Este documento presenta cuatro ejercicios que involucran el uso de identidades trigonométricas para la suma, resta, ángulo doble y ángulo medio. Los ejercicios piden comprobar o calcular expresiones trigonométricas utilizando estas identidades.

1. Contenido: Identidades trigonométricas.
Tema: Identidades de la suma, resta,ángulo doble y ángulo medio.
Ejercicios.
1. Comprobar que: 𝐭𝐚𝐧(𝜽 +
𝝅
𝟒
) − 𝐭𝐚𝐧(𝜽 −
𝟑𝝅
𝟒
) = 𝟎
Solución: Aplicando las identidades de las suma y resta de la tangente donde corresponde.
tan( 𝛼 + 𝛽) =
𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽
1−𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽
tan( 𝛼 − 𝛽) =
𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽
1+𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽
tan (𝜃 +
𝜋
4
) − tan (𝜃 −
3𝜋
4
) = 0
𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑡𝑎𝑛
𝜋
4
1−𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛
𝜋
4
−
𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑡𝑎𝑛
3𝜋
4
1−𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛
3𝜋
4
= 0 Aplicando las identidades sustituyendo 𝛼 por 𝜃 y 𝛽 por
𝜋
4
y
3𝜋
4
𝑡𝑎𝑛𝜃+1
1−𝑡𝑎𝑛𝜃(1)
−
𝑡𝑎𝑛𝜃−(−1)
1−𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡(−1)
= 0 Sustituimos los valores de 𝑡𝑎𝑛
𝜋
4
y 𝑡𝑎𝑛
3𝜋
4
𝑡𝑎𝑛𝜃+1
1−𝑡𝑎𝑛𝜃
−
𝑡𝑎𝑛𝜃+1
1+𝑡𝑎𝑛𝜃
= 0 Multiplicamos los signos y se observa que las dos fracciones son iguales.
0 = 0 Obtenemos la igualdad deseada.
2. Demuestre que: 𝐜𝐨𝐬 (
𝝅
𝟐
− 𝜽) = 𝒔𝒆𝒏𝜽
Solución: Se debe aplicar la identidad de la resta para elcoseno:
cos( 𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽
cos (
𝜋
2
− 𝜃) = 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 Aplicando la identidad sustituyendo 𝛼 por
𝜋
2
y 𝛽 por𝜃
(0)𝑐𝑜𝑠𝜃 + (1)𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 Sustituimos los valores de 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
y 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
0 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 Realizamos el producto
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 Obtenemos la igualdad.

2. 3. Calcular el valor exacto de sen105º. Sugerencia: 105º = 45º + 60º
Solución: Se debe aplicar la identidad de la suma para el seno.
𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+ 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑠𝑒𝑛 105º = 𝑠𝑒𝑛(45º+ 60º) = 𝑠𝑒𝑛45º𝑐𝑜𝑠60º + 𝑐𝑜𝑠45º𝑠𝑒𝑛60º
𝑠𝑒𝑛 105º = 𝑠𝑒𝑛(45º + 60º) =
√2
2
∙
1
2
+
√2
2
∙
√3
2
=
√2
4
+
√6
4
=
√2 + √6
4
4. Simplifique las siguientes expresiones:
a. 𝑠𝑒𝑛175º𝑐𝑜𝑠83º + 𝑐𝑜𝑠175º𝑠𝑒𝑛83º
b. 2𝑠𝑒𝑛125º𝑐𝑜𝑠125º
c. 𝑐𝑜𝑠68º𝑐𝑜𝑠37º + 𝑠𝑒𝑛68º𝑠𝑒𝑛37º
d. 1 − 2𝑠𝑒𝑛2
150º
e.
𝑡𝑎𝑛65º−𝑡𝑎𝑛35º
1+𝑡𝑎𝑛65º𝑡𝑎𝑛35º
Soluciones:
a. Aplicar la identidad:
𝒔𝒆𝒏(𝜶+ 𝜷) = 𝒔𝒆𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜷+ 𝒄𝒐𝒔𝜶𝒔𝒆𝒏𝜷
𝑠𝑒𝑛175º𝑐𝑜𝑠83º + 𝑐𝑜𝑠175º𝑠𝑒𝑛83º = 𝑠𝑒𝑛(175º + 83º) = 𝑠𝑒𝑛255º
b. Aplicar la identidad:
𝒔𝒆𝒏( 𝟐𝜶) = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶
2𝑠𝑒𝑛125º𝑐𝑜𝑠125º = 𝑠𝑒𝑛[2(125º)] = 𝑠𝑒𝑛250º
c. Aplicar la identidad:
𝒄𝒐𝒔(𝜶− 𝜷) = 𝒄𝒐𝒔𝜶𝒄𝒐𝒔𝜷+ 𝒔𝒆𝒏𝜶𝒔𝒆𝒏𝜷
𝑐𝑜𝑠68º𝑐𝑜𝑠37º + 𝑠𝑒𝑛68º𝑠𝑒𝑛37º = cos(68º− 37º) = 𝑐𝑜𝑠31º
d. Aplicar la identidad:
𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝜶) = 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟐
𝜶
1 − 2𝑠𝑒𝑛2
150º = 𝑐𝑜𝑠[2(150º)] = 𝑐𝑜𝑠300º
e. Aplicar la identidad:
𝐭𝐚𝐧( 𝜶 − 𝜷) =
𝒕𝒂𝒏𝜶 − 𝒕𝒂𝒏𝜷
𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝜶𝒕𝒂𝒏𝜷
𝑡𝑎𝑛65º − 𝑡𝑎𝑛35º
1 + 𝑡𝑎𝑛65º𝑡𝑎𝑛35º
= tan(65º − 35º) = 𝑡𝑎𝑛30º