GUÍA DE VECTORES PROPUESTO CON SOLUCIÓN

1. U
UN
NI
IV
VE
ER
RS
SI
ID
DA
AD
D N
NA
AC
CI
IO
ON
NA
AL
L E
EX
XP
PE
ER
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IM
ME
EN
NT
TA
AL
L P
PO
OL
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IT
TÉ
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CN
NI
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CA
A
“
“A
AN
NT
TO
ON
NI
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O J
JO
OS
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DE
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CR
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E “
“
V
VI
IC
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E –
– R
RE
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CT
TO
OR
RA
AD
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CA
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DÉ
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CO
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V
VI
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ET
TO
OR
RA
AD
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O L
LC
CM
M-
-C
CA
AR
RA
AC
CA
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S
D
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EP
PA
AR
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ME
EN
NT
TO
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DE
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EN
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CI
IA
AS
S B
BÁ
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SI
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CA
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S
G
Gu
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Ej
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ci
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ci
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os
s P
Pr
ro
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P
Pr
ro
of
fe
es
so
or
r:
: J
Jo
os
sé
é M
Ma
ac
ch
ha
ad
do
o

2. V
VE
EC
CT
TO
OR
RE
ES
S
E
EJ
JE
ER
RC
CI
IC
CI
IO
OS
S P
PR
RO
OP
PU
UE
ES
ST
TO
O N
N°
°.
.1
1
1. Dados los vectores en tres en el espacio:
a = 3 i
)
+ 4 + 2k
)
b = - 3 i
)
+ + 3k
)
c = - 6 i
)
+ 2 + 3k
)
d = 2 i
)
+ 4 + 6k
)
Calcular: Sol:
a) a
r
+ b
r
(0,5,5)
b) (a
r
+ b
r
) + c
r (-6,7,8)
c) (a
r
+ b
r
) + (c
r
+ d
r
) (-4,11,14)
d) (a
r
- b
r
) + (c
r
- d
r
) (-2,1,-4)
e) λ (a
r
+ b
r
) – λ (c
r
- d
r
) ; λ = -3 (-24,-21,-24)
f) 2 a
r
- λ[a
r
+ b
r
+ c
r
] ; λ= 2 (-6,-6,-12)
g) a
r
. b
r
(1)
h) (a
r
+ b
r
).(c
r
- d
r
) + c
r
. d
r
(-11)
i) [2(c
r
- d
r
).(b
r
)] (c
r
+ d
r
) (192,-24,-162)
j) [a
r
+ 2 b
r
- 3 c
r
] 15,03
j
)
j
)
j
)
j
)

3. k)
( )
( ) d
c
d
c
a
c
b
a
b
c
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
−
+
+
−
+
−
+
−
.
6
2 0,54
2. Represente gráficamente del ejercicio anterior aquellas, operaciones que resulten
vectores.
3. Dados los vectores:
a
r
= 3 i
)
+ 2 + (4 – λ)k
)
b
r
= 3 i
)
+ (3 + λ) + 3k
)
.
Hallar λ para que los vectores sean perpendiculares.
Sol: λ = 27
4. Hallar el módulo, dirección y sentido de los siguientes vectores:
Sol:
a
r
= 4 i
)
- 2 20 , θ = 26,56 N-E
b
r
= 5 i
)
+ 6 61 , θ = 50,19 N-E
c
r
= 6 i
)
+ 2k
)
40 , θ = 18,43 N-O
d
r
= 3a
r
+ 2 b
r
- 3 c
r
2628 , θ = 92,23 , β = 38,71 , α =51,37
e
v
= 3d
r
+ b
r
26113 , θ = 92,12 , β = 38,76 , α =51,31
5. Hallar las componentes rectangulares en el plano X-Y de los vectores que tienen un
módulo A formando un ángulo α con el eje X, para los siguientes valores A y α .
Sol:
a) A = 10 ; α = 60° Ax: 5 ; Ay: 8,66
b) A = 5 ; α = 120° Ax: -2, 5 ; Ay: 4,33
c) A = 8 ; α = 230° Ax: -5,14 ; Ay: -6,12
j
)
j
)
j
)
j
)

4. 6. Un
parale
dirigid
figura
7. Dad
a) Hal
la proy
8. Los
a) Hal
b) Hal
d) A = 17
e) A = 6
plano está in
lo al plano y
do verticalm
.
dos los vecto
a) a
r
= 3 i
)
llar el ángulo
yección de b
r
Sol:
s vectores de
llar las comp
llar las comp
Sol:
a) Ax = 11,7
Ay = 5,486
Bx = 6,5 m
; α = 30°
; α = 180
nclinado for
y el eje "y" p
mente hacia
ores:
i
)
+ 4 ; b
o entre a
r
y
b
r
sobre la di
a) 80.2º, b
esplazamien
ponentes (x ,
ponentes de
778 m
m
j
)
°
0°
rmando un á
perpendicula
abajo y de
b
r
= 6 i
)
- 3
b
r
, b) calcul
irección de a
b) b cosβ = 1
ntos A
r
y B
r
y) de A
r
y B
r
A
r
+ B
r
y A
r
ángulo de 60
ar al plano. C
e módulo P
3
lar la proyec
a
r
.
1.2, a cosβ
indicados en
B
r
.
A
r
- B
r
j
)
Ax
Ax
0° con la hor
Calcular las
= 30 unidad
Px : P.S
Py : P
cción de a
r
s
= 0.89
n la figura, t
: 14,72 ; A
x: -6 ; A
rizontal. Esc
componente
des como se
Sol:
Sen 60° = 2
P.Cos 60° =
obre la direc
tienen módu
Ay: 8,5
Ay: 0
oger el eje "
es de un vect
e señala en
25,98u
= 15u
cción de b
r
y
ulo 13 m.
"x"
tor
la
y

5. By = -6,5 3 m
b) (Ax + Bx) = 18,278 m ; ( Ay + By) = -5,772 m
(Ax - Bx) = 5,278 m ; ( Ay - By) = 16,744 m
9. Con los datos del ejercicio anterior calcular: B
A
r
r
+ y B
-
A
r
r
Sol:
B
A
r
r
+ = 19,167 m ; B
A
r
r
− = 17,556 m
10. Cuales de los vectores son perpendiculares
a
r
= 4 i
)
- 6 d
r
= 4 i
)
- 6 + 8k
)
b
r
= -7 i
)
+ 3 + 4k
)
e
v
= 7 + 2k
)
c
r
= i
)
+ 2
Sol: no son perpendiculares
11. Dados los vectores indicados en la figura y de módulos:
A
r
= 12, B
r
= 13, C
r
= 14
Hallar el vector resultante C
B
A
r
r
r
+
+ indicar
módulo, dirección y sentido.
Sol:
C
B
A
r
r
r
+
+ = -12,58 i
)
- 15,31 Sentido Sur- Oeste
C
B
A
r
r
r
+
+ = 6525
,
392 , θ = 39,40
j
)
j
)
j
)
j
)
j
)
j
)

6. 12
Sol:
13. Sa
vector
22i
)
14. D
direcc
e y´.
15. D
a) 60°
Encon
2. Evalúe (A
r
689
abiendo que
r dado. Halla
Sol:
118304
23
2 k
j
)
)
)
+
−
Determine la
ión y sentid
os vectores
, b) 45°, c)
ntrar la magn
)( B
A
B
A
r
r
r
r
−
+ .
un vector di
ar el vector u
A
r
= 12 i
)
-
B
r
= 7 i
)
+
C
r
=
s componen
do que se ind
de 7 y 5 unid
120°.
nitud de la d
)
B
r
si: A
r
=4 i
)
ividido por s
unitario en la
- 8 + 7k
)
+ 8 + 2k
)
= 3 i
)
- 2
ntes x e y de
dica en la fig
dades de lon
diferencia pa
j
)
j
)
j
)
i
)
-3 + 8k
)
su módulo d
a dirección d
+ 14k
)
el vector F
r
gura. Determ
ngitud, forma
ara cada caso
j
)
; B
r
= 6 i
)
define un vec
de la resultan
de módulo
mine sus com
Sol:
Fx =
Fy =
Fx´ =
Fy´ =
an entre si u
o.
- 3 + 9k
)
ctor unitario
nte de los ve
8unidades, a
mponentes en
4 3
= 4
= 4
= 4 3
un ángulo de
j
) )
o a lo largo d
ctores:
actuando en
n el sistema
:
del
la
x´

7. Sol:
a) b
a
r
r
− = 6,244 u
b) b
a
r
r
− = 4,950 u
c) b
a
r
r
− = 10,440 u
16. Un obrero tiene una escalera de 9 m. ¿Qué ángulo debe hacerla formar con la pared si
quiere alcanzar una altura de 6 m?
Sol: α = 48,18
17. Dos vectores forman un ángulo de 130°, uno de ellos tiene 10 unidades de longitud y
hace un ángulo de 40° con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo
vector y la del vector suma.
Sol:
b
a
r
r
+ = 14,92 u ; b
r
= 6,36 u
18. Un cuerpo en un instante dado posee una velocidad instantánea 1
v
r
= (2 i
)
+ 3 ) m/s.
Un instante posterior tiene una velocidad instantánea 2
v
r
= (-7 i
)
+ 3 ) m/s.
a) Determine el ángulo entre las velocidades.
b) ¿Cuál es la variación v
r
Δ del vector velocidad?
c) Hallar el módulo, dirección y sentido de v
r
Δ .
Sol:
a) α = 100,5°
b) v
r
Δ = 9 i
)
m/s
c) | v
r
Δ | = 9 m/s ; α1 = 0° ; Dirección = Este
19. Sobre un cuerpo actúan fuerzas 1
F
r
y 2
F
r
cuyos módulos son 2N y 3N respectivamente,
y forman un ángulo entre si de 65°. Hallar el módulo, dirección y sentido de la fuerza
resultante.
Sol: | e
F
r
| = 4,23 N ; αR = 39,7° ; Sentido = Noroeste
j
)
j
)

8. 20. Dados los vectores A
r
= 2 i
)
- 3 - k
)
, B
r
= i
)
+ 4 - 2k
)
obtener un vector
perpendicular
Sol :
10 i
)
+ 3 11k
)
21. Encontrar un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores
A
r
= i
)
- +k
)
, B
r
= i
)
+ 2 +3k
)
Sol:
-5 i
)
- 2 + 3k
)
/ √38
22. Dados los vectores A
r
= m i
)
- 2 +k
)
, B
r
= 2m i
)
+ m -4k
)
, ¿que valor debe tener m
para que dichos vectores sean perpendiculares?
Sol:
2 i
)
-
j
)
j
)
j
)
j
)
j
)
j
)
j
)
j
)
j
)