He seguido el libro: Introduction to Bayesian Statistics Bolstad, William M. Editorial: Hoboken, New Jersey, U.S.A.: Wiley-Interscience, 2004 Asi como distintos videos de youtube que explican muy bien el proceso. Recomiendo los vean poniendo "media funcion poisson" en youtube.

1. Ejercicio-4.3
Isidoro Gléz.-Adalid Pemartín
Métodos Matemáticos I
Primero de Grado en Física
Curso 2013-14
Jueves, 24 de octubre.
Enunciado:
Calcula la media y la varianza de la funcion de distribucion de poisson.
p(X|C) =
λx −λ
e
x!
M edia :
∞
x=0
X =
=λ
xp(x|C) =
∞
x=0
x
∞
x=0
x λ e−λ =
x!
x
λ
x x(x−1)! e−λ =
∞ λλx−1 −λ
x=0 (x−1)! e
=
∞
λx−1 −λ
x=0 (x−1)! e
El valor de
∞
λx−1 −λ
x=0 (x−1)! e
= 1 por lo que X = λ
V arianza :
2
σx = x2 − x
2
= x2 − x
2
Primero consideramos: x(x − 1) = x2 − x = x2 − x
x(x − 1) =
=
∞
x=0
∞
x=0
x(x − 1)p(x|C) =
2
∞
x=0
x−2
∞
λx−2 −λ
x=0 (x−2)! e
λ λ
x(x − 1) x(x−1)(x−2)! e−λ = λ2
El valor de
∞
λx−s −λ
x=0 (x−1)! e
x
x(x − 1) λ e−λ =
x!
= 1 por lo que x(x − 1) = λ2
2
σx = x(x − 1) + x − x
2
= x2 − x + x − x
2
σx = x(x − 1) + x − x
2
= λ2 + λ − λ2 = λ
1
2
= x2 − x + x − x
2
= x2 − x
2