy aa
ddeessppeejjaarr llaa yy::
5x 2y 3 3 5x
y
23x y
1 y 3x 22
 − + =− − +   = ⇒ −
 =  = − 
AAhhoorraa iigguuaallaammooss aammbbaass
eexxpprreessiioonneess yy ddeessppeejjaammooss xx::
3 5x
3x 2
2
− +
= − ⇒
3 5x 6x 4 x 1− + = − ⇒ =
PPoorr úúllttiimmoo,, lllleevvaammooss eessttee rreessuullttaaddoo
aa llaa 22ªª eeccuuaacciióónn::
y 3x 2 y 3 1 2 y 1= − ⇒ = ⋅ − ⇒ =
SSoolluucciióónn::
( ) ( )x,y 1,1=
MMééttooddoo ddee rreedduucccciióónn::
5) RReessuueellvvee:
4x 3y 1
3x 2y 5
 + =
 − =−
Manipulando convenientemente
las ecuaciones conseguiremos que
una de las dos incógnitas se cancele
y obtengamos así los valores
buscados.

3. MATEMÁTICAS 2º ESO SISTEMAS DE ECUACIONES. PROBLEMAS RESUELTOS
Juan J. Pascual 3/3
4x 3y 1 8x 6y 2
3x 2y 5 9x 6y 15
 + = + =    ⇒ ⇒ 
  − =− − =−   
8x 6y 2
9x 6y 15
13
17x 13 x
17
+ =
⇒
− = −
=− ⇒ =

−


Obtengo y sustituyendo x en la 1ª
ecuación:
13
4x 3y 1 4 3y 1
17
 + = ⇒ − + = ⇒  
52
1
13 174 3y 1 y
17 3
+ ⇒ − + = ⇒ = ⇒  
23
y
17
⇒ =
SSoolluucciióónn::
( )
13 23
x,y ,
17 17
 = −   
66)) RReessuueellvvee:
2x 7y 2
5x 2y 1
 + =
 − =−
Quiero que la x se cancele.
2x 7y 2 10x 35y 10
5x 2y 1 10x 4y 2
 + = − − =−    ⇒ ⇒ 
  − =− − =−   
10x 35y 10
10x 4y 2
4
39y 12 y
13


− − =−
⇒
− = −
= − ⇒ =

−
Ahora hallo x. Para ello sustituyo el
valor de la y en la 1ª ecuación:
4
2x 7y 2 2x 7 2
13
 + = ⇒ + = ⇒  
4
2 7
113
x x
2 13
 −   
⇒ = ⇒ =−
SSoolluucciióónn::
SSoolluucciioonneess::
( )
1 4
x,y ,
13 13
 = −   
Ejercicio avanzado propuesto:
7) RReessuueellvvee:
4x 2y z 3
x y 2z 7
2x 5y z 5
 − − =−− + + =
 − + =−
Las soluciones tienen que ser
(x, y, z) = (1, 2, 3)
multiplico todo por 2
multiplico todo por 3 multiplico por 2
multiplico por –5