Este documento describe los operadores vectoriales como el gradiente, divergencia, rotor y Laplaciano en diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, esféricas y cilíndricas. También presenta identidades vectoriales como productos triples y derivación de productos, así como teoremas fundamentales como el teorema del gradiente, de la divergencia y del rotor.

1. OPERADORES VECTORIALES EN DIFERENTES SISTEMAS DE
COORDENADAS
Coordenadas cartesianas
dzdydxddzdydxd =++= τ,ˆˆˆ zyxl
Gradiente: zyx ˆˆˆ
z
t
y
t
x
t
t
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ . Divergencia:
z
v
y
v
x
v zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇ v
Rotor:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
zyx
xyzxyz
vvv
zyxy
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
v
zyx
zyxv
ˆˆˆ
detˆˆˆ
Laplaciano: 2
2
2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
t
t
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
Coordenadas esféricas
ϕθθτϕθθ dddrrddrrddrd sin,ˆsinˆˆ 2
=++= φθrl
Gradiente: φθr ˆ
sin
1ˆ1
ˆ
ϕθθ ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
t
r
t
rr
t
t
Divergencia: ( ) ( )
ϕθ
θ
θθ
ϕ
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
v
r
v
r
vr
rr
r
sin
1
sin
sin
11 2
2
v
Rotor:
( ) ( ) ( ) φθrv ˆ
1ˆ
sin
11
ˆsin
sin
1
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
θϕθϕ
θ
θθ
θϕ
θ
ϕ
rr v
rv
rr
rv
r
v
r
v
v
r
Laplaciano: 2
2
222
2
2
2
sin
1
sin
sin
11
ϕθθ
θ
θθ ∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=∇
t
r
t
rr
t
r
rr
t
Coordenadas cilíndricas
dzddddzddd ϕρρτϕρρ =++= zφρl ˆˆˆ
Gradiente: zφρ ˆˆ
1
ˆ
z
ttt
t
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
ϕρρ
Divergencia: ( )
z
vv
v z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
ϕρ
ρ
ρρ
ϕ
ρ
11
v
Rotor: ( ) zφρv ˆ
1
ˆˆ
1
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
ϕ
ρ
ρρρϕρ
ρ
ϕ
ρϕ v
v
v
z
v
z
vv zz
Laplaciano: 2
2
2
2
2
2 11
z
ttt
t
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=∇
ϕρρ
ρ
ρρ

2. IDENTIDADES VECTORIALES
gf , son campos escalares, CBA ,, son campos vectoriales
Productos triples
(1) ( ) ( ) ( )BACACBCBA ×⋅=×⋅=×⋅
(2) ( ) ( ) ( )BACCABCBA ⋅−⋅=××
Derivación de productos
(3) ( ) ( ) ( )fggffg ∇+∇=∇
(4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ABBAABBABA ∇⋅+∇⋅+×∇×+×∇×=⋅∇
(5) ( ) ( ) ( )fff ∇⋅+⋅∇=⋅∇ AAA
(6) ( ) ( ) ( )BAABBA ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇
(7) ( ) ( ) ( )fff ∇×−×∇=×∇ AAA
(8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ABBABAABBA ⋅∇−⋅∇+∇⋅−∇⋅=××∇
Segundas derivadas
(9) ( ) 0=×∇⋅∇ A
(10) ( ) 0=∇×∇ f
(11) ( ) ( ) AAA 2
∇−⋅∇∇=×∇×∇
TEOREMAS FUNDAMENTALES
Teorema del gradiente: ( ) ( ) ( )abl
b
a
ffdf −=⋅∇∫
Teorema de la divergencia o de Gauss: ( ) ∫∫ ⋅=⋅∇ aAA ddτ
Teorema del rotor o de Stokes: ( ) ∫∫ ⋅=⋅×∇ lAaA dd