UBA - Extensión VLP - SECCIÓN P

1. Trabajo 2 de estadística 2 Estudiante
Distribuciónde probabilidadesdiscretas MaríaJ, QuintanaR. C.I - 25014733
Resolver correctamente lossiguientes ejercicios: SECCIÒNP2- ExtensiónVLP
Ejercicio I
1- Se toma una piezade juego de domino,se definela variablealeatoria“x” lacual
representa los puntosde la pieza.Hallar: lafunciónde probabilidadesyacumuladas,la
esperanzamatemática y la varianza.
X=xi 1 2 3 4 5 6
P(xi) 7/28 7/28 7/28 7/28 7/28 7/28
- Esperanzamatemática:
𝐸( 𝑥) = 𝑋1 ∗ 𝑃1 + 𝑋2 ∗ 𝑃2 + ⋯+ 𝑋𝑖 ∗ 𝑃𝑖 = ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑃𝑖𝑛
𝑖=1
- 𝐸(𝑥) = (0 ∗
7
28
) + (1 ∗
7
28
) + (2 ∗
7
28
) + (3 ∗
7
28
)
- 𝐸(𝑥) = ( 𝟎)+ (
𝟕
𝟐𝟖
) + (
𝟏𝟒
𝟐𝟖
) + (
𝟐𝟏
𝟐𝟖
) = 𝟏
- Varianza:
- 𝑽( 𝑿) = 𝑬(𝑿 𝟐)− (𝑬(𝑿)) 𝟐
- 𝑬( 𝑿 𝟐) = (𝟎 𝟐 ∗
𝟕
𝟐𝟖
)+ (𝟏 𝟐 ∗
𝟕
𝟐𝟖
) + (𝟐 𝟐 ∗
𝟕
𝟐𝟖
)+ (𝟑 𝟐 ∗
𝟕
𝟐𝟖
)
- 𝑬( 𝑿 𝟐) = (
𝟕
𝟐𝟖
) + (
𝟐𝟖
𝟐𝟖
) + (
𝟔𝟑
𝟐𝟖
) =
𝟗𝟖
𝟐𝟖
- V(X)=
𝟗𝟖
𝟐𝟖
− 𝟏 𝟐 = 𝟑, 𝟓.
Ejercicio II
2- Un artesanoha elaborado15 alpargatasy 4 de ellastienen algúndefecto. Unturista
compra 3 de estasalpargatas,sea el numero de alpargatasdefectuosas,hallarla
distribucióndeprobabilidaddex , esperanzamatemática y varianza.
Distribución de probabilidad X
X = Xi 0 1 2 3
P 120/455 225/455 100/455 10/455
- Esperanzamatemática:
𝐸( 𝑥) = 𝑋1 ∗ 𝑃1 + 𝑋2 ∗ 𝑃2 + ⋯+ 𝑋𝑖 ∗ 𝑃𝑖 = ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑃𝑖𝑛
𝑖=1
𝐸(𝑥) = (0 ∗
120
455
) + (1 ∗
225
455
) + (2 ∗
100
455
) + (3 ∗
10
455
)

2. 𝐸(𝑥) = ( 𝟎)+ (
𝟐𝟐𝟓
𝟒𝟓𝟓
) + (
𝟐𝟎𝟎
𝟒𝟓𝟓
)+ (
𝟑𝟎
𝟒𝟓𝟓
) = 𝟏
- Varianza:
𝑽( 𝑿) = 𝑬(𝑿 𝟐)− (𝑬(𝑿)) 𝟐
𝑬( 𝑿 𝟐) = ( 𝟎 𝟐 ∗
𝟏𝟐𝟎
𝟒𝟓𝟓
) + ( 𝟏 𝟐 ∗
𝟐𝟐𝟓
𝟒𝟓𝟓
) + ( 𝟐 𝟐 ∗
𝟏𝟎𝟎
𝟒𝟓𝟓
) + ( 𝟑 𝟐 ∗
𝟏𝟎
𝟒𝟓𝟓
)
𝑬( 𝑿 𝟐) = (
𝟐𝟐𝟓
𝟒𝟓𝟓
) + (
𝟒𝟎𝟎
𝟒𝟓𝟓
) + (
𝟗𝟎
𝟒𝟓𝟓
) =
𝟕𝟏𝟓
𝟒𝟓𝟓
V(X)=
𝟕𝟏𝟓
𝟒𝟓𝟓
− 𝟏 𝟐 = 𝟏, 𝟓𝟕.
Ejercicio III
3- La funciónde probabilidaddeunavariablealeatoriadiscreta está dadapor: funciónde
probabilidad
X=xi 1 2 3 4 5 6 7 8
P(xi) 2/30 3/30 4/30 6/30 5/30 5/30 3/30 2/30
Hallar: la distribución de probabilidad, esperanza matemática, varianza y desviación estándar.
- Distribuciónde probabilidad:
X P(X) F(X)
1 2/30 0 + 2/30 = 2/30
2 3/30 2/30 + 3/30 = 5/30
3 4/30 5/30 + 4/30 =9/30
4 6/30 9/30 + 6/30 = 15/30
5 5/30 15/30 + 5/30 = 20/30
6 5/30 20/30 + 5/30 = 25/30
7 3/30 25/30 + 3/30 = 28/30
8 2/30 28/30 + 2/30 = 30/30 =1
- Esperanzamatemática:
𝐸( 𝑋) = 𝑋1 ∗ 𝑃1 + 𝑋2 ∗ 𝑃2 + ⋯+ 𝑋𝑖 ∗ 𝑃𝑖 = ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑃𝑖𝑛
𝑖=1 3
E(X) = (1 ∗
2
30
) + (2 ∗
3
30
) + (3 ∗
4
30
) + (4 ∗
6
30
) + (5 ∗
5
30
) + (6 ∗
5
30
) + (7 ∗
3
30
) +
(8 ∗
2
30
)21
E(X) =
2
30
+
6
30
+
12
30
+
24
30
+
25
30
+
30
30
+
21
30
=
2+6+12+24+25+30+21
30
E(X) =
120
30
= 30

3. - Varianza:
𝑽( 𝑿) = 𝑬( 𝑿 𝟐) − (𝑬(𝑿)) 𝟐
𝑬( 𝑿 𝟐) = ( 𝟏 𝟐 ∗
𝟐
𝟑𝟎
) + ( 𝟐 𝟐 ∗
𝟑
𝟑𝟎
) + ( 𝟑 𝟐 ∗
𝟒
𝟑𝟎
) + ( 𝟒 𝟐 ∗
𝟔
𝟑𝟎
) + ( 𝟓 𝟐 ∗
𝟓
𝟑𝟎
) + ( 𝟔 𝟐 ∗
𝟓
𝟑𝟎
)
+ ( 𝟕 𝟐 ∗
𝟑
𝟑𝟎
) + ( 𝟖 𝟐 ∗
𝟐
𝟑𝟎
)
𝑬( 𝑿 𝟐) = (𝟏 ∗
𝟐
𝟑𝟎
)+ (𝟒 ∗
𝟑
𝟑𝟎
) + (𝟗 ∗
𝟒
𝟑𝟎
)+ (𝟏𝟔 ∗
𝟔
𝟑𝟎
)+ (𝟐𝟓 ∗
𝟓
𝟑𝟎
) + (𝟑𝟔 ∗
𝟓
𝟑𝟎
) +
(𝟒𝟗 ∗
𝟑
𝟑𝟎
)+ (𝟔𝟒 ∗
𝟐
𝟑𝟎
)
𝑬( 𝑿 𝟐) =
𝟐
𝟑𝟎
+
𝟏𝟐
𝟑𝟎
+
𝟑𝟔
𝟑𝟎
+
𝟗𝟔
𝟑𝟎
+
𝟏𝟐𝟓
𝟑𝟎
+
𝟏𝟖𝟎
𝟑𝟎
+
𝟏𝟒𝟕
𝟑𝟎
+
𝟏𝟐𝟖
𝟑𝟎
𝑬( 𝑿 𝟐) =
𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟑𝟔 + 𝟗𝟔 + 𝟏𝟐𝟓 + 𝟏𝟖𝟎 + 𝟏𝟒𝟕+ 𝟏𝟐𝟖
𝟑𝟎
=
𝟕𝟐𝟔
𝟑𝟎
𝑬( 𝑿 𝟐) =
𝟕𝟐𝟔
𝟑𝟎
(( 𝑿)) 𝟐 = 𝟒 𝟐 = 𝟏𝟔
𝑽( 𝑿) = 𝑬(𝑿) 𝟐 = −(𝑬( 𝑿)) 𝟐 =
𝟕𝟐𝟔
𝟑𝟎
− 𝟏𝟔 =
𝟓𝟕𝟗− 𝟒𝟖𝟎
𝟑𝟎
=
𝟐𝟒𝟔
𝟑𝟎
=
𝟏𝟐𝟑
𝟏𝟓
- Desviaciónestándar=
𝜃 = √(
123
15
) = 8.2
Ejercicio IV
4- Sea x la variablealeatoriaque representa lademandasemanal de una máquinade
afeitar que esta puestaen unacomercializadora.Lafunciónde probabilidadestádada
por: f(x)=2x2-8x,sean 80 maquinas;parax= 4,5,6,7, ; encuentre: ladistribución
acumulada,ladesviaciónestándar.
Por ser 80 maquinaslafunciónquedaparael cálculode probabilidadasí:
𝑷( 𝑿 = 𝟒) =
𝟐 ∗ 𝟒 𝟐 − 𝟖 ∗ 𝟒
𝟖𝟎
=
𝟑𝟐 − 𝟑𝟐
𝟖𝟎
= 𝟎
𝑷( 𝑿 = 𝟓) =
𝟐 ∗ 𝟓 𝟐 − 𝟖 ∗ 𝟓
𝟖𝟎
=
𝟓𝟎 − 𝟒𝟎
𝟖𝟎
=
𝟏𝟎
𝟖𝟎

4. 𝑷( 𝑿 = 𝟔) =
𝟐 ∗ 𝟔 𝟐 − 𝟖 ∗ 𝟔
𝟖𝟎
=
𝟕𝟐 − 𝟒𝟖
𝟖𝟎
=
𝟐𝟒
𝟖𝟎
𝑷( 𝑿 = 𝟕) =
𝟐 ∗ 𝟕 𝟐 − 𝟖 ∗ 𝟕
𝟖𝟎
=
𝟗𝟖 − 𝟓𝟔
𝟖𝟎
=
𝟒𝟐
𝟖𝟎
- Funciónde probabilidad:
- Funciónde distribuciónacumulada:
X P(X) F(X)
4 0 0 + 0 = 0
5 10/80 0 + 10/80 = 10/80
6 24/80 10/80 + 24/80 = 34/80
7 42/80 34/80 + 42/80 = 76/80
- Calculode lamedia:
𝝁 = 𝟒 ∗ 𝟎 + 𝟓 ∗
𝟏𝟎
𝟖𝟎
+ 𝟔 ∗
𝟐𝟒
𝟖𝟎
+ 𝟕 ∗
𝟒𝟐
𝟖𝟎
𝝁 = 𝟎 +
𝟓𝟎
𝟖𝟎
+
𝟏𝟒𝟒
𝟖𝟎
+
𝟐𝟒𝟗
𝟖𝟎
- Varianza:
𝑽( 𝑿) = (𝟒 −
𝟔𝟏
𝟏𝟎
) 𝟐 ∗ 𝟎 + (𝟓 −
𝟔𝟏
𝟏𝟎
) 𝟐 ∗
𝟏𝟎
𝟖𝟎
+ (𝟔 −
𝟔𝟏
𝟏𝟎
) 𝟐 ∗
𝟐𝟒
𝟖𝟎
+ (𝟕 −
𝟔𝟏
𝟏𝟎
) 𝟐 ∗
𝟒𝟐
𝟖𝟎
𝑽( 𝑿) = (
𝟒𝟎 − 𝟔𝟏
𝟏𝟎
) 𝟐 ∗ 𝟎 + (
𝟓𝟎 − 𝟔𝟏
𝟏𝟎
) 𝟐 ∗
𝟏𝟎
𝟖𝟎
+ (
𝟔𝟎− 𝟔𝟏
𝟏𝟎
) 𝟐 ∗
𝟐𝟒
𝟖𝟎
+ (
𝟕𝟎 − 𝟔𝟏
𝟏𝟎
) 𝟐 ∗
𝟒𝟐
𝟖𝟎
V(X) = 𝟒, 𝟒𝟏 ∗ 𝟎 + 𝟏, 𝟐𝟏∗
𝟏𝟎
𝟖𝟎
+ 𝟎, 𝟎𝟏∗
𝟐𝟒
𝟖𝟎
+ 𝟎, 𝟖𝟏 ∗
𝟒𝟐
𝟖𝟎
V(X) = 1,15125 + 0,00125 + 0,42525
V(X) = 0,57775
- Desviaciónestándar:
𝜽 = √𝟎, 𝟓𝟕𝟕𝟕𝟓 = 𝟎, 𝟕𝟓𝟎𝟎𝟗
X 4 5 6 7
7P(X1) 0 10/80 24/80 42/80