Este documento trata sobre derivadas de orden superior y sus notaciones, así como conceptos relacionados como funciones crecientes, decrecientes, concavidades, máximos y mínimos relativos. Explica que las derivadas de orden superior son derivadas continuas de una función. Luego define notaciones para derivadas hasta el orden n y provee ejemplos. También cubre criterios para determinar intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y extremos usando derivadas primeras y segundas.

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Instituto Universitario Tecnológico Antonio José de Sucre
Barquisimeto – Lara
Trabajos de Derivadas
Daniel Vizcaya
Mecánica
Escuela 79

2. .-DERIVADAS
.-Definiciónde Derivadasde OrdenSuperior
Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de
f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podríamos encontrar su
segunda derivada, es decir f¨(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y
que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les
conoce como derivadas de orden superior.

3. Notación
Se utiliza la siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior
1ra Derivada
; ; ; ; ;
2da Derivada
; ; ; ; ;
3ra Derivada
; ; ; ; ;
n-Derivada
; ; ;
Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se
utilizan.
Ejemplo #1
Encontrar la 2da derivada de
Encontramos la 1ra derivada.
derivamos f'(x).

4. Definición funciones crecientes y decrecientes
Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del
intervalo. .
Una fusiónf es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del
intervalo, .
Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La
siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b].
En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)
2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)
Criterio de crecimiento y decrecimiento
Sea f una función continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto
.
1. Si es creciente en
2. Si es decreciente en
3. Si es constante en

5. Ejemplo 1
Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x2
− 4x + 1).
Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.
Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x> 2, entonces f es creciente para x> 2.
Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x< 2, entonces f es decreciente para x< 2.
En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.
Criterio de la primera derivada
Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente
en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden
existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se
observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico .
Teorema valor máximo y mínimo

6. "Sea un punto crítico de una función que es continua en un intervalo abierto que
contiene a . Si es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en , entonces
puede clasificarse como sigue."
1. Si ' cambia de positiva a negativa en , entonces tiene un máximo relativo en
.
2. Si ' cambia de negativa a positiva en , entonces tiene un mínimo relativo en
.
3. Si ' es positiva en ambos lados de o negativa en ambos lados de c, entonces
no es ni un mínimo ni un máximo relativo.
Concavidad y el criterio de la segunda derivada
Concavidad
Ya se ha visto que localizar los intervalos en los que una función ƒ es creciente o
decreciente
ayuda a describir su gráfica. En esta sección, se verá cómo el localizar los
intervalos en los que f es creciente o decreciente puede utilizarse donde la grafica
de f es curva hacia arriba o se curva hacia abajo.
.
DEFINICIÓN DE CONCAVIDAD
Sea ƒ derivable en un intervalo abierto la gráfica de f es cóncava hacia arriba si f
es creciente en el intervalo si f´ es creciente en el intervalo y cóncava hacia abajo
si f´ es decreciente en el intervalo
Sea ƒ derivable sobre un intervalo abierto I, si la gráfica de f es cóncava hacia
arriba en I entonces la gráfica f yace sobre sus rectas tangentes en I Ver Fig.
3.24a
Sea f derivable en un intervalo abierto I, si la gráfica de f es cóncava hacia abajo
en I, entonces la gráfica de f yace debajo de todas sus rectas tangentes en I, Ver
Fig. 3.24b

7. Fig.3.24 a Cóncavahacia Arriba
Fig.3.24 b Cóncava hacia Abajo
CRITERIO DE CONCAVIDAD
Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I:
1.- Si f´´(x) >0 para todo x en el intervalo I, entonces la gráfica de f(x) es cóncava
hacia arriba en el intervalo I.
2.- Si f¨´(x)<0 para todo x en el intervalo I, entonces la gráfica de f(x) es cóncava
hacia abajo en el intervalo I
Cálculo de los máximos y mínimos relativos
f(x) = x3 − 3x + 2
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de
derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo

8. f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
Ejercicios
Forma indeterminada
En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra
límites del tipo:
.

9. Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones
y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.
Interpretación
El hecho de que dos funcionesf y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto
de acumulaciónc no es información suficiente para evaluar el límite
Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no
existir, dependiendo de las funciones f y g.
Cociente indeterminado
La forma 0/0
Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a
0, las razones x/x3, x/x, yx2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin
embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de
división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0, o
incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a
cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.
La forma ∞/∞
Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el
denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla
operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞.
Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización,
derivación, el teorema del emparedado, entre otro
Producto indeterminado

10. La forma indeterminada 0 • ∞
Diferencia indeterminada
En los casos en que el límite de una diferencia es , no se puede aplicar ninguna regla
operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma ideterminada del
tipo . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la
multiplicación por los polinomios conjugados.
Potencia indeterminada
 La forma 00
 La forma ∞0
 La forma 1∞
esde laforma ; considerando