Nuevos Métodos de Geometría Analítica - Don Danny

NUEVOS METODOS DE GEOMETRÍA
ANALÍTICA
por
Don Danny
11 de enero de 2015
don.danny@yahoo.com.ar

Índice general
Prólogo i
Derecho de Autor iii
Sobre el Autor v
Capítulo 1. Introducción 1
1 Fórmulas del Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Fórmulas de identidad 1
1.2 Ecuación del segundo grado 1
1.3 Resolución de un sistema de ecuaciones 2
1.4 Los Determinantes 3
1.4.1 Método del menor complementario para hallar los
determinantes 3
1.4.2 Método de Sarrus para hallar los determinantes 4
2 Principios de Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Los ángulos 6
2.1.1 Unidades de medida de los ángulos 6
2.1.2 Minutos y Segundos 7
2.1.3 Clasicación de los ángulos 8
2.2 El triángulo 9
2.2.1 El teorema de Tales 11
2.3 La circunferencia 11
3 Fórmulas de la trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 Ángulos positivos y negativos 16
3.2 Denición de las funciones trigonométricas 17
3.2.1 Representación general de las funciones 19
3.2.2 Algunos valores de las funciones trigonométricas 21
3.2.3 Identidades de base de la trigonometría 21

Índice general
3.2.4 Identidades en función de
α
2
22
3.2.5 Identidades
α
2
en función de α 23
3.2.6 Seno, coseno y tangente de suma y diferencia 23
3.2.7 Suma y diferencia de senos, cosenos 24
3.2.8 Identidades de funciones con α ±
π
2
y α ± π 24
3.3 Funciones arcsin, arc cos, y arctan 27
3.4 Los triángulos 30
3.4.1 Notación de los triángulos 30
3.4.2 Regla de los senos 31
3.4.3 Regla de los cosenos 32
3.4.4 Fórmulas de sen
A
2
, y de cos
A
2
33
3.4.5 Regla de las tangentes 35
3.4.6 Cálculo de la supercie de un triángulo 36
3.5 Conclusión 37
4 Formulario de trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Capítulo 2. El punto 43
1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Segmento rectilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1 Segmento rectilíneo dirigido 43
2.2 Sistema de coordenada lineal 44
2.2.1 Distancia entre 2 puntos de segmento rectilíneo dirigido 45
3 Sistema de coordenadas en el plano . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Los cuadrantes 48
3.2 Coordenadas del punto P 49
3.3 Distancia entre 2 puntos en el sistema de coordenadas 57
3.4 División de un segmento en una razón r dada 58
3.4.1 Coordenadas del punto P qui divide un segmento según la
razón r positiva 58
3.4.2 Coordenadas del punto P qui divide un segmento según una
razón r negativa 60
3.5 Pendiente de una recta 72
3.6 Coordenadas de la extremidad de un segmento de longitud L y de
pendiente m 73

Índice general
3.7 Ángulo entre dos rectas 77
3.7.1 Condición para que dos rectas de pendiente m1 y m2 sean
paralelas 79
3.7.2 Condición para que dos rectas sean perpendiculares 79
3.7.3 Mediatriz, lugar geométrico equidistante de 2 puntos 85
3.8 Transformación de los ejes coordenados 90
3.8.1 Traslación de los ejes coordenados 90
3.8.2 Rotación de los ejes coordenados 92
3.9 Rotación de punto 101
3.9.1 Rotación de punto al usar el origen de los ejes coordenados
como pivote 101
3.9.2 Rotación de punto con centro de rotación O (O x, O y) 103
4 Formulario del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Capítulo 3. La Recta 109
1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2 Denición de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.1 Las dos formas de ecuación de la recta 110
2.2 Intersección de la recta con los ejes XY 111
2.3 Recta paralela a los ejes de coordenadas XY 112
2.4 Rectas paralelas y rectas perpendiculares 112
2.5 La tercera forma de ecuación de la recta pasando por 2 puntos 115
2.6 Ecuación simétrica de la recta 116
3 Ecuación general de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.1 Posiciones relativas de dos rectas 121
3.2 Distancia de un punto a una recta 127
4 Ecuación normal de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.0.1 Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a
la forma normal 133
4.0.2 Recta bajo la forma normal pasando por un punto P(xP , yP )137
4.0.3 Ecuación en forma normal de la recta distante de d a un
punto A y pasando por un punto P dado 145
4.0.4 Estudio del caso particular ∆x = d 151
4.1 Ecuación de la recta paralela distante de d a una recta R0 154
4.2 Ecuación de la bisectriz 157

Índice general
4.2.1 Fórmulas de ecuaciones de las bisectrices por el método de
las rectas normales 161
4.2.2 Estudio del termino tg
ω1 + ω2
2
164
4.2.3 Ejemplos de cálculos de bisectrices donde una de la recta es
de la forma Ax + C = 0 o By + C = 0 170
5 Algunas aplicaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.1 Área del triángulo por los vértices 178
5.2 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de
determinante 181
5.2.1 Condición para que 3 rectas sean concurrentes 182
5.3 Baricentro del triángulo 186
6 Formulario de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Capítulo 4. La circunferencia 193
1 Denición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2 Ecuación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
2.1 Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones
dadas 199
3 Familias de circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.1 Familia de curvas pasando por la intersección de 2 circunferencias208
3.2 El eje radical 211
3.3 Estudio de las condiciones de intersección de dos circunferencias 212
3.3.1 Factor de intersección de dos circunferencias 213
3.3.2 Los puntos de intersección de dos circunferencias 216
4 La recta y la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.1 La secante a la circunferencia 231
4.1.1 Coordenadas de los puntos de intersección de una recta con
una circunferencia 231
4.1.2 Cálculo de las coordenadas de los extremos del diámetro con
la circunferencia 234
4.1.3 Hallar las pendientes de las 2 rectas pasando por un punto P
y cortando una circunferencia según una longitud de cuerda
impuesta 236

Índice general
4.1.4 Determinar la recta de pendiente m dada que corta una
circunferencia según una longitud de cuerda impuesta 239
4.1.5 Longitud de una cuerda 242
4.2 La tangente a la circunferencia 244
4.2.1 Ecuación de la tangente a una circunferencia dada en un
punto dado de contacto 245
4.2.2 Ecuación de la tangente de pendiente dada m a una
circunferencia dada 247
4.2.3 Ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que pasa
por un punto P exterior dado 252
4.3 Longitud de una tangente a la circunferencia 256
4.4 La recta normal en un punto P 257
4.5 Condición de intersección de una recta con la circunferencia. 258
5 Hallar la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.1 Determinar la circunferencia inscrita a un triángulo 263
5.1.1 Determinar las coordenadas del centro de la circunferencia
por las bisectrices 264
5.1.2 El método de las paralelas 267
5.2 Circunferencias perteneciendo a familia de circunferencias 269
5.2.1 Escribir la ecuación de la familia de las circunferencias
pasando por un punto P(x1, y1) 270
5.2.2 Escribir la ecuación de la familia de las circunferencias
pasando por 2 puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) 271
5.2.3 Hallar la circunferencia pasando por un punto P y que
pertenece a la familia de circunferencias Γ1 y Γ2 275
5.2.4 Hallar la ecuación de circunferencia que pasa por las
intersecciones de las circunferencias Γ1 y Γ2 y cuyo el centro
es sobre una recta dada de ecuación y = mx + b 277
5.2.5 Hallar las circunferencias tangentes a una recta y pasando
por las intersecciones de dos circunferencias dadas 280
5.2.6 Hallar la ecuación de la circunferencia pasando por un punto
P(xP , yP ) dado y por las intersecciones de una circunferencia
Γ con una recta Re. 283
5.3 Hallar el radio de circunferencia de centro dado 286
5.3.1 Hallar el radio de una circunferencia conociendo las
coordenadas del centro y una tangente 286
5.3.2 Hallar el radio de la circunferencia centrada en C cortada por
una recta dada según una longitud de cuerda impuesta 287
5.4 Hallar el centro de la circunferencia de radio R dado 289

Índice general
5.4.1 Hallar el centro de la circunferencia de radio R y tangente a
dos rectas 289
5.5 Hallar la circunferencia tangente a 2 rectas y pasando por un
punto 295
6 La circunferencia como lugar geométrico . . . . . . . . . . 299
7 Movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.1 La cicloide 303
7.1.1 Las Trocoides 305
7.1.2 Cálculo de las coordenadas del punto M exterior a la
circunferencia 306
7.1.3 Cálculo de las coordenadas del punto N interior a la
circunferencia 308
7.2 Epicicloide 310
7.2.1 Epicicloides por diferentes valores de N 312
7.3 Hipocicloide 313
7.3.1 Hipocicloides por diferentes valores de N 315
7.4 Evolvente 316
8 Formulario de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . 318
Capítulo 5. La parábola 325
1 Denición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
1.1 Cuerda focal y lado recto 326
1.2 Ecuación de la parábola 327
1.2.1 Parábola de eje confundido con el eje Y 329
1.3 Ecuación de parábola de vértice (xv, yv) y con eje paralelo a un
eje coordenado 331
1.3.1 Ecuación de la parábola bajo la forma Ax2
+ Cy2
+ Dx +
Ey + F = 0 332
1.3.2 La parábola de forma cuadrática y = ax2
+ bx + c 338
1.3.3 Hallar la ecuación de la parábola al aplicar la denición 340
1.3.4 Longitud del lado recto 341
1.3.5 Hallar la parábola conociendo la directriz de la forma
y = mx + b y las coordenadas del foco 342
1.4 Ecuación general de la parábola 344
1.4.1 La parábola inclinada y de vértice centrado al origen O(0, 0) 344

Índice general
1.4.2 Ecuación general de parábola inclinada y de vértice de
coordenadas (xv, yv) 348
1.4.3 Coordenadas del vértice V , coordenadas del foco F, y
directriz de una parábola de ecuación general 351
1.4.4 Resumen de las fórmulas para hallar las coordenadas del foco
y la directriz de una parábola de ecuación general 352
1.4.5 Fórmula de la ecuación general de la parábola a partir de las
coordenadas del vértice, de la pendiente tg θ del eje focal y de
la distancia focal p 361
1.4.6 Hallar la ecuación de la parábola por θ = 0 o θ = 90◦
364
1.4.7 Característica de la parábola 365
2 La tangente a la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
2.1 La tangente trazada de un punto perteneciendo a la parábola 366
2.1.1 Tangente a un punto de la parábola de forma y2
= 4px 366
2.1.2 Tangente a un punto de la parábola de forma x2
= 4py 367
2.2 La tangente a la parábola de pendiente m dada 370
2.2.1 Tangente de pendiente m a la parábola de forma y2
= 4px 370
2.2.2 Tangente de pendiente m a la parábola de forma x2
= 4py 370
2.3 Tangente trazada a partir de un punto P(xP , yP ) exterior a una
parábola 372
2.3.1 Tangente trazada a partir de un punto exterior a una parábola
de forma y2
= 4px 372
2.3.2 Tangente trazada a partir de un punto exterior a una parábola
de forma x2
= 4py 375
2.4 Tangente a la parábola de vértice (xv, yv) 379
2.4.1 Tangente a un punto P(x1, y1) de la parábola de eje horizontal
de forma Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 379
2.4.2 Tangente a un punto P(x1, y1) de la parábola de eje vertical
de forma Ax2
+ Dx + Ey + F = 0 380
2.4.3 La tangente a un punto de la parábola Ax2
+ Bxy + Cy2
+
Dx + Ey + F = 0 382
2.5 Fórmula general de la pendiente de tangente trazada a partir de
un punto P(xP , yP ) exterior 386
2.5.1 Pendiente de tangentes trazada a partir de P exterior a la
parábola de eje horizontal. 386
parábola de eje vertical. 389
parábola de eje inclinado. 391

Índice general
3 Propiedades de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
3.0.4 Demostración Geométrica 401
4 La parábola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . 407
4.1 Altura y Alcance 408
4.1.1 Alcance de una bomba 410
5 Formulario de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Capítulo 6. La elipse 427
1 Denición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
2 Ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
2.1 Elipse de eje focal coincidiendo con el eje Y 430
2.1.1 La excentricidad de la elipse 431
2.1.2 Cálculo del lado recto de la elipse 431
2.1.3 El método de Trammel para construir una elipse 432
2.1.4 Directriz de una elipse 435
2.2 Ecuación de la elipse de centro (xC, yC) con los ejes paralelos a
los coordenados 438
2.3 Ecuación general de la elipse 441
2.3.1 Ecuación general de la elipse de la forma Ax2
+ Bxy + Cy2
+
F = 0 446
2.3.2 Calcular la pendiente del eje de la elipse 448
2.3.3 Ecuación general de la elipse de la forma Ax2
+ Bxy + Cy2
+
Dx + Ey + F = 0 458
2.3.4 Resumen de las fórmulas principales de la elipse bajo forma
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 466
2.3.5 Ecuación de la elipse por las coordenadas del centro (xC, yC),
a, b, y θ 471
2.3.6 Característica de la ecuación de elipse Ax2
+ Bxy + Cy2
+
Dx + Ey + F = 0, B2
− 4AC 472
3 La tangente a la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
3.1 La tangente trazada a partir de un punto perteneciendo a la elipse476
3.1.1 La tangente a la elipse de la forma
x2
a2
+
y2
b2
= 1 476

Índice general
3.1.2 Las tangentes trazadas a partir de un punto P exterior a la
elipse de forma
x2
a2
+
y2
b2
= 1 478
3.1.3 Las tangentes a la elipse de pendiente m 483
3.1.4 Tangente a un punto T de la elipse de forma
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 484
3.1.5 Tangente a una elipse de forma Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx +
Ey + F = 0 trazada a partir de P exterior 486
4 Propiedad de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
5 Lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
6 Formulario de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
Capítulo 7. La hipérbola 515
1 Denición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
2 La ecuación de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
2.1 Discusión de la ecuación de la hipérbola 518
2.2 Hipérbola de eje focal coincidiendo con el eje Y 518
2.2.1 Excentricidad 519
2.2.2 Cálculo del lado recto 519
2.2.3 Ecuaciones de las directrices de la hipérbola 521
2.2.4 Las asíntotas de la hipérbola 523
2.3 Hipérbolas conjugadas 525
2.4 Hipérbola equilátera 528
2.4.1 Hipérbola equilátera de la forma xy =
a2
2
528
2.5 Ecuación de la hipérbola de centro (xC, yC) con los ejes transverso
y conjugado paralelos a los coordenados 530
2.6 Ecuación general de la hipérbola de forma Ax2
+ Cy2
+ Dx +
Ey + F = 0 531
2.6.1 Ecuación general de la forma
(x − xC)2
a2
−
(y − yC)2
b2
= 1 -
Eje transverso paralelo a X 531
2.6.2 Ecuación general de la forma
(y − yC)2
a2
−
(x − xC)2
b2
= 1 -
Eje transverso paralelo a Y 535

Índice general
2.6.3 Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbolas de ecuaciones
Ax2
+ Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 539
2.7 Ecuación de hipérbola de forma Ax2
+ Bxy + Cy2
+ F = 0 540
2.7.1 Cálculos del ángulo de inclinación θ, y de las longitudes de
los ejes transverso y conjugados a, y b 541
2.7.2 Signo del ángulo de inclinación θ 546
2.7.3 Longitudes de los ejes transverso y conjugado a, b por
θ = ±45◦
552
2.8 Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola de forma Ax2
+ Bxy +
Cy2
+ F = 0 557
2.9 Hallar la ecuación de una hipérbola centrada al origen a partir de
tg θ, de a, y de b 560
2.10 Ecuación de la hipérbola por las ecuaciones de las asintotas y por
la media distancia focal c 566
2.11 Ecuación general de la hipérbola bajo la forma Ax2
+Bxy +Cy2
+
Dx + Ey + F = 0 571
2.12 Resumen de las fórmulas bajo la forma Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx +
Ey + F = 0 573
2.13 La hipérbola y la hipérbola conjugada bajo forma Ax2
+ Bxy +
Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 578
2.14 Ecuación general de la hipérbola a partir de las coordenadas del
centro C, de tg θ, de a, y de b 580
2.15 Las asintotas de la hipérbola de ecuación Ax2
+ Bxy + Cy2
+
Dx + Ey + F 581
2.15.1 Característica de la ecuación de hipérbola Ax2
+Bxy +Cy2
+
Dx + Ey + F = 0, B2
− 4AC 592
3 Tangente a la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
3.1 La tangente a la hipérbola de la forma
x2
a2
−
y2
b2
= 1 593
3.1.1 Las tangentes trazadas a partir de un punto exterior a la
hipérbola de forma
x2
a2
−
y2
b2
= 1 597
3.1.2 Las tangentes a la hipérbola de pendiente dada m 600
3.1.3 Tangente a un punto de la hipérbola de forma
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 603
3.1.4 Tangente a una hipérbola de forma Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx +
Ey + F = 0 trazada a partir de P exterior 607
4 Propiedad de la hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

Índice general
4.0.5 Hallar la ecuación de la hipérbola a partir de un punto P
de la hipérbola y dos focos utilizando la propiedad de la
tangente en este punto 627
5 Lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
6 Formulario de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
Capítulo 8. Geogebra 641
1 Denición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
1.1 El programa de base 642
1.2 El setup 642
1.3 El punto, la recta y las curvas 646
1.3.1 El punto 646
1.3.2 La recta 648
1.3.3 La circunferencia 650
1.3.4 Las cónicas 651
2 Entrar las ecuaciones y los comandos . . . . . . . . . . . . 653
2.1 Entrar unos puntos y ecuaciones 654
2.2 Medida de longitud y de distancia 657
2.2.1 Medida de distancia 657
2.3 Medida de ángulos y de pendiente 659
2.3.1 Medidas de ángulos 659
2.3.2 Medidas de pendiente 660
3 Documentación de Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . 661
Bibliografía 663
Índice alfabético 665

Prólogo
Por haber encontrado muchas personas que tienen dicultades en las matemáti-
cas, y especialmente en la Geometría Analítica, decidí de escribir un libro sobre el
asunto. Como profesor de matemática - que nunca he enseñado en un colegio o a
una escuela - pero que di muchas veces clases particulares. Los alumnos presentan
todos y todas los mismos problemas de comprensión. Para preparar un examen o un
concurso los alumnos memorizan o estudian las etapas para resolver un problema sin
entenderlo. Este libro propone una solución etapa por etapa para que los estudiantes
entienden la Geometría Analítica.
En este libro se da un punto de vista diferente de lo que se ve en los libros
de matemática tradicionales. Para empezar, la introducción refresca la mente de
los estudiantes al presentar una pequeña revisión sobre las fórmulas de álgebra, de
geometría, y de trigonométrica, indispensable para seguir el razonamiento del curso.
Cada capítulo trata un asunto preciso : Comenzamos por el punto, la denición
de las coordenadas, el cálculo de la distancia entre 2 puntos etc. . . , y el mas impor-
tante es la aplicación de la materia vista por muchos ejemplos. Los asuntos tratados
desarrollan y demuestran las fórmulas de las propiedades.
En este libro el autor desarrolla unos puntos que no se encuentran en otros libros
para que sirve de ejemplo de la manera de considerar un problema.
Los capítulos sobre el punto, la recta y la circunferencia, por ejemplo tratan los
problemas de manera mas práctica y mas sencilla. Un especial esfuerzo fue desarro-
llado para que los estudiantes aplican las fórmulas directamente sin pasar por etapas
inútiles en la solución de un problema - Sabemos como el tiempo es precioso en un
examen.
i

ii PRÓLOGO
En el capítulo de la circunferencia, se trata además de la circunferencia, tangen-
te etc. . . de la cicloide, asunto muy importante, una aplicación de las ecuaciones
paramétricas.
Cada aplicación o ejercicio es acompañado por un dibujo para que el estudiante
puede entender y claricar la solución del problema.

Derecho de Autor
No se permite de copiar, paginas, ejercicios o ejemplos sin la permisión expresa
del autor. Copiar el trabajo de los demás que sea de un persona o de un autor de
libro como este es un delito. Además de ser un delito, daña la economía de un país.
Ya sabemos que no hay manera de impedir de copiar unas paginas, pero en cada
pie de pagina de este libro, un pequeñito recuerdo
GEOMETRÍA ANALÍTICA por Don Danny :LA PIRATERÍA MATA LA
ECONOMÍA-FOTOCOPIAR ES UN DELITO
para sensibilizar las mentes antes de hacer el hecho.
iii

Sobre el Autor
Daniel Vliegen es ingeniero canadiense formado
en Europa. Apasionado de matemáticas, de electrónica,
de informática, e inventor, el autor trabajo como consul-
tor en Canadá.
Durante su carrera en Europa y en Canadá, trabajo co-
mo diseñador, e investigador (Research Development)
en los campos de electrónica analógica, sistemas digitales,
micro-procesadores, programación (C, C++, Assembler,
PHP, Java etc...) y robótica, para empresas privadas y universidades.
Algunos de los proyectos...
* Sistema de modulación espectral de frecuencia para transmisión de los datos
GPS a través del canal audio de radio trunking.
http://www.google.com/patents/US5499270
* Servo mecanismo de posicionamiento de un cañón láser a 2 ejes (azimut y eleva-
ción) por micro-procesador para el estudio de la dispersión de humos de las bombas
lacrimógena. Servo Mecanismo en posicionamiento y en velocidad. Programas de las
interfaces de control por computadora.
* Sistema de medida por péndulo para estudiar los micro-movimientos de las
estructuras grandes como puentes y plantas hidroeléctricas.
Trabajo como asistenta de investigación en la Universidad de Montreal en el
dominio de las micro-ondas.
Trabajo también en la Universidad de Brusela en el dominio de la Astronomía -
Desarrollo de sistemas de medidas sobre el sol, campo magnético solar. Camera CCD
Digital, tratamiento de los datos por micro-procesadores.
v

Capítulo 1/Sección 1
1 | Introducción
La geometría analítica estudia la geometría por medio del álgebra y de la trigo-
nometría en un sistema de coordenadas denido.
Esta introducción da un recuerdo sobre las formulas y las propiedades más comunes
del álgebra, de la geometría, y de la trigonometría que se utilizan en la geometría
analítica.
1 Fórmulas del Álgebra
1.1 Fórmulas de identidad
(1.1) (a ± b)2
= a2
± 2ab + b2
(1.2) a2
− b2
= (a + b)(a − b)
1.2 Ecuación del segundo grado
La solución de la ecuación del segundo grado ax2
+ bx + c = 0,
(1.3) x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
donde el termino
√
b2 − 4ac es llamado determinante ∆.
Las soluciones de la ecuación son entonces x =
−b ±
√
∆
2a
Tres casos posibles de soluciones:
Si ∆ 0 la ecuación tiene 2 raíces reales,
LA PIRATERÍA MATA LA ECONOMÍA - FOTOCOPIAR ES UN DELITO
NUEVOS MÉTODOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA por Don Danny ©2014-2018
1

Si ∆ = 0 la ecuación tiene 2 raíces reales confundidas - las dos raíces son
iguales,
Si ∆ 0 la ecuación no tiene raíces reales.
La ecuación del segundo grado tiene aplicaciones con las cónicas, tal que la cir-
cunferencia, la parábola, la hipérbola y la elipse.
1.3 Resolución de un sistema de ecuaciones
En la mayoría de los casos, tendremos ecuaciones a 2 incógnitas del tipo
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
En vez de calcular x e y, hay la método de Cramer muy práctica:
(1.4) x =
c1 b1
c2 b2
a1 b1
a2 b2
=
c1b2 − c2b1
a1b2 − a2b1
(1.5) y =
a1 c1
a2 c2
a1 b1
a2 b2
=
a1b2 − a2b1
a1b2 − a2b1
La condición para tener soluciones validas es a1b2 = a2b1
2 LA PIRATERÍA MATA LA ECONOMÍA - FOTOCOPIAR ES UN DELITO

1.4 Los Determinantes
Hay aplicaciones donde conviene más poner las ecuaciones bajo la forma de de-
terminante.
La expresión
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
se calcula por
A11
A22 A23
A32 A33
− A12
A21 A23
A31 A33
+ A13
A21 A22
A31 A32
= A11(A22A33 − A32A23) − A12(A21A33 − A31A23) + A13(A21A32 − A31A22)
= A11A22A33 − A11A32A23 − A12A21A33 + A12A31A23 + A13A21A32 − A13A31A22
1.4.1. Método del menor complementario para hallar los determinantes
Sea el determinante ∆ de orden n, el valor del determinante se calcula por la formula
(muy teórico)
∆ =
n
j=1
(−1)i+j
AijMij donde
Mij es el menor complementario de orden n − 1 obtenido al remover la la i y la
columna j.
Por ejemplo, el menor complementario M11 es
A22 A32
A23 A33
obtenido al quitar la la 1
y la columna 1 del determinante ∆.
El termino (−1)i+j
es el cofactor que es igual a 1 o a −1 con i+j respectivamente
par o impar.
El valor del determinante es entonces
∆ = (−1)1+1
A11M11 + (−1)1+2
A12M12 + (−1)1+3
A13M13 con
3

Menor complementario M11 =
A22 A23
A32 A33
con (−1)1+1
= 1
A21 A23
A31 A32
con (−1)1+2
= −1
A21 A22
A31 A32
con (−1)1+3
= 1
Se puede vericar que al escoger los elementos A12, A22 y A32, los menores comple-
mentarios son respectivamente
M12 =
A21 A23
A31 A33
con (−1)1+2
= −1
M22 =
A11 A13
A31 A33
con (−1)2+2
= 1
M32 =
A11 A13
A21 A23
con (−1)3+2
= −1
El valor del determinante es entonces
∆ = (−1)1+2
A12M12 + (−1)2+2
A22M22 + (−1)3+2
A32M32
= −A12M12 + A22M22 − A32M32
= −A12(A21A33 − A31A23) + A22(A11A33 − A31A13) − A32(A11A23 − A21A13)
= −A12A21A33 + A12A31A23 + A22A11A33 − A22A31A13 − A32A11A23 + A32A21A13
1.4.2. Método de Sarrus para hallar los determinantes
El método de Sarrus consiste a copiar abajo las dos primeras lineas del determinante,
de hacer la suma de los tres productos de los elementos que se encuentran sobre
las diagonales que están bajando (diagonales azules) y sustraer la suma de los tres
productos de los elementos que se encuentran sobre las diagonales que están subiendo
(diagonales rojas). Ver la figura 1 Sea el determinante siguiente
∆ =
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33

Copiar abajo las dos primeras lineas,
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
A11 A12 A13
A21 A22 A23
hacer la suma de los productos de los elementos de las diagonales que bajan :
A11A22A33 + A21A32A13 + A31A12A23
y sustraer la suma de los productos de los elementos de las diagonales que suben :
−(A31A22A13 + A11A32A23 + A21A12A33) conformemente a la figura 1
Figura 1. El método de Sarrus
5

2 Principios de Geometría
En la Geometría, los principios importantes a recordarse son:
Los ángulos
El triángulo
La circunferencia
2.1 Los ángulos
Dos lineas que se cruzan en un punto llamado vértice forman un ángulo como le
muestra la Figura 2
Figura 2. Angulo formado en el vértice P por 2 lineas
2.1.1. Unidades de medida de los ángulos
Los ángulos se miden en π radian y en grados.
Un ángulo completo es 360 grados (que se nota 360◦
) vale 2πradian
A partir de la relación 360◦
= 2πradian, la conversión de grados en radian se hace
por la fórmula :1 radian =
360◦
2π
.
La conversión de radian en grados se hace por : 1◦
=
2π
360
.
p.e : Convertir 30◦
en radian: 30◦
=
30 · 2π
360
radian =
π
6
radian =
3.1416
6
radian ≈
0.5236 radian.
La conversión de grados en radian se hace por : 1 radian =
360◦
2π
p.e : Convertir . radian en grados: . radian = (
0.7 · 360
2π
)◦
≈ 40.107◦
.

2.1.2. Minutos y Segundos
El grado se divide en 60 minutos y el minuto se subdivide en 60 segundos.
A vez se encuentra en la literatura ángulos que se notan con una parte decimal.
Hay un proceso de conversión de decimal en (minutos/segundos), principalmente
cuando hacemos una conversión radian/grados.
p.e En la conversión de . radian = 40.107◦
, la parte decimal-. no representa
la subdivisión del ángulo en minutos y en segundos.
El proceso para convertir la parte decimal en (minutos/segundos) se hace de la
manera siguiente:
. representa


de 1◦
.
Al saber que el minuto se nota (') y la segunda (), la división del grado en minutos
y en segundos se hace en 2 tiempos:
1. Para hallar los minutos multiplicar la parte decimal de los grados por 60:
0.107 × 60 = 6.42'
2. Para hallar los segundos multiplicar la parte decimal de los minutos por 60:
0.42 × 60 = 25.2
la conversión completa es entonces
. radian = 40.107◦
= 40◦
6' 25.2
Figura 3. Valores en grados y en radian de los Ángulos
7

2.1.3. Clasicación de los ángulos
Ángulo nulo: vale cero.
Ángulo recto: vale 90◦
o
π
2
.
Ángulo completo: vale 360◦
o 2π
Observar que un ángulo de 360◦
equivale a 0◦
.
Ángulo agudo: Ángulo inferior a 90◦
- ∠AOB en la gura 3.
Ángulo obtuso: Ángulo superior a 90◦
- ∠AOD en la gura 3.
Ángulo cóncavo: Ángulo comprendido entre 180◦
y 270◦
- ∠AOF en la
gura 3.
Ángulos complementarios: Ángulos cuya la suma es igual a 90◦
Ángulos suplementarios: Ángulos cuya la suma es igual a 180◦
.
Ángulos opuestos por un vértice: Los ángulos ∠CPA y ∠BPD son opues-
tos por el vértice P. Los ángulos ∠CPB y ∠APD son opuestos también.
Ver Figura 2.
Importante : Los ángulos opuestos son iguales.
Relación entre ángulos y rectas: Sea una recta que corta dos paralelas en
los puntos respectivos A y B, se obtienen ángulos opuestos en los vértices A
y B.
Figura 4. Recta cortando 2 paralelas forma ángulos en A y en B

Los ángulos αA y αB formados por la recta cortando los 2 paralelas con-
forme a la Figura 4 son iguales.
2.2 El triángulo
Un triángulo es una gura plana formada por 3 vértices juntados por segmentos
que son los lados del triángulo.
Los triángulos se clasican :
Por sus lados:
Triángulo Equilatéro: Un triángulo cuyos los tres lados son iguales, los
tres ángulos son iguales a 60◦
.
Triángulo Isocélo: Un triángulo cuyos dos lados son iguales, los ángulos
opuestos al los lados iguales son iguales.
Triángulo Escaleno: Todos los lados tienen las longitudes diferentes
Por sus ángulos:
Triángulo recto: Un triángulo cuyo un ángulo es igual a 90◦
Triángulo acutángulo: Todos los ángulos son inferior a 90◦
Triángulo obtusángulo: Un ángulo tiene un valor superior a 90◦
Las propriedades de los triángulos se dividen en varios clases de teoremas :
Congruencia: Dos triángulos son congruentes si
Dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángu-
lo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma
medida.
Dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma
medida y longitud, respectivamente.
Cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondien-
tes del otro triángulo.
9

Semejanza: Dos triángulos son semejantes si
Dos de sus ángulos son iguales.
Dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos
es igual.
Los tres lados son proporcionales.
El teorema de Pitagóra: El teorema de Pitagóra se aplica solamente a los
triángulos rectos - cuyo un ángulo es igual a 90◦
. El lado opuesto al ángulo
recto se llama la hipotenusa, y los lados del ángulo recto se llaman catetos.
Figura 5. Triángulo Recto
Es una convención de llamar el lado de un triángulo por una letra minús-
cula y el ángulo opuesto por una letra mayúscula. Así en la figura 5, el
ángulo recto ∠A es opuesto a la hipotenusa a
El teorema de Pitagóra relaciona los lados a, b, c del triángulo:
El cuadrado de la hipotenusa a es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos b y c:
(2.1)
Teorema de Pitagóra
a2
= b2
+ c2
Los ángulos del triángulo rectos son complementarios1
:
∠B + ∠C = 90◦
Suma de los ángulos de un triángulo:
La suma de los ángulos : ∠A + ∠B + ∠C = 180◦
1Ver Clasicación de los ángulos a Ÿ2.1.3

2.2.1. El teorema de Tales
El teorema de Tales dice que 2 triángulos son semejantes si los ángulos correspon-
dientes son iguales. Los lados correspondientes son entonces proporcionales entre
si.
Figura 6. Triángulos ABC y A B C son semejantes
Tenemos por la gura 6
(2.2)
Teorema de Tales
a
a
=
b
b
=
c
c
con ∠A = ∠A ∠B = ∠B ∠C = ∠C
2.3 La circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que son a una distancia
constante de un punto llamado centro. Ver la figura 7.
Elementos de la circunferencia: son caracterizados por
Centro: El punto O interior que es equidistante a todo punto que perte-
nece a la circunferencia.
Radio: El segmento de recta de un punto de la circunferencia al centro,
OB o OC.
Diámetro: El segmento de recta CA que junta dos puntos de la circunfe-
rencia y que pasa por el centro.
11

Cuerda: Un segmento de recta CB o PB que junta dos puntos de la cir-
cunferencia.
Secante: Una recta CB que corta la circunferencia en dos puntos.
Tangente: Una recta que toca la circunferencia en el punto A, llamado
punto de tangencia.
Perímetro: La longitud Lcirc del contorno de la circunferencia de radio R.
Valor del perímetro : Lcirc = 2πR.
Arco: Una porción de circunferencia entre 2 puntos C y B. El arco entre
los puntos A y B se nota AB. Ver nota 2
.
Ángulo central: Ángulo ∠COB formado por 2 radios y cuyo el vértice es
el centro.
Ángulo inscrito: Ángulo ∠CPB formado por 2 secantes y cuyo el vértice
es un punto de la circunferencia.
Figura 7. Ángulos Central θ e Inscrito α
2Si θ es el ángulo formado por los radios OC y OB, la longitud del arco AB se calcula como
AB
2πR
=
θ
2π
, y AB= θR, con OB = OC = R.

Relación entre ángulo inscrito ∠P y ángulo central ∠O: ∠P =
∠O
2
Todos los ángulos inscritos a un mismo ángulo central son iguales:
Figura 8. Ángulos P1, P2, P3 son iguales
En la figura 8 los ángulos P1, P2 y P3 son iguales a
O
2
. De manera
general podemos escribir: Pn =
O
2
con Pn perteneciendo a cualquier punto
sobre la circunferencia al interior del arco ∠BOC cóncavo3
.
3Ver denición a Clasicación de los ángulos Ÿ2.1.3
13

Potencia de un punto interior: El producto de los segmentos de un punto
P de una secante a sus extremidades A y B es constante.
Sea un punto P interior a la circunferencia de la figura 9,
Figura 9. Potencia de un punto P interior
(2.3)
Potencia de punto P interior a una circunferencia
PA · PB = PC · PD
Potencia de un punto exterior: El producto de los segmentos de un punto
exterior a sus intersecciones con la circunferencia es constante.
Sea un punto P exterior a la circunferencia de la figura 10,
Figura 10. Potencia del punto P exterior

la potencia del punto P exterior se escribe:
(2.4)
Potencia de un punto P exterior a la circunferencia
PA · PB = PC · PD
Tangente: Un caso limite de la potencia de P exterior ocurre cuando una semi-
recta es tangente a la circunferencia y la otra es secante como le muestra la
figura 11
Figura 11. Potencia del P exterior y una tangente
La potencia del punto P se escribe:
(2.5) PC
2
= PA · PB
Otra prueba abajo 4
.
Observar también que los ángulos ∠CBA = ∠PCA por la semejanza de los
triángulos PAC y PCB.
4Esta formula puede ser vericada cuando la secante PB pasa por el centro O. El diámetro es
entonces AB. La longitud de la tangente es, en este caso PC
2
= PO
2
− R2
. R siendo el radio de la
circunferencia, la ecuación se nota entonces PC
2
= (PO − R)(PO + R) = PA · PB
15

3 Fórmulas de la trigonometría
3.1 Ángulos positivos y negativos
Antes de empezar sobre las identidades de la trigonometría, deseamos insistir
sobre la importancia de los ángulos positivos y negativos.
En la trigonometría, los ángulos pueden tener valores positivos y valores negati-
vos.
Se considera un ángulo positivo el ángulo medido en el sentido contrario de las agujas
del reloj.
Se considera un ángulo negativo el ángulo medido en el mismo sentido que las agujas
del reloj.
El origen del ángulo es el eje X de la figura 12 donde el segmento OA representa
un ángulo nulo (un ángulo de 0◦
tiene sus 2 lados confundidos).
Figura 12. Ángulo positivo y ángulo negativo

3.2 Denición de las funciones trigonométricas
La trigonometría ocupa un lugar muy importante en le Geometría Analítica.
La trigonometría relaciona los ángulos con los lados de los triángulos. Se usan tres
funciones principales que tienen ángulo como argumento :
El seno(ángulo)
El coseno(ángulo)
La tangente(ángulo)
La cotangente(ángulo)
Figura 13. Denición de las 3 funciones trigonométricas
De acuerdo que los valores de los lados del triángulo RECTO de la Figura 13 son:
a = BC
b = AC
c = AB y los ángulos del mismo triángulo son:
A = ∠BAC = 90◦
B = ∠ABC
C = ∠ACB
El seno del ángulo B, se nota sen B, y su valor es sen B =
b
a
El coseno del ángulo B, se nota cos B y su valor es cos B =
c
a
17

La tangente del ángulo B, se nota tg B (o tanB) y su valor es tg B =
b
c
.
La cotangente del ángulo B, se nota cotg B (o cotanB) y su valor es cotg B =
c
b
sen B cos B tg B cotg B sen C cos C tg C cotg C
b
a
c
a
b
c
c
b
c
a
b
a
c
b
b
c
Cuadro 1. Denición del seno, coseno y tangente de los ángulos B y C
Las funciones pueden ser representadas en el circulo trigonométrico de la
Figura 14 cuyo el radio OP vale 1.
Figura 14. Circulo trigonometrico
Las funciones trigonométricas son representadas solamente por un segmento :
sen α =
AP
OP
= PA, de la misma manera
cos α =
OA
OP
= OA y
tg α =
BT
OB
= BT
cotg α =
1
tg α

3.2.1. Representación general de las funciones
Un ángulo puede tener un valor entre 0◦
y 360◦
(2π).
Los valores de sen, cos y tangente cambian de signo en relación con el ángulo α.
El circulo trigonométrico de la figura 15 se divide en 4 sectores llamados:
Cuadrante I: Sector Arriba - Derecha (0◦
α 90◦
)
Cuadrante II: Sector Arriba - Izquierda (90◦
α 180◦
)
Cuadrante III: Sector Abajo - Izquierda (180◦
α 270◦
)
Cuadrante IV: Sector Abajo - Derecha (270◦
α 360◦
)
Figura 15. Cuadrantes del circulo trigonométrico
19

Sea un ángulo α. La figura 16 considera 4 casos donde el ángulo α ocupa
respectivamente los 4 cuadrantes:
Figura 16. Estudio del ángulo α occupando los 4 cuadrantes
La figura 16 muestra los cambios de signo de las funciones sen α, cos α, tg α
por diferentes cuadrantes que ocupa el ángulo α. El cuadro 2 da un resumen.
Signos de las funciones trigonométricas
Funciones
Cuadrante
I II III IV
sen α 0 0 0 0
cos α 0 0 0 0
tg α 0 0 0 0
Cuadro 2. Signos de sen α, cos α, tg α en los cuadrantes

3.2.2. Algunos valores de las funciones trigonométricas
Los valores de sen α, cos α y tg α por α = 0◦
, 30◦
, 60◦
, 90◦
etc. . . son tratados en los
cuadros 3 y 4.
Cuadrante I Cuadrante II
Funciones
Ángulo α
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
90◦
120◦
135◦
150◦
180◦
sen α 0
1
2
√
2
2
√
3
2
1 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0
cos α 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 0 −
1
2
−
√
2
2
−
√
3
2
−1
tg α 0
√
3
3
1
√
3 ∞ ∞ −
√
3 −1 −
√
3
3
0
Cuadro 3. Valores de las funciones en cuadrante I y II
Cuadrante III Cuadrante IV
F
α
180◦
210◦
225◦
240◦
270◦
270◦
300◦
315◦
330◦
360◦
sen α 0 −
1
2
−
√
2
2
−
√
3
2
−1 −1 −
√
3
2
−
√
2
2
−
1
2
0
cos α −1 −
√
3
2
−
√
2
2
−
1
2
0 0
1
2
√
2
2
√
3
2
1
tg α 0
√
3
3
1
√
3 −∞ −∞ −
√
3 −1 −
√
3
3
0
Cuadro 4. Valores de las funciones en cuadrante III y IV
3.2.3. Identidades de base de la trigonometría
La primera identidad de trigonometría por aplicación del teorema de Pitagóra:
(3.1) sen2
α + cos2
α = 1
y
(3.2) tg α =
sen α
cos α
21

De estas dos identidades se hallan :
(3.3) sen α = ±
tg α
1 + tg2
α
y
(3.4) cos α = ±
1
1 + tg2
α
3.2.4. Identidades en función de
α
2
Las funciones sen, cos y tg
del ángulo α pueden expresarse en función de
α
2
(3.5) sen α = 2 sen
α
2
cos
α
2
y
(3.6) cos α = cos2 α
2
− sen2 α
2
La función cos α puede ser expresada por las dos siguientes formas:
(3.7) cos α = 2 cos2 α
2
− 1
y
(3.8) cos α = 1 − 2 sen2 α
2
Identidades de la tangente:
(3.9) tg α =
2 tg
α
2
1 − tg2 α
2

3.2.5. Identidades
α
2
en función de α
Expresión de sen
α
2
, cos
α
2
, y tg
α
2
en función de α.
(3.10) sen
α
2
= ±
1 − cos α
2
y
(3.11) cos
α
2
= ±
1 + cos α
2
y
(3.12) tg
α
2
= ±
1 − cos α
1 + cos α
3.2.6. Seno, coseno y tangente de suma y diferencia
Las funciones que tienen una suma o una diferencia a ± b en el argumento como
sen (a ± b), cos (a ± b), tg (a ± b)
(3.13) sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a
(3.14) sen (a − b) = sen a cos b − sen b cos a
(3.15) cos (a + b) = cos a cos b − sen b sen a
(3.16) cos (a − b) = cos a cos b + sen b sen a
(3.17) tg (a + b) =
tg a + tg b
1 − tg a tg b
(3.18) tg (a − b) =
tg a − tg b
1 + tg a tg b
23

3.2.7. Suma y diferencia de senos, cosenos
Expresar la suma (o la diferencia) de funciones
(3.19) sen a + sen b = 2 sen
a + b
2
cos
a − b
2
(3.20) sen a − sen b = 2 sen
a − b
2
cos
a + b
2
(3.21) cos a + cos b = 2 cos
a + b
2
cos
a − b
2
(3.22) cos a − cos b = −2 sen
a + b
2
sen
a − b
2
(3.23)
sen a − sen b
sen a + sen b
=
tg
a − b
2
tg
a + b
2
3.2.8. Identidades de funciones con α ±
π
2
y α ± π
sen (
π
2
+ α) = cos α cos (
π
2
+ α) = − sen α tg (
π
2
+ α) = −
1
tg α
sen (
π
2
− α) = cos α cos (
π
2
− α) = sen α tg (
π
2
− α) =
1
tg α
sen (π + α) = − sen α cos (π + α) = − cos α tg (π + α) = tg α
sen (π − α) = sen α cos (π − α) = − cos α tg (π − α) = − tg α

Ejemplo 3.1. Vericar las identidades sen (π + α), cos (π + α)
sen (π + α) = sen π cos α + cos π sen α
sen π = 0, cos π = −1
sen (π + α) = 0 · cos α + (−1) · sen α
sen (π + α) = − sen α
cos (π + α) = cos π cos α − sen π sen α
cos (π + α) = (−1) · cos α − 0 · sen α
cos (π + α) = − cos α
Ejemplo 3.2. Al saber que cos a =
1
2
y cos b = −1,
hallar los valores de sen
a + b
2
y de cos
a + b
2
Las funciones
sen
a + b
2
= sen
a
2
cos
b
2
+ sen
b
2
cos
a
2
cos
a + b
2
= cos
a
2
cos
b
2
− sen
a
2
sen
b
2
De cos a y de cos b, aplicamos las fórmulas
sen
a
2
=
1 − cos a
2
=
1 −
1
2
2
=
1
4
=
1
2
cos
a
2
=
1 + cos a
2
=
1 +
1
2
2
=
3
4
=
√
3
2
y
sen
b
2
=
1 − cos b
2
=
1 − (−1)
2
= 1
cos
b
2
=
1 + cos b
2
=
1 − 1
2
= 0
25

Al reemplazar los valores respectivas, obtenemos
sen
a + b
2
= sen
a
2
cos
b
2
+ sen
b
2
cos
a
2
=
1
2
· 0 + 1 ·
√
3
2
=
√
3
2
cos
a + b
2
= cos
a
2
cos
b
2
− sen
a
2
sen
b
2
=
√
3
2
· 0 −
1
2
· 1 = −
1
2
sen
a + b
2
=
√
3
2
cos
a + b
2
= −
1
2

3.3 Funciones arcsin, arc cos, y arctan
A partir de la función sen α = y. Ver nota5
, queremos conocer el valor de α
que es dado por α = arcsin y.
Depende del signo, y de la función, el valor α puede estar en cualquier cuadrante.
Sea αI el ángulo en el cuadrante I que es igual, en este caso, a arcsin |y|. Ver nota 6
.
La fórmula general que da el valor del ángulo es
(3.24) α = kπ ± αI
k = 0 por ángulo en el cuadrante I (ángulo positivo) o en el cuadrante IV (ángulo
negativo)
k = 1 por angulo en los cuadrantes II y III
Ejemplo 3.3. arcsin
1
2
α = kπ ± arcsin
1
2
sen α 0, entonces los valores de α están en los cuadrantes I o II
Por k = 0, arcsin
1
2
= 30◦
(Cuadrante I)
Por k = 1, arcsin
1
2
= 180◦
− 30◦
= 150◦
(Cuadrante II)
arc cos −
√
2
2
cos α = −
√
2
2
0. El ángulo α se encuentra en el cuadrante II o III.
La fórmula α = kπ ± arc cos −
√
2
2
= kπ ± arc cos
√
2
2
. Ver nota 7
En este caso k = 1 y los valores posibles son:
α = 180◦
+ arc cos
√
2
2
= 180◦
+ 45◦
(Cuadrante III)
α = 180◦
− arc cos
√
2
2
= 180◦
− 45◦
(Cuadrante II)
5El razonamiento se aplica también a cos α = y y a tg α = y
6Tomar el valor absoluto del argumento de arcsin y, arc cos y, arctan y
7El valor de −
√
2
2
=
√
2
2
27

arctan (−
√
3)
tg α = −
√
3 0. El ángulo α se encuentra en el cuadrante II o IV.
α = kπ ± arctan −
√
3 = kπ ± arctan
√
3
En este caso
k = 0 y α = −60◦
(Cuadrante IV)
k = 1 y α = 180◦
− 60◦
= 120◦
(Cuadrante II)
El cuadro 5 da un resumen de los ángulos α en función de los signos de sen α,
cos α, y tg α, con αI siendo el ángulo en el cuadrante I. El valor de αI es αI =
arcsin |y|, αI = arc cos |y|, o αI = arctan |y|.
Valores del ángulo α en los cuadrantes
sen α cos α tg α
Cuadrante 0 0 0 0 0 0
I αI αI αI
II π − αI π − αI π − αI
III π + αI π + αI π + αI
IV −αI −αI −αI
Cuadro 5. Cuadro de los valores de α en los cuadrantes
Los siguientes ejercicios y ejemplos clarican el asunto del signo de las funciones
que tienen un ángulo que pertenece a cualquier cuadrante.
En la literatura, a vez se encuentran unas expresiones como sen (−240◦
) o cos −
13π
3
El signo − en el argumento de una función indica sencillamente que el ángulo se mide
en el sentido de las agujas del reloj. Para normalizar un caso donde el argumento es
negativo - como sen (−240◦
) - sencillamente hacer sen (360◦
− 240◦
) = sen 120◦
.
Los argumentos que sobrepasan 360◦
o 2π - como p.e 435◦
o
13π
3
- dividir res-
pectivamente por 360 y por 2π y tomar el resto de la división como resultado :
Ejemplo 3.4. :
435◦
equivale a 435◦
− 360◦
= 75◦
, y
13π
3
equivale a
13π
3
− 2 · 2π =
π
3

Ejemplo 3.5. : Calcular cos
−17π
3
−17π
3
equivale a
−17π
3
+ 2 · 2π =
(−17 + 12)π
3
=
−5π
3
cos
−5π
3
= cos 2π −
5π
3
= cos
6π − 5π
3
= cos
π
3
=
1
2
29

3.4 Los triángulos
No se puede terminar la introducción a la geometría analítica sin hablar de la
aplicación de la trigonometría a los triángulos. Esta sección revisa todas la materia
vista en la introducción. Se usa las fórmulas de los triángulos.
3.4.1. Notación de los triángulos
Por convención la notación usa una letra mayúscula para los ángulos (A, B, C) y
una letra minúscula para los lados(a, b, c). Por esta misma convención las letras de
mismo nombre son opuestas, así como le muestra la figura 17 del triángulo ABC.
Figura 17. Triángulo ABC

3.4.2. Regla de los senos
Consideremos el triángulo de la figura 18
Figura 18. Triángulos de la regla de los senos
Al considerar los triángulos rectos ABHa y ACHa, podemos escribir que AHa
vale
(3.25) AHa = c · sen B = b · sen C
Así que dentro los triángulos ABHb y BCHb, BHb vale
(3.26) BHb = c · sen A = a · sen C
De la ecuacion 3.25,
(3.27)
c
sen C
=
b
sen B
y de la ecuación 3.26,
(3.28)
c
sen C
=
a
sen A
La fórmula completa es entonces
(3.29)
La regla de los senos
a
sen A
=
b
sen B
=
c
sen C
31

3.4.3. Regla de los cosenos
Consideremos la figura 19.
Figura 19. Regla de los cosenos
La altura AH corta la base a = BC en un punto H, de manera que
la base equivale a a = BH + HC.
Observemos también que BH = c · cos B y HC = b · cos C
Al poner al cuadrado a, obtenemos a2
= (BH + HC)2
= (c · cos B + b · cos C)2
.
El desarrollo nos da
(3.30) a2
= c2
cos2
B + b2
cos2
C + 2bc cos B cos C
La ecuación tiene los términos c2
cos2
B + b2
cos2
C y 2bc cos B cos C que vamos es-
tudiar a parte cada uno.
c2
cos2
B + b2
cos2
C:
Reemplacemos el termino c2
cos2
B por c2
− c2
sen2
B y el termino b2
cos2
C
por b2
− b2
sen2
C.
Por la regla de los senos
b
sen B
=
c
sen C
, y b sen C = c sen B.
Al reemplazar b sen C por c sen B obtenemos
c2
cos2
B + b2
cos2
C = c2
+ b2
− c2
sen2
B − b2
sen2
C o sea
c2
cos2
B + b2
cos2
C = c2
+ b2
− 2c2
sen2
B

2bc cos B cos C:
De la fórmula cos (B + C) = cos B cos C − sen B sen C,
tenemos 2bc cos B cos C = 2bc cos (B + C) + 2bc sen B sen C
Reemplacemos b sen C por c sen B dentro 2bc sen B sen C y se obtiene
2bc sen B sen C = 2c2
sen2
B
2bc cos B cos C = 2bc cos (B + C) + 2c2
sen2
B
La ecuación completa es entonces:
(3.31) a2
= b2
+ c2
− 2c2
sen2
B + 2bc cos (B + C) + 2c2
sen2
B
Reemplazar (B + C) por su equivalente con el ángulo A
(3.32) B + C = 180◦
− A
El valor de cos (B + C) = cos (180◦
− A) = − cos A.
Tenemos por n la fórmula completa,
(3.33)
La regla de los cosenos
a2
= b2
+ c2
− 2bc cos A
b2
= a2
+ c2
− 2ac cos B
c2
= a2
+ b2
− 2ab cos C
3.4.4. Fórmulas de sen
A
2
, y de cos
A
2
La ecuación de la regla de los cosenos es muy importante pues permite el desarrollo
de las fórmulas dando ángulos a partir de los lados del triángulo.
Una de las ecuaciones 3.33 puede escribirse como
(3.34) a2
= b2
+ c2
− 2bc(cos2 A
2
− sen2 A
2
)
que se escribe de la
Primera forma :
(3.35) a2
= b2
+ c2
− 2bc(2 cos2 A
2
− 1)
Al desarrollar la ecuación 3.35, tenemos
a2
= b2
+ c2
− 4bc · cos2 A
2
+ 2bc
33

a2
= (b + c)2
− 4bc · cos2 A
2
Al poner el termino en cos
A
2
a la izquierda
(3.36) 4bc · cos2 A
2
= (b + c)2
− a2
= (b + c + a)(b + c − a)
El perímetro a + b + c es igual a 2p por convención,
entonces se escribe 2p = a + b + c, y
a + b − c = 2(p − c)
a − b + c = 2(p − b)
−a + b + c = 2(p − a)
La ecuación 3.36 se escribe
(3.37) 4bc · cos2 A
2
= 2p · 2(p − a) = 4p(p − a)
El cosenos del ángulo medio
A
2
se escribe
(3.38) cos
A
2
=
p(p − a)
bc
De la misma forma para cos
B
2
y cos
C
2
(3.39) cos
B
2
=
p(p − b)
ac
y
(3.40) cos
C
2
=
p(p − c)
ab

Segunda forma : La segunda forma de escribir la ecuación 3.34 es reemplazar
cos2 A
2
− sen2 A
2
por 1 − 2 sen2 A
2
.
(3.41) a2
= b2
+ c2
− 2bc(1 − 2 sen2 A
2
)
Desarrollemos a2
= b2
+ c2
− 2bc + 4bc sen2 A
2
4bc sen2 A
2
= a2
− (b − c)2
= (a − b + c)(a + b − c) = 4(p − b)(p − c)
Finalmente el senos del ángulo medio
A
2
es
(3.42) sen
A
2
=
(p − b)(p − c)
bc
De la misma forma para sen
B
2
y sen
C
2
(3.43) sen
B
2
=
(p − a)(p − c)
ac
y
(3.44) sen
C
2
=
(p − a)(p − b)
ab
3.4.5. Regla de las tangentes
Por la regla de los senos (3.29), la ecuación
a
sen A
=
b
sen B
puede tomar la forma
a
b
=
sen A
sen B
.
Podemos escribir
a − b
a + b
=
sen A − sen B
sen A + sen B
=
2 sen
A − B
2
cos
A + B
2
2 sen
A + B
2
cos
A − B
2
La regla de las tangentes
(3.45)
a − b
a + b
=
tg
A − B
2
tg
A + B
2
35

3.4.6. Cálculo de la supercie de un triángulo
Figura 20. Supercie del triángulo ABC
Al considerar la figura 20, la supercie S se calcula por S =
BC · AH
2
.
Al reemplazar AH por b sen C, y a por BC tenemos
(3.46) S =
ab sen C
2
Pongamos el equivalente de sen C = 2 sen
C
2
cos
C
2
dentro 3.46 y
tenemos S = ab sen
C
2
cos
C
2
Con sen
C
2
=
(p − a)(p − b)
ab
y cos
C
2
=
p(p − c)
ab
La supercie de un triángulo ABC es
(3.47)
S = p(p − a)(p − b)(p − c)
con p =
1
2
(a + b + c)

3.5 Conclusión
Para cerrar la introducción, propongamos un ejercicio bien práctico.
Ejercicio 3.1. Expresar (bajo forma de producto) los lados de un triángulo en
función del perímetro 2p y de sus ángulos A, B y C.
Sea a, b, c los lados del triángulo.
Aplicamos la regla de los senos:
a
sen A
=
b
sen B
=
c
sen C
Podemos escribir por el lado a :
a
sen A
=
a + b + c
sen A + sen B + sen C
=
2p
Desarrollamos el termino sen A + sen B + sen C
sen A = sen [180◦
− (B + C)] = sen (B + C)
sen A + sen B + sen C = sen (B + C) + sen B + sen C
Con las identidades,
sen (B + C) = 2 sen
B + C
2
cos
B + C
2
y sen B + sen C = 2 sen
B + C
2
cos
B − C
2
37

obtenemos
sen A + sen B + sen C =
= 2 sen
B + C
2
cos
B + C
2
+ 2 sen
B + C
2
cos
B − C
2
o sea = 2 sen
B + C
2
cos
B + C
2
+ cos
B − C
2
Al desarrollar, tenemos
sen A + sen B + sen C =
= 2 sen
B + C
2
2 cos
B + C + B − C
4
· cos
B + C − B + C
4
= 4 sen
180◦
− A
2
cos
B
2
· cos
C
2
= 4 sen 90◦
−
A
2
cos
B
2
cos
C
2
= 4 cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
El lado a vale
a =
2p sen A
=
2p sen A
4 cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
=
4p sen
A
2
cos
A
2
4 cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
Obtenemos por n a =
p sen
A
2
cos
B
2
cos
C
2
con p =
1
2
(a + b + c)
Por analogía b =
p sen
B
2
cos
A
2
cos
C
2
y c =
p sen
C
2
cos
A
2
cos
B
2
.

Ejercicio 3.2. Hacemos la prueba que la fórmula a =
p sen
A
2
cos
B
2
cos
C
2
da el valor
del lado a.
Reemplazar los valores de sen
A
2
, cos
B
2
, cos
C
2
por las fórmulas respectivas.
sen
A
2
=
(p − b)(p − c)
bc
, cos
B
2
=
p(p − b)
ac
, cos
C
2
=
p(p − c)
ab
a =
p sen
A
2
cos
B
2
cos
C
2
=
p
(p − b)(p − c)
bc
p(p − b)
ac
·
p(p − c)
ab
= p
(p − b)(p − c)
bc
·
a2
bc
p2(p − b)(p − c)
= p
(p − b)(p − c)
bc
·
a
p
·
bc
(p − b)(p − c)
= a
Vericado!!
39

4 Formulario de trigonometría
Fórmulas principales de identidades :
sen2
α + cos2
α = 1, tg α =
sen α
cos α
sen α =
tg α
1 + tg2
α
, cos α =
1
1 + tg2
α
sen α = 2 sen
α
2
cos
α
2
, cos α = cos2 α
2
− sen2 α
2
cos α = 1 − 2 sen2 α
2
= 2 cos2 α
2
− 1
tg α =
2 tg
α
2
1 − tg2 α
2
sen
α
2
=
1 − cos α
2
, cos
α
2
=
1 + cos α
2
, tg
α
2
=
1 − cos α
1 + cos α
sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β
cos (α ± β) = cos α cos β sen α sen β
tg (α ± β) =
tg α ± tg β
1 tg α tg β
sen α + sen β = 2 sen
α + β
2
cos
α − β
2
sen α − sen β = 2 cos
α + β
2
sen
α − β
2
cos α + cos β = 2 cos
α + β
2
cos
α − β
2
cos α − cos β = −2 sen
α + β
2
sen
α − β
2

sen α − sen β
sen α + sen β
=
tg
α − β
2
tg
α + β
2
sen (
π
2
+ α) = cos α, cos (
π
2
+ α) = − sen α
sen (
π
2
− α) = cos α, cos (
π
2
− α) = sen α
sen (π + α) = − sen α, cos (π + α) = − cos α
sen (π − α) = sen α, cos (π − α) = − cos α
tg (
π
2
+ α) = −
1
tg α
, tg (
π
2
− α) =
1
tg α
tg (π + α) = tg α, tg (π − α) = − tg α
Fórmulas de los triángulos de lados a, b, c y ángulos A, B, C:
Reglas de los senos :
a
sen A
=
b
sen B
=
c
sen C
Reglas de los cosenos :
a2
= b2
+ c2
− 2bc cos A
b2
= a2
+ c2
− 2ac cos B
c2
= a2
+ b2
− 2ab cos C
41

Fórmulas de los ángulos medio en función
de la longitud de los lados a, b, c :
sen
A
2
=
(p − b)(p − c)
bc
, cos
A
2
=
p(p − a)
bc
con p =
a + b + c
2
sen
B
2
=
(p − a)(p − c)
ac
, cos
B
2
=
p(p − b)
ac
sen
C
2
=
(p − a)(p − b)
ab
, cos
C
2
=
p(p − c)
ab
Supercie S de triángulo en función de los lados a, b, c :
S = p(p − a)(p − b)(p − c) con p =
a + b + c
2

2 | El punto
1 Introducción
La base de la Geometría Analítica es la utilización del álgebra para solucionar los
problemas de la Geometría, y da una abertura más amplia. La Geometría Analítica
es una aplicación del álgebra, y de la trigonometría para representar el punto, la
recta, la circunferencia, guras etc. . . bajo forma de ecuaciones.
Por ejemplo un sistema de ecuaciones a 2 incógnitas representa 2 rectas cuyas las
coordenadas del punto de la intersección es dada por la solución de este sistema de
ecuaciones.
Los lugares geométricos - como la circunferencia, la parábola, la cicloidal, etc. . . descrito
por un punto son unas de las aplicaciones mas importantes de la Geometría Analítica.
2 Segmento rectilíneo
Un segmento es una porción de recta comprendida entre 2 puntos.
Sean A y B los dos puntos.
A y B son las extremidades del segmento, y determinan la longitud AB del segmento.
Del punto de vista geométrico, la longitud del segmento AB es independiente de sus
extremidades y se mide a partir de A o de B.
2.1 Segmento rectilíneo dirigido
En la Geometría Analítica los segmentos tienen una longitud y un sentido (o una
dirección).
Si el segmento de la figura 1 esta leído del punto A al punto B hacia la derecha,
el segmento se nota AB y es positivo. Si el segmento esta leído a partir del punto B
como inicio al punto A hacia la izquierda, el segmento se nota BA y es negativo.
43

Las longitudes de AB y de BA son iguales pero los sentidos son opuestos.
Podemos escribir AB = −BA.
Figura 1. Segmento AB
Sea un segmento de la figura 2, AC esta pasando por un punto B.
Figura 2. Segmento AC
La longitud del segmento AC es AC = AB + BC.
Su longitud puede ser escrita como AC = AB − CB, porque BC = −CB.
El valor CB es negativo porque leído de C a B hacia la izquierda, el valor −CB es
entonces positivo.
2.2 Sistema de coordenada lineal
Sea una recta horizontal X X sobre la cual elegimos un punto O como origen.
El punto O es el punto inicial cuya la distancia a un punto P1 se mide a la derecha
de O y cuya la distancia a un punto P2 se mide a la izquierda.
Figura 3. Eje X X

La longitud del segmento OP1 es medida hacia la derecha por el valor x1,
entonces OP1 = x1 y es positivo.
La longitud del segmento OP2 es medida hacia la izquierda por el valor x2,
y OP2 = x2 que es negativo.
Las medidas x1 y x2 son las abscisas respectivas de los puntos P1 y P2.
Ejemplo 2.1. En el ejemplo de la figura 4, el punto P1 tiene una medida
notada x1 de +4 hacia la derecha a partir del punto de origen O, mientra que el
punto P2 tiene una medida notada x2 de −3 hacia la izquierda a partir de O.
Las medidas x1 = 4 y x2 = −3 son las abscisas respectivas de los puntos P1 y P2.
Figura 4. Abscisa P1 = x1 = 4, Abscisa OP2 = x2 = −3
2.2.1. Distancia entre 2 puntos de segmento rectilíneo dirigido
Sea una recta X X, sobre la cual tenemos 2 puntos P1 y P2 de abscisas respectivas
x1 y x2 como le muestra la figura 5.
Figura 5. Distancia P1P2
La distancia entre los puntos P1 y P2 es el segmento P1P2 que vale
P1P2 = OP2 − OP1 = x2 − x1.
La distancia entre los puntos P1 y P2 es la longitud del segmento P1P2 cuyo el
valor es absoluto, es decir que no tiene signo y es positivo.1
.
1Un valor absoluto es siempre positivo
45

Para estar cierto y sin equívoco que la distancia se queda positiva entre los puntos
P1 y P2, tomar el valor absoluto :
P1P2 = |x2 − x1| = |x1 − x2|.
Ejemplo 2.2. Los 2 puntos P1 y P2 de la figura 6 tienen las abscisas respectivas
x1 = 3 y x2 = 5
Calcular la distancia entre P1 y P2.
Figura 6. Distancia entre P1 y P2
Distancia entre P1 y P2: P1P2 = OP2 − OP1 = |x2 − x1| = |5 − 3| = 2
El ejemplo que sigue los puntos P1 y P2 tienen las abscisas respectivas de signos
opuestos.
Ejemplo 2.3. En este ejemplo los puntos P1 y P2 son de abscisas respectivas
x1 = 2 y x2 = −3.
Hallar la distancia entre los 2 puntos.
Distancia P2P1 = OP1 − OP2 = |x1 − x2| = |2 − (−3)| = 5

Ejemplo 2.4. En este ejemplo, hallar la distancia entre 2 puntos cuyas las abs-
cisas son ambas negativas.
Distancia P1P2 = OP2 − OP1 = |x2 − x1| = |−3 − (−7))| = |−3 + 7)| = |+4| = 4
Observación 2.1. Para calcular una distancia, es una buena costumbre de tomar
primero el segmento cuya la abscisa es mayor y después restar la abscisa del segundo
segmento.
Por el ejemplo de arriba,
la distancia P1P2 = abscisa punto P2
x2 mayor
− abscisa punto P1
x1 menor
= x2 − x1 = −3 − (−7) =
−3 + 7.
El punto cuya la abscisa es mayor es a la derecha.
3 Sistema de coordenadas en el plano
Para que el estudio de la guras que tiene 2 dimensiones, como la circunferencia
o la elipse, sea posible, se necesita un plano de sistema de coordenadas.
El plano esta formado por 2 ejes X X e Y Y perpendiculares entre si como le muestra
la figura 7.
Figura 7. Sistema de coordenadas XY
47

La recta X X es llamado el eje X, o eje de los X, y la recta Y Y es el eje Y o eje
de los Y .
El punto O es el origen del sistema.
3.1 Los cuadrantes
Las rectas X OX e Y OY dividen el plano de sistema de coordenadas en cuatro
regiones llamadas cuadrantes.
La semi-recta OX dirigida hacia la derecha representa los valores positivos de los X,
la semi-recta OX representa los valores negativos de los X.
La semi-recta OY dirigida hacia arriba representa los valores positivos de los Y , y
la semi-recta OY representa los valores negativos de los Y . Los cuadrantes son
numerados en la figura 8.
Figura 8. Los cuadrantes
De acuerdo con la figura 8, los cuadrantes dividen el plano del sistema de
coordenadas por cada par de signos (+ -) de X y de Y . El cuadro 1 completa la
información sobre los signos atribuidos a cada cuadrante.
Signos de los ejes X e Y
Ejes
Cuadrantes
I II III IV
Eje (X) 0 0 0 0
Eje (Y ) 0 0 0 0
Cuadro 1. Signos de las coordenadas en los cuadrantes

3.2 Coordenadas del punto P
A partir de un punto P elegido en el cuadrante I, se traza un segmento perpen-
dicular al eje X en un punto PX.
Luego siempre a partir del punto P, se traza un otro segmento perpendicular al eje
Y en un punto PY .
La longitud del segmento dirigido OPX es la medida del punto P al eje Y , y se llama
la abscisa del punto P.
La longitud del segmento dirigido OPY es la medida del punto P al eje X, y se llama
la ordenada del punto P.
La abscisa y la ordenada son las coordenadas del punto P.
Figura 9. Coordenadas del punto P
En vez de usar la notación OPX y OPY para indicar las coordenadas del punto P,
se usa la notación más ligera xP e yP que son, por supuesto, iguales a las longitudes
respectivas OPX y OPY .
La posición del punto P se notica sencillamente P(xP , yP ). Las variables xP e yP
son entonces las coordenadas del punto.
49

Ejemplo 3.1. La figura 10 muestra un ejemplo donde los segmentos de longi-
tudes respectivas OXp y OYp son la abscisa xp y la ordenada yp del punto.
El ejemplo muestra la aplicación de una abscisa negativa, xp cuya la longitud es
dirigida hacia la izquierda, su valor es -6.
Figura 10. Ejemplo 3.1
El punto P se encuentra en el cuadrante II, su abscisa xp = −6, su ordenada
yp = 4 y su notación es P(−6, 4).
IMPORTANTE 1. Los puntos P que se ubican sobre el eje X tienen las coor-
denadas cuya la ordenada es igual a cero, y se notan P(xp, 0).
Los puntos P que se ubican sobre el eje Y tienen las coordenadas cuya la abscisa es
igual a cero, se notan P(0, yp).
Un punto P que se ubican al origen tiene una coordenada (0, 0), se nota P(0, 0).

Ejemplo 3.2. Hallar las coordenadas de los puntos X1, X2, Y1, Y2 de la figura
11
El punto X1 es sobre el eje X, tiene la misma abscisa que los puntos A(4, 4) y
D(4, −4) y sus coordenadas son X1(4, 0).
El punto X2 es sobre el eje X, tiene la misma abscisa que los puntos B(−4, 4) y
C(−4, −4) y sus coordenadas son X2(−4, 0).
El punto Y1 es sobre el eje Y , tiene la misma ordenada que los puntos A(4, 4) y
B(−4, 4) y sus coordenadas son Y1(0, 4).
El punto Y2 es sobre el eje Y , tiene la misma ordenada que los puntos C(−4, −4)
y D(4, −4) y sus coordenadas son Y2(0, −4).
51

Ejemplo 3.3. Hallar las coordenadas de los vértices B y C del triángulo de la
figura 12.
Figura 12. Solución ejemplo 3.3
El triángulo es equilatéro, tiene sus lados iguales a a y los ángulos son iguales a
60◦
.
Los ángulos α sobre la figura 12 son iguales a 60◦
.
Llamemos las coordenadas del punto B, B(xB, yB) y del punto C(xC, yC).
El punto B se encuentra en el cuadrante III, entonces los valores de las coordenadas
son negativos y valen :
xB = ABx = − AB cos α = − AB cos 60◦
= −a cos 60◦
= −
a
2
(Abscisa)
yB = BxB = − AB sen α = − AB sen 60◦
= −a sen 60◦
= −a
√
3
2
(Ordenada)
El punto C se encuentra en el cuadrante IV, entonces el valore de la abscisa es
positivo y vale:
xC = ACx = AC cos 60◦
= a cos 60◦
=
a
2
La ordenada es negativa y vale:
yC = CxC = − AC sen 60◦
= −a sen 60◦
= −a
√
3
2

Las coordenadas de los puntos B y C son entonces:
B(−
a
2
, −a
√
3
2
) y C(
a
2
, −a
√
3
2
) . Ver nota abajo de la pagina2
Ejemplo 3.4. Hallar los vértices del hexágono de la figura 13 al saber que
todos los lados valen 4.
Como se ve en la figura 13, el hexágono tiene 6 lados iguales entre si. Los
segmentos juntando los vértices al origen tienen una longitud igual a los lados del
hexágono por ser lados de triángulos equilatéros.
Los puntos P0 y P180 tienen una ordenada igual a cero.
Las coordenadas de P0 es P0(4, 0)
Los segmentos OP0, OP60, OP180, etc... forman ángulos con el eje OX que son múl-
tiplos de 60◦
:
Vértice P60(xA, yC): Abscisa xA = 4 cos 60◦
= 4 ·
1
2
= 2,
Ordenada yC = 4 sen 60◦
= 4 ·
√
3
2
= 2
√
3
2Tomamos los valores absolutos AB y AC para estar cierto que los segmentos sean positivos.
En este sentido los segmentos no son dirigidos, AC y CA son iguales. Eso para no complicar el
ejercicio más bien trabajar con los cuadrantes para tener los signos correctos.
53

Vértice P120(xB, yC): : Abscisa xB = 4 cos 120◦
= 4 · −
1
2
= −2,
Ordenada yC = 4 sen 120◦
= 4 ·
√
3
2
= 2
√
3
Vértice P180(−4, 0): Abscisa x180 = 4 · cos 180◦
= 4 · (−1) = −4
Vértice P240(xB, yD): Abscisa xB = 4 cos 240◦
= 4 · −
1
2
= −2
Ordenada yD = 4 sen 240◦
= 4 · −
√
3
2
= −2
√
3
Vértice P300(xA, yD): Abscisa xA = 4 · cos 300◦
= 4 ·
1
2
= 2
Ordenada yD = 4 sen 300◦
= 4 · −
√
3
2
= −2
√
3
Coordenadas de los vértices del Hexágono
Coordenadas
Vértices
P0 P60 P120 P180 P240 P300
Abscisas 4 2 −2 −4 −2 2
Ordenadas 0 2
√
3 2
√
3 0 −2
√
3 −2
√
3
Cuadro 2. Ejemplo 3.4

Ejercicio 3.1. En la figura 14 el segmento OA cuya la longitud es 2
√
5 es
la media diagonal de un cuadrado ABCD y hace un ángulo α con el eje X tal que
tanα =
1
2
.
Figura 14. Ejercicio 3.1
Hallar las coordenadas de los vértices A, B, C y D.
Rep : A(4, 2), B(−2, 4), C(−4, −2), D(2, −4)
55

Ejercicio 3.2. En la figura 15 la longitud del segmento AB es 10, y
OB
OA
= −
4
3
Figura 15. Ejercicio 3.2
Hallar las coordenadas de los vértices A y B.
Rep: A(−6, 0), B(0, 8).

3.3 Distancia entre 2 puntos en el sistema de coordenadas
Sean 2 puntos P1 y P2 de coordenadas respectivas P1(x1, y1) y P2(x2, y2).
Figura 16. Distancia entre los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
La hipotenusa P1P2 del triángulo recto P1KP2 de la figura 16, da la distancia
d entre los puntos P1 y P2.
d = P1P2 = P1K
2
+ KP2
2
.
La longitud del segmento P1K = NM = NO + OM.
Los segmentos NO y OM tienen por valores respectivos NO = −ON = −x1 y
OM = x2.
El segmento P1K tiene una longitud : P1K = x2 − x1.
La longitud del segmento KP2 = MP2 − MK.
Los segmentos MP2 y MK tienen las longitudes respectivas MP2 = y2 y MK = y1.
La longitud del segmento KP2 es entonces KP2 = y2 − y1.
(3.1)
Distancia d entre los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
d = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
57

Notación 3.1. Para demostrar la fórmula, hicimos un dibujo - figura 16.
Quizás que hay dudas que se quedan en la mente. Se puede escoger un dibujo donde
el segmento P1P2 esta bajando y poner los puntos P1 y P2 en cualquier cuadrante,
hacer los cálculos con las coordinadas numéricas, y ver que la fórmula responde por
todos los casos.
3.4 División de un segmento en una razón r dada
Sea un punto P que esta colocado sobre un segmento P1P2 tal que la razón r es
igual a
P1P
PP1
.
Dos casos son considerados.
El punto P esta a dentro el segmento P1P2, la razón r es entonces positiva, y el punto
P esta al exterior del segmento P1P2, la razón r es entonces negativa.
3.4.1. Coordenadas del punto P qui divide un segmento según la razón r positi-
va
Sea un punto P(x0, y0) qui esta sobre el segmento de la figura 17.
La razón r =
P1P
PP2
y se nota r = P1P : PP2
Figura 17. División de un segmento por una razón dada

Los triángulos P1EP y PGP2 de la figura 17 son semejantes, podemos
escribir entonces la relación
(3.2) r =
P1P
PP2
=
P1E
PG
=
EP
GP2
con los valores respectivos
P1E = x0 − x1, PG = x2 − x0
EP = y0 − y1, y GP2 = y2 − y0
Al reemplazar las longitudes de los segmentos P1E y PG por sus valores respec-
tivas dentro la ecuación 3.2, tenemos
r =
P1E
PG
=
x0 − x1
x2 − x0
al multiplicar por x2 − x0 : r(x2 − x0) = x0 − x1
rx2 − rx0 = x0 − x1
x0(1 + r) = x1 + rx2
(3.3)
de donde obtenemos
(3.4) x0 =
x1 + rx2
1 + r
con r 0
De la misma manera
(3.5) r =
EP
GP2
=
y0 − y1
y2 − y0
lo que nos lleva a
(3.6) y0 =
y1 + ry2
1 + r
con r 0
59

Ejemplo 3.5. Hallar las coordenadas de un punto P(x0, y0) que se encuentra a
la mitad del segmento que esta juntando los puntos P1(−4, −8) y P2(2, −4).
Si el punto P es a la mitad del segmento P1P2, la razón es r = 1.
Tenemos entonces con
x1 = −4, x2 = 2
y1 = −8, y y2 = −4
x0 =
x1 + rx2
r + 1
=
−4 + 1 · 2
1 + 1
=
−4 + 2
2
= −1
y0 =
y1 + ry2
r + 1
=
−8 + 1 · (−4)
1 + 1
=
−8 − 4
2
= −6
Las coordenadas del punto P(−1, −6) .
3.4.2. Coordenadas del punto P qui divide un segmento según una razón r ne-
gativa
El punto P(x0, y0) esta al exterior del segmento, o sea el punto esta sobre la
prolongación del segmento P1P2 tal que la razón
P1P
PP2
es igual a r.
En la figura 18, el segmento PP2 es negativo, la razón r =
P1P
PP2
es entonces
negativa, y se nota r = P1P : PP2.
Figura 18. Division de segmento por un razon r con P exterior

Podemos escribir
r =
P1P
PP2
= −
P1P
P2P
0
En la figura 18, los triángulos P1FP y P2GP son semejantes.
Expresamos la razón r que es igual a
(3.7) r = −
P1P
P2P
= −
P1F
P2G
= −
FP
GP
Los valores de los segmentos P1F, P2G, FP, y GP son
P1F = x0 − x1 y P2G = x0 − x2 para las abscisas,
FP = y0 − y1 y GP = y0 − y2 para las ordenadas.
Al reemplazar las longitudes de los segmentos dentro la expresión 3.7, obtenemos
r = −
x0 − x1
x0 − x2
= −
y0 − y1
y0 − y2
r(x0 − x2) = −x0 + x1 y r(y0 − y2) = −y0 + y1
x0(1 + r) = rx2 + x1 y y0(1 + r) = ry2 + y1
De donde
(3.8)
Coordenadas de punto P(x0, y0) dividiendo un segmento P1P2 según una razón r
Coordenadas puntos extremos: P1(x1, y1), P2(x2, y2),
x0 =
x1 + rx2
1 + r
, y0 =
y1 + ry2
1 + r
r 0 por P interior, r 0, y r = −1 por P exterior.
61

Ejemplo 3.6. Cuales son las coordenadas de un punto P(x0, y0) exterior al seg-
mento P1P2 con P1(−5, 1) y P2(1, 3), al saber que la razón es −3.
Las coordenadas de P1 y de P2 tienen los valores respectivos:
x1 = −5 y y1 = 1
x2 = 1 y y2 = 3
Las coordenadas del punto P son :
x0 =
x1 + rx2
1 + r
=
−5 + (−3) · 1
1 − 3
=
−5 − 3
−2
= 4
y0 =
y1 + ry2
1 + r
=
1 + (−3) · 3
1 − 3
=
1 − 9
−2
= 4
El punto P es de coordenadas P(4, 4) .
Figura 19. Coordenadas del punto P(x0, y0)

Ejemplo 3.7. Los extremos de un segmento son los puntos P1(−1, −4) y P2(7, 4).
Hallar la razón P1P : PP2 si el punto P(1, −2) divide al segmento.
Figura 20. Hallar la razón r =
P1P
PP2
Apliquemos la denición de la división del segmento P1P2 por el punto P :
r =
P1P
PP2
=
x0 − x1
x2 − x0
=
y0 − y1
y2 − y0
donde x0 = 1, y0 = −2, x1 = −1, y1 = −4, x2 = 7, y2 = 4
r =
1 − (−1)
7 − 1
=
2
6
La razón r =
P1P
PP2
=
1
3
.
Para vericar la exactitud del resultado,hagamos el cálculo con las ordenadas de
los puntos P, P1 y P2,
y0 = −2, y1 = −4, y2 = 4
r =
P1P
PP2
=
y0 − y1
y2 − y0
=
−2 − (−4)
4 − (−2)
=
−2 + 4
4 + 2
=
2
6
=
1
3
63

Ejemplo 3.8. Los extremos de un segmento son los puntos P1(−2, 1) y P2(2, 3).
Hallar la razón negativa r = P1P : PP2 si las coordenadas del punto P son (−4, 0).
Figura 21. Hallar la razón negativa r =
PP1
PP2
Se trata aquí de un ejemplo de razón negativa,
r =
P1P
PP2
=
x0 − x1
x2 − x0
donde x0 = −4, x1 = −2, x2 = 2
r =
−4 − (−2)
2 − (−4)
=
−4 + 2
2 + 4
= −
2
6
La razón de r = P1P : PP2 = −
1
3
La vericación por las ordenadas
y0 = 0, y1 = 1, y2 = 3
nos da r =
P1P
PP2
=
y0 − y1
y2 − y0
=
0 − 1
3 − 0
= −
1
3

Ejemplo 3.9. Demostrar que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo
recto equidista de los tres vértices.
Figura 22. En el triángulo recto ABC, OA = OB = OC = c
Para no complicar los cálculos, presentemos el problema según la figura 22
donde el origen O corresponde al punto medio de la hipotenusa BC.
Las coordenadas de los vértices A, B y C son respectivamente
(xA, yA), (−c, 0) y (c, 0) como le muestra la gura.
Al aplicar el teorema de Pitagóra, tenemos
BC
2
= AB
2
+ AC
2
donde
BC = OC + BO = OC − OB = c − (−c) = 2c
AB
2
= [xA − (−c)]2
+ y2
A = x2
A + 2cxA + c2
+ y2
A
AC
2
= (xA − c)2
+ y2
A = x2
A − 2cxA + c2
+ y2
A
Al hacer : BC
2
= AB
2
+ AC
2
tenemos
4c2
= AB
2
+ AC
2
= 2x2
A + 2c2
+ 2y2
A
Al dividir por 2 : 2c2
= x2
A + c2
+ y2
A
y c2
= x2
A + y2
A
La distancia OA se calcula,
OA
2
= x2
A + y2
A de donde c2
= OA
2
y c = OA
de donde c = OA = OB = OC
65

Ejemplo 3.10. Hallar las coordenadas del tercero vértice C de un triángulo equi-
latéro al conocer los vértices A(1, 4) y B(3, −2)
Figura 23. Hallar las coordenadas del vértice C

El problema tiene 2 soluciones porque el vértice C puede estar de cada lado del
segmento AB.
Etapas a seguir:
1. Calcular la longitud del segmento AB.
2. Escribir 2 ecuaciones que expresan las longitudes de los segmentos BC y CA.
3. Expresar xC en función de yC.
4. Reemplazar xC dentro unas de las ecuaciones de BC o de CA.
5. Resolver la ecuación del segundo grado para hallar yC.
Calcular la longitud del segmento AB.
La longitud se calcula a partir de las coordenadas de los vértices A(1, 4) y
B(3, −2).
xA = 1, yA = 4
xB = 3, yB = −2
AB
2
= (xA − xB)2
+ (yA − yB)2
= (1 − 3)2
+ (4 − (−2))2
= (−2)2
+ (6)2
= 4 + 36
= 40
Escribir 2 ecuaciones que expresan las longitudes de los segmentos
BC y CA.
BC
2
= (xB − xC)2
+ (yB − yC)2
= 40
CA
2
= (xA − xC)2
+ (yA − yC)2
= 40(3.9)
Expresar xC en función de yC Hacer la diferencia entre BC
2
y CA
2
BC
2
− CA
2
= (xB + xA − 2xC) · (xB − xA) + (yB + yA − 2yC) · (yB − yA) = 0
= (3 + 1 − 2xC) · (3 − 1) + (−2 + 4 − 2yC) · (−2 − 4) = 0
= 2(4 − 2xC) − 6(2 − 2yC) = 0
= 8 − 4xC − 12 + 12yC = 0
= −4 − 4xC + 12yC = 0
Al dividir por −4 : = 1 + xC − 3yC = 0
xC = 3yC − 1
67

Reemplazar xC dentro ecuación dando CA
Reemplazar valor de xC = 3yC − 1 dentro ecuación 3.9
AC
2
= (xA − xC)2
+ (yA − yC)2
= 40
= [1 − (3yC − 1)]2
+ (4 − yC)2
= 40
= (2 − 3yC)2
+ (4 − yC)2
= 40
= 4 − 12yC + 9y2
C + 16 − 8yC + y2
C = 40
= 10y2
C − 20yC + 20 = 40
Al dividir por 10 : = y2
C − 2yC + 2 = 4
de donde y2
C − 2yC − 2 = 0
Resolver la ecuación del segundo grado para hallar yC
Resolver la ecuación y2
C − 2yC − 2 = 0 da la ordenada del vértice C.
yC =
2 ± 22 − 4 · (−2)
2
=
2 ±
√
4 + 8
2
= 1 ±
√
3
xC = 3yC − 1 = 3(1 ±
√
3) − 1 = 2 ± 3
√
3
Las coordenadas de los vértices C son C(2 ± 3
√
3, 1 ±
√
3) .

Ejemplo 3.11. Los puntos medios de los lados de un triángulo son M(1, 1),
N(2, 5) y P(4, 2).
Hallar las coordenadas de los tres vértices A, B, C.
Digamos que los puntos
M sea la mitad del lado AB
N sea la mitad del lado AC
P sea la mitad del lado BC
1. Expresar las coordenadas de M, N, y P en función de las coordenadas de los
puntos ABC.
El punto M(1, 1) es el punto medio del segmento AB, la razón r = 1 y sus
coordenadas son:
xM =
xA + rxB
r + 1
=
xA + xB
2
= 1
yM =
yA + ryB
r + 1
=
yA + yB
2
= 1 de donde
xA + xB = 2(3.10)
yA + yB = 2(3.11)
El punto N(2, 5) es el punto medio del segmento AC, y sus coordenadas se
escriben :
xN =
xA + rxC
r + 1
=
xA + xC
2
= 2
yN =
yA + ryC
r + 1
=
yA + yC
2
= 5 de donde
xA + xC = 4(3.12)
yA + yC = 10(3.13)
El punto P(4, 2) es el punto medio del segmento BC, sus coordenadas se
expresan :
xP =
xB + rxC
r + 1
=
xB + xC
2
= 4
yP =
yB + ryC
r + 1
=
yB + yC
2
= 2 de donde
xB + xC = 8(3.14)
yB + yC = 4(3.15)
69

2. Hallar las coordenadas de los vértices.
Ecuaciones de las abscisas :
de la ecuación 3.10 : xA + xB = 2
de la ecuación 3.12 : xA + xC = 4
de la ecuación 3.14 : xB + xC = 8
al hacer 3.12 - 3.14 : xA − xB = −4
Al resolver xA + xB = 2
y xA − xB = −4
nos da xA =
2 − 4
2
= −1, xB =
2 − (−4)
2
=
6
2
= 3
la ecuación 3.14 : xB + xC = 8 nos da por xC
xB + xC = 3 + xC = 8 de donde xC = 5
Las abscisas de los vértices corresponden a :
xA = −1, xB = 3, xC = 5.
Ecuaciones de las ordenadas :
de la ecuación 3.11 : yA + yB = 2
de la ecuación 3.13 : yA + yC = 10
de la ecuación 3.15 : yB + yC = 4
al hacer 3.13 - 3.15 : yA − yB = 6
Al resolver yA + yB = 2
y yA − yB = 6
nos da yA =
2 + 6
2
= 4, yB =
2 − 6
2
= −2
la ecuación 3.15 : yB + yC = 4 nos da por yC
yB + yC = −2 + yC = 4 de donde yC = 6
Las ordenadas de los vértices corresponden a :
yA = 4, yB = −2, yC = 6.
Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son :
A(−1, 4), B(3, −2), C(5, 6) .
Ver figura 24.

Figura 24. Hallar los vértices del triángulo ABC a partir de los
puntos medio MNP de los lados.
71

3.5 Pendiente de una recta
Una recta forma un ángulo3
α de inclinación con el eje X. El ángulo es medido
positivo en el sentido contrario de las agujas de un reloj a partir del eje X positivo. Por
las aplicaciones de la Geometría Analítica, se consideran los ángulos de inclinación
de recta entre 0 y 180◦
positivos.
Una recta paralela al eje X tiene un ángulo nulo.
Una recta paralela al eje Y tiene un ángulo de 90◦
.
Figura 25. Ángulo α de inclinación con eje X
Sea la recta de la figura 26 pasando por los puntos P1(x1, y2) y P2(x2, y2)
Figura 26. Pendiente m del segmento P1P2
3Ver denición Capitulo I Ÿ2.1

Al considerar el triángulo recto P1BP2, el ángulo de inclinación α es dado por
(3.16)
La pendiente m entre los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
tg α = m =
∆y
∆x
con ∆y = y2 − y1, ∆x = x2 − x1
La pendiente es positiva por ángulos entre 0 y 90◦
, la pendiente es negativa (tg α 0)
por ángulos entre 90◦
y 180◦
.
En vez de usar siempre tg α, la pendiente se nota m de tal manera que tg α = m.
3.6 Coordenadas de la extremidad de un segmento de
longitud L y de pendiente m
Muchas aplicaciones necesitan conocer las coordenadas de la extremidad de un
segmento a partir de las coordenadas de la otra extremidad, de la pendiente m y de
la longitud L del segmento.
Supongamos que conocemos la longitud L y la pendiente m de un segmento cuya
una extremidad es un punto dado P de coordenadas (xP , yP ).
Figura 27. Coordenadas del punto Q en función de la longitud L del
segmento PQ
73

La otra extremidad Q del segmento tiene como coordenadas :
xQ = xP + L cos α
yQ = yP + L sen α
Al saber que la pendiente m = tg α, podemos expresar los valores de sen α y de cos α
en función de m:
sen α = ±
tg α
1 + tg2
α
= ±
m
√
1 + m2
cos α = ±
1
1 + tg2
α
= ±
1
√
1 + m2
Finalmente al reemplazar los valores de seno y coseno dentro las expresiones de
las coordenadas de Q, tenemos las
(3.17)
Coordenadas del punto Q(xQ, yQ) a partir de P(xP , yP ) y de la pendiente m
xQ = xP ±
L
√
1 + m2
, yQ = yP ±
Lm
√
1 + m2
con L = PQ

Ejemplo 3.12. Hallar las 2 coordenadas de los puntos Q1 y Q2 al saber que
el punto de origen P(1, 1) es sobre el segmento de longitud
√
34. La pendiente del
segmento es m =
3
5
.
Figura 28. Hallar las coordenadas de los puntos Q1 y Q2
Abscisa de Q1:
xQ1 = xP1 +
L
√
1 + m2
= 1 +
√
34
1 +
3
5
2
= 1 +
√
34 ·
5
√
34
= 1 + 5 = 6
Ordenada de Q1:
yQ1 = yP1 +
Lm
√
1 + m2
= 1 +
3
5
√
34 ·
1
1 +
3
5
2
= 1 +
3
5
√
34 ·
5
√
34
= 1 + 3 = 4
El punto es entonces Q1(6, 4) .
75

El otro punto se consigue al cambiar los signos dentro la fórmula 3.17.
Abscisa de Q2:
xQ2 = xP1 −
L
√
1 + m2
= 1 −
√
34
1 +
3
5
2
= 1 −
√
34 ·
5
√
34
= 1 − 5 = −4
Ordenada de Q2:
yQ2 = yP1 −
Lm
√
1 + m2
= 1 −
3
5
√
34 ·
1
1 +
3
5
2
= 1 −
3
5
√
34 ·
5
√
34
= 1 − 3 = −2
El punto es entonces Q2(−4, −2) .

3.7 Ángulo entre dos rectas
Consideremos la figura 29 donde las rectas AB y BC forman el ángulo θ1 y θ2
su ángulo suplementario.
Figura 29. Ángulos formados por las rectas AB y BC
Cada uno de los ángulos, θ1 y θ2 , se miden, tal como indican las echas curvadas,
en sentido contrario de las agujas de un reloj, o sea, en el sentido positivo.
La recta a partir de la cual se mide el ángulo se llama recta inicial y la recta hacia
la cual se dirige el ángulo se llama recta nal.
En el caso de la gura, las rectas AB y BC son respectivamente recta inicial y recta
nal para el ángulo θ1.
Sean los ángulos de inclinación α1 y α2 de las rectas BC y AB con el eje X.
Al considerar los ángulos α1 y α2, podemos escribir :
α1 = θ1 + α2
y θ1 = α1 − α2
77

El ángulo exterior α1 del triángulo ABC es igual a la suma de los dos ángulos
interiores α2 y θ1.
Si llamamos respectivamente las pendientes de las rectas AB y AC por mAB y mAC,
la expresión de la tangente del ángulo θ1 = α1 − α2 se escribe
tg θ1 = tg (α1 − α2)
=
tg α1 − tg α2
1 + tg α1 tg α2
=
mBC − mAB
1 + mBC · mAB
donde mBC = mFinal y mAB = mInicial.
(3.18)
Ángulo entre dos rectas de pendiente mInicial y mFinal
tg θ1 =
mFinal − mInical
1 + mFinal · mInicial
por 0 θ1 90◦
La expresión del ángulo suplementario θ2 es igual a
θ2 = 180◦
− θ1
= 180◦
− (α1 − α2)
= 180◦
+ α2 − α1
La tangente del ángulo θ2 es igual a
tg θ2 = tg [180◦
+ (α2 − α1)]
= tg (α2 − α1)
=
tg α2 − tg α1
1 + tg α1 tg α2
=
mAB − mBC
1 + mAB · mBC
con mBC = mFinal y mAB = mInicial
(3.19)
Ángulo suplementario entre dos rectas de pendiente mInicial y mFinal
tg θ2 =
mInicial − mFinal
1 + mInicial · mFinal
por 90◦
θ2 180◦

Conclusión 3.1. La tangente del ángulo θ entre 2 rectas es positiva por
0 θ 90◦
y negativa por 90◦
θ 180◦
.
3.7.1. Condición para que dos rectas de pendiente m1 y m2 sean paralelas
El ángulo entre dos rectas paralelas es nulo.
La tangente del ángulo θ en la fórmula 3.18 es nulo si θ = 0, y entonces m1 = m2.
3.7.2. Condición para que dos rectas sean perpendiculares
Dos rectas perpendiculares entre si, forman un ángulo de 90◦
.
tg θ =
m1 − m2
1 + m1 · m2
= ∞ por θ = 90◦
si 1 + m1 · m2 = 0.
(3.20)
Condición para que 2 segmentos
de pendientes m1 y m2 sean paralelos.
m1 = m1
Condición para que 2 segmentos
de pendientes m1 y m2 sean perpendiculares.
m1 = −
1
m2
79

Ejemplo 3.13. Tres de los vértices de un paralelogramo son A(-1, 4); B(1, - 1)
y C(6, 1). Hallar las coordenadas del cuarta punto D.
Figura 30. Hallar las coordenadas del punto D
Como se ve en la figura 30, las longitudes de los lados AB y CD son iguales,
así que las pendientes de mAB y de mCD son iguales porque los lados son paralelos.
1. Calcular la longitud BC
BC = (xB − xC)2 + (yB − yC)2
= (1 − 6)2 + (−1 − 1)2
= (−5)2 + (−2)2
=
√
25 + 4
BC =
√
29

2. Calcular la pendiente mBC
mBC =
yB − yC
xB − xC
=
−1 − 1
1 − 6
=
−2
−5
mBC =
2
5
3. Utilizar la fórmula (3.17) par calcular las coordenadas del punto D. El seg-
mento AD tiene iguales su longitud y su pendiente al segmento BC.
Entonces AD = BC y mAD = mBC.
Cálculo de la abscisa del punto D :
xD = xA +
AD
1 + m2
AD
= xA +
BC
1 + m2
BC
= −1 +
√
29
1 +
2
5
2
= −1 +
√
29 · 5
√
29
= 4
xD = 4
81

Cálculo de la ordenada del punto D :
yD = yA +
BC · mBC
1 + m2
BC
= 4 +
√
29 ·
2
5
1 +
2
5
2
= 4 +
2
√
29
√
22 + 52
= 4 + 2
yD = 6
Las coordenadas del punto D son D(4, 6) .

Ejemplo 3.14. Hallar las coordenadas del vértice C del triángulo cuyos los vér-
tices son A(−3, 1), y B(0, 0) sabiendo que tg A = 1 y tg B = −2.
Figura 31. Hallar el vertice C
Según la figura 31,
1. Cálculo de la longitud AB y la pendiente mAB,
AB = x2
A + y2
A = (−3)2 + 12 =
√
10
mAB =
yA
xA
= −
1
3
2. Cálculo del ángulo C
Ángulo : C = 180◦
− (A + B)
tg C = tg [180◦
− (A + B)]
= − tg (A + B) = −
tg A + tg B
1 − tg A tg B
donde tg A = 1 y tg B = −2
tg C = −
1 − 2
1 − 1 · (−2)
= −
−1
1 + 2
tg C =
1
3
83

3. Cálculo del lado BC.
En el triángulo, se aplica la regla de los senos:
BC
sen A
=
AB
sen C
, de donde BC =
AB sen A
sen C
con AB =
√
10
sen A =
tg A
1 + tg2
A
=
1
√
1 + 12
=
1
√
2
sen A =
1
√
2
sen C =
tg C
1 + tg2
C
=
1
3
1 +
1
3
2
=
1
√
10
sen C =
1
√
10
BC =
AB sen A
sen C
=
√
10
√
2
·
√
10 =
10
√
2
BC = 5
√
2
4. Cálculo de la pendiente mBC,
tg B =
mFinal − mInicial
1 + mFinalmInicial
= −2 donde
mFinal = mAB = −
1
3
, y mInicial = mBC
Tenemos entonces la ecuación a resolver,
−
1
3
− mBC
1 +
−mBC
3
= −2
−
1
3
− mBC = −2(1 −
mBC
3
)
1 + 3mBC = 6 − 2mBC
O sea mBC =
5
5
= 1

5. Cálculo de las coordenadas del vértice C,
xC =
BC
1 + m2
BC
=
5
√
2
√
1 + 12
= 5
yC =
BC · mBC
1 + m2
BC
=
5
√
2 · 1
√
1 + 12
= 5
Las coordenadas del vértice C(xC, yC) son (5, 5) .
3.7.3. Mediatriz, lugar geométrico equidistante de 2 puntos
Muchas veces vamos a encontrar problemas donde hallar puntos que son a dis-
tancias iguales de 2 puntos.
La recta cuyos los puntos son a distancias iguales de 2 puntos se llama mediatriz.
La mediatriz es la recta perpendicular al segmento AB pasando por su punto medio.
Figura 32. Mediatriz PM
Sea un punto P perteneciendo a la mediatriz, las distancias PA y PB son iguales
porque el triángulo PAB es isocélo.
85

Sean los puntos A y B cuyas las coordenadas respectivas son (xA, yA) y (xB, yB),
el punto medio M tiene las coordenadas (xM , yM ) que valen
xM =
xA + xB
2
yM =
yA + yB
2
Hallamos una ecuación de los puntos P de coordenadas (xP , yP ) que son a distancias
iguales de A y de B. La pendiente del segmento AB es mAB =
yA − yB
xA − xB
.
La pendiente de la mediatriz, perpendicular a AB, es mPM = −
1
mAB
= −
xA − xB
yA − yB
que es igual a mPM =
yP − yM
xP − xM
.
Tenemos entonces la ecuación −
xA − xB
yA − yB
=
yP − yM
xP − xM
Al desarrollar obtenemos con xM =
xA + xB
2
e yM =
yA + yB
2
−
xA − xB
yA − yB
=
yP −
yA + yB
2
xP −
xA + xB
2
−(xA − xB)(xP −
xA + xB
2
) = (yA − yB)(yP −
yA + yB
2
)
−xP (xA − xB) +
x2
A − x2
B
2
= yP (yA − yB) −
y2
A − y2
B
2
x2
A − x2
B
2
+
y2
A − y2
B
2
= xP (xA − xB) + yP (yA − yB)
Al conocer 2 puntos A y B, tenemos todos los puntos P cuyas las coordenadas son
relacionadas por
(3.21)
La ecuación de los puntos (xP , yP ) de la mediatriz
xP (xA − xB) + yP (yA − yB) =
x2
A − x2
B
2
+
y2
A − y2
B
2
perpendicular al segmento AB

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