El documento habla sobre conceptos de cálculo como máximos y mínimos relativos, puntos críticos, derivadas de primer y segundo orden, concavidad, puntos de inflexión y extremos absolutos. Explica cómo usar la derivada primera y segunda para determinar estos conceptos clave y encontrar máximos y mínimos en funciones. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos.

1. Escuela de Turismo y GastronomíaAplicaciones de la derivada

2. Máximos y mínimos relativos

3. Máximo relativoEl punto (𝑥1,𝑓(𝑥1)) es un punto máximo relativo para la función 𝑓, si hay un intervalo alrededor de 𝑥1en el cual 𝑓(𝑥1)≥𝑓(𝑥) para todos los 𝑥 en el intervalo. En este caso decimos que el máximo relativo se alcanza en 𝑥=𝑥1 y el máximo relativo es 𝑓(𝑥1)

4. Mínimo relativoEl punto (𝑥2,𝑓(𝑥2)) es un punto mínimo relativo para la función 𝑓, si hay un intervalo alrededor de 𝑥2en el cual 𝑓(𝑥1)≤𝑓(𝑥) para todos los 𝑥 en el intervalo. En este caso decimos que el mínimo relativo se alcanza en 𝑥=𝑥2 y el mínimo relativo es 𝑓(𝑥2)

5. EjemplosDeterminar los posibles puntos mínimos o máximos relativos de la función −𝑥2 Determinar los posibles puntos mínimos o máximos relativos de la función 𝑥2

6. Funciones crecientes y decrecientesSi 𝑓 es una función diferenciable en el intervalo (𝑎,𝑏), entonces:Si 𝑓’𝑥>0 ∀𝑥∈(𝑎,𝑏) , 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑎,𝑏Si 𝑓’𝑥<0 ∀𝑥∈(𝑎,𝑏) , 𝑓 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 (𝑎,𝑏)Diagrama de signos

7. EjemplosGenerar el diagrama de signos para la función −𝑥2 Generar el diagrama de signos para la función 𝑥2

8. Para determinar si un punto de giro de una función es un punto máximo o un punto mínimo, a menudo es útil saber qué hace la gráfica de la función en intervalos a ambos lados del giro. Por tanto, una función es creciente si los valores de la función aumentan a medida que aumenta x, y en caso contrario se dirá decreciente.

9. La derivada 𝑓’(𝑥) puede cambiar de signo sólo con valores de 𝑥, donde 𝑓’(𝑥) =0. Estos valores de 𝑥 se conocen como valores críticos. El punto que corresponde al valor crítico de 𝑥 es un punto crítico.

10. Entonces…Si 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥=𝑥0, entonces 𝑓′𝑥0=0 𝑜 𝑓′𝑥0 no está definidaSi 𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑥=𝑥0, entonces 𝑓′𝑥0=0 𝑜 𝑓′𝑥0 no está definida

11. Prueba de la primera derivada.Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una funciónEncuentre la primera derivada de la funciónIguale la derivada a cero (0) y despeje los valores de 𝑥 que satisfacen 𝑓’(𝑥)=0Sustituya los valores críticos en la función original para encontrar los puntos críticosEvalúe 𝑓’(𝑥) en algunos valores de 𝑥 a la izquierda y a la derecha de cada punto crítico para construir un diagrama de signosUse la información del diagrama de signos y puntos seleccionados para hacer la gráfica

12. EjercicioPara la función 𝑓𝑥=14𝑥4−13𝑥3−3𝑥2+8Encontrar los máximos y mínimos relativosDibujar la gráfica de la función

13. Concavidad: Puntos de inflexiónSe dice que una curva es cóncava hacia arriba en un intervalo (𝑎,𝑏) si en cada punto del intervalo, la curva está sobre su tangente.Si la curva está debajo de todas sus tangentes es un intervalo dado, es cóncava hacia abajo en el intervalo.

14. De manera general…Si la primera y segunda derivada de una función 𝑓 existe:Si 𝑓’’(𝑥)>0 en un intervalo, entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arribaSi 𝑓’’(𝑥)<0 en un intervalo, entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo

15. Puntos de inflexiónUn punto 𝑥0,𝑦0 de la gráfica de una función 𝑓 recibe el nombre punto de inflexión, si la curva es cóncava hacia arriba en un lado y cóncava hacia abajo en el otro o viceversa.

16. Procedimiento para localizar puntos de inflexión y concavidadEncuentre la segunda derivada de la funciónIguale la segunda derivada a cero (0) y despeje xEncuentre los puntos de inflexión potencialesSi la segunda derivada tiene signos opuestos en los dos lados de uno de estos valores de x, ocurre un punto de inflexión

17. EjercicioEncontrar el punto de inflexión para a ecuación 𝑓𝑥=𝑥3−4𝑥2+3

18. Prueba de la segunda derivada Encuentre los valores críticos de la funciónSustituya los valores críticos de 𝑓(𝑥) para encontrar los puntos críticosEvalúe 𝑓’’(𝑥) en cada valor crítico para el cual 𝑓’(𝑥)=0Si 𝑓’’(𝑥0)<0, hay un máximo relativo en 𝑥0Si 𝑓’’𝑥0>0, hay un mínimo relativo en 𝑥0

19. EjercicioPara la función 𝑓𝑥=13𝑥3−𝑥2−3𝑥+2Encontrar los máximos y mínimos relativosGraficar la función

20. Extremos absolutosEl valor de 𝑓(𝑎) es un máximo absoluto de 𝑓, si 𝑓𝑎≥𝑓(𝑥) para todas las 𝑥 del dominio de 𝑓 (o un intervalo de interés)El valor de 𝑓(𝑎) es un mínimo absoluto de 𝑓, si 𝑓𝑎≤𝑓(𝑥) para todas las 𝑥 del dominio de 𝑓 (o un intervalo de interés)

21. Maximización del ingreso

22. Si e ingreso de una empresa está dado por la ecuación: 𝑅𝑥=8000𝑥−40𝑥2−𝑥3Qué cantidad (𝑥) debe vender la empresa de tal manera que maximice e ingreso