El documento presenta una serie de problemas de optimización que involucran funciones de una o más variables. Los problemas incluyen encontrar extremos, máximos y mínimos de funciones, así como determinar las dimensiones óptimas de figuras geométricas para optimizar volúmenes, áreas, perímetros y costos de construcción.

1. OPTIMIZACIÓN:
1. Resuelva el problema básico de optimización para las siguientes funciones.
 f(x) = 2x3 -15x2 + 24x, i = [0, 5].
 f(x) = 2x3 – 15x2 + 24x, I = [0, 5[.
 f(x) = 2x3 – 15x2 + 24x, I =]0, 5[.
 f(x) = 2x3 – 15x2 + 24x, I =]0, 5].
 f(x) = 2x3 – 15x2 + 24x, I = [0, 3].
 f(x) =
𝑥−3
𝑥−2
, I = [0, +∞ [.
 f(x) =
1
√ 𝑥2+25
, I = R.
 f(x) = 5x4 + 2x2 - 7, I = [-1, 1].
 f(x) = x4 + 6x2 - 7, I =]-3, 1].
 f(x) = x4 + 6x2 - 7, I = [-4, 1].
 f(x) = 4 sen x + 3 cos x, I = R.
 f(x) = 4 sen x + 3 cos x, I =]-
𝜋
4
,
𝜋
2
].
 f(x) = 4 sen x + 3 cos x, I =] arctan
3
4
, 𝜋].
 1− 𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 < 1 < 2
f(x) = 3− 3𝑥 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
, I = [0, 3].

4− 𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
f(x) =
1
2( 𝑥−2)
𝑠𝑖 2 < 𝑥
, I = [-1, 3].
 f(x) = √𝑥2 − 𝑥 + 1 , I = [-2, 1[.

2.  f(x) = 〖(𝑥〗^2− 2𝑥 + 10) 𝜃
, I =]-7, 5[.

𝑥 − 𝑥2
𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
f(x) = 𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑥) 𝑠𝑖 𝑛𝑜
, I = R.
2. Halle dos números no negativos tales que:
(a) Su suma sea igual a 1 y su producto sea máximo.
(b) Su producto sea igual a 1 y su suma sea mínima.
(c)Su suma sea igual a 100 y el producto del cuadrado del primero y el cubo del segundo
sea máximo.
3. Halle el punto de P de coordenadas] a, b [de la parábola de ecuación y = 1 – x2 más
cercano al punto Q de coordenadas (
5
2
,
11
4
).
4. Dadas la recta l de ecuación y = 4 - x y la parábola p de ecuación y = 1 - x2, halle los
puntos P ∈ l y Q ∈ p más cercanos entre sí.
5. Halle el punto del gráfico de f donde la pendiente de la recta tangente sea mínima si f(x)
= x3 - 6x2.
6. Se desea cerrar un terreno que es rectangular junto a un río con una pared paralela a la
orilla del río que cuesta 25 dólares el metro lineal y dos alambradas perpendiculares al río
que cuestan 20 dólares el metro lineal. Si el terreno debe tener diez mil metros cuadrados
de área, ¿cuáles deben ser sus dimensiones para que los costos sean mínimos?
7. Se quiere construir una caja abierta de un volumen dado V metros cúbicos, cuya base
rectangular tenga el doble de largo que de ancho. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones
para que el costo de los materiales sea mínimo? ¿Y si la caja es cerrada?
8. Halle las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede inscribirse
en un cono circular recto de diámetro D metros y de altura H metros.
9. Halle las dimensiones del cono circular recto de volumen máximo que puede inscribirse
en una esfera de radio R metros.
10. Se desea elaborar tarros de un litro para conservas de duraznos. ¿Qué dimensiones
tendrá cada tarro para que el costo por el metal utilizado sea mínimo?
11. De un trozo cuadrado de cartulina se desea elaborar una pirámide de base cuadrada
desechando la parte rayada y doblando en las líneas punteadas como se muestra en el
dibujo:

3. ¿Qué dimensiones tendrá la pirámide de volumen máximo si la cartulina tiene un metro de
lado?
12. Dos calles de diez metros de ancho se intersecan. Se desea transportar horizontalmente
una varilla larga y delgada, pero, en la intersección, se requiere virar a la derecha. ¿Cuál
es el largo máximo de la varilla que se puede transportar si el grosor de la varilla es
despreciable?
13. Halle las dimensiones del cono circular recto de volumen mínimo que circunscribe una
esfera de radio R.
14. Un joven puede remar a razón de dos kilómetros por hora y correr a seis kilómetros por
hora. Si está en el punto A de la playa y desea llegar lo antes posible al punto B, situado
en la isla de enfrente, que está a dos kilómetros del punto C en la playa, ¿hasta qué punto
P de la playa debe correr para luego remar desde P hasta B? ¿En qué tiempo llegará?

4. 15. Hallar los lados de los triángulos isósceles de 12 m de perímetro del que tomen área
máxima.
16. Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por el punto (1, 2) aquella que forma con
las partes positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área mínima.
17. Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser
construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de
la boya para que su volumen sea máximo.
18. Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.
19. Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un
cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
20. Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad.
¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
21. Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del
primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
22. Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar
con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de
dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea
mínima.
23. Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene
por base 10 cm y por altura 15 cm.
24. Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de
paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el
coste de su construcción por m2 es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada
pared lateral.

5. 25. 1Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de
dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase
figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.
26. Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de
2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las
dimensiones que minimizan la superficie del papel.
27. El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses
viene dado por la función:
B(x) = 1.2x − (0.1x)3
Donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.
a) Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.
b) El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.
28. Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula
que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos.
Calcular:
a) La producción actual de la huerta.
b) La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.
c) La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.
d) ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la
producción sea máxima?
29. Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del sector
de mayor área.
RAZÓN DE CAMBIO:
1. Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico de modo que su volumen aumenta
a razón de 100 cm3/s. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando su diámetro es
50 cm?

6. 2. Si la arista de un cubo crece a razón de 2 cm/seg, ¿A qué velocidad cambia el volumen
del cubo en el instante en que la arista mide 5 cm?
3. Un avión que está a 500 kilómetros al norte de Quito viene hacia la capital a 400 kilómetros
por hora, mientras que otro, que está a 600 kilómetros al este, lo hace a una velocidad de
300 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad se acercan el uno al otro?
4. Un Hombre de 1.5m de altura se aleja de la base de un poste a rapidez constante, el poste
mide 4m y la rapidez de la sombra respecto a la cabeza del hombre es 0.75 m/s. A que
rapidez se aleja la punta de la sombra de los pies del hombre cuando está (la sombra) se
encuentra a 6m de la base del poste.
5. Dos trenes se alejan desde un punto de partida a velocidad constante de 100 Km/h, cada
uno, formando un triángulo isósceles, el ángulo que separa los rieles en las salidas es
90°.¿ A qué velocidad se separan uno del otro luego de 1/2 hora (0.5H) de la partida?
6. Un radar que está a 12 kilómetros de una base militar detecta que un avión sobrevuela la
base a 9 000 metros de altura y que se dirige hacia el radar, manteniendo su altitud y
velocidad. Si la rapidez con que decrece la distancia entre el avión y el radar es de 500
kilómetros por hora, ¿a qué velocidad vuela el avión?
7. El agua escapa del reservorio cónico, mostrado en la figura, a una razón de 20 litros por
minuto: ¿Con qué velocidad disminuye el nivel de agua cuando su altura h desde el fondo
es de 5 metros? ¿Cuál es la razón de cambio de radio r del espejo del agua en ese
instante?
8. Un faro ubicado en un islote situado a 3 kilómetros de la playa emite un haz de luz que
gira dando una vuelta entera cada minuto (figura). ¿Con qué velocidad se “mueve” el
punto P de la playa iluminado por el haz de luz FP emitido por el faro cuando P está
situado a 2 kilómetros del punto Q, que es el punto de la playa más cercano al faro?

7. 9. Un rectángulo mide 10 metros de altura por 20 metros de base. Si la base aumenta a
razón constante de un metro por minuto y la altura disminuye a una razón constante de
dos metros por minuto, ¿con qué velocidad varía el área del rectángulo? El área,
¿aumenta o disminuye?
10. Si de un recipiente, que tiene la forma de una pirámide truncada invertida de base
cuadrada, de 10 metros de altura, de 10 metros el lado del cuadrado más grande y de 5
metros el lado del cuadrado más pequeño, y que está lleno de agua a media altura, se
extrae el líquido a una razón constante de un metro cúbico por minuto: (a) ¿Con qué
rapidez baja el nivel del agua? (b) Si, por otro lado, el nivel del agua sube un metro por
hora al bombear agua en el reservorio cuando está lleno hasta la mitad, ¿cuál es el caudal
de agua que se introduce?
11. ¿Con qué rapidez varía el área de la corona que queda entre dos circunferencias
concéntricas de radios 10 metros y 20 metros respectivamente, si el diámetro de la más
pequeña aumenta un metro por hora y el diámetro de la más grande disminuye dos metros
por hora? ¿Y si los diámetros aumentan un metro por hora? Si el diámetro menor crece
dos metros, ¿cómo debe variar el otro para que el área de la corona no cambie?
12. Una partícula se mueve en una trayectoria elíptica cuya forma está dada por la ecuación:
Supongamos que las longitudes están expresadas en metros. Si se sabe que en punto de
la abscisa 1, ésta se incrementa a una razón de dos metros por segundo, ¿qué sucede
con la ordenada del punto con la abscisa dada? Considere los casos que se derivan según
los cuadrantes en los que se halla la ordenada.

8. 13.El volumen de una caja rectangular es V=xyz. Dado que cada lado se expande a una
razón constante de 10 cm/min, encuentre la razón a la cual se expande el volumen
cuando x =1 cm, y = 2 cm y z = 3 cm.
14.Una placa en forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo. La longitud de
un lado aumenta a razón constante de 2 cm/h. ¿A qué razón crece el área cuando un
lado mide 8 cm?
15.En el problema anterior, ¿a qué razón crece el área en el instante en que el área es
√75
16.Un rectángulo se expande con el tiempo. La diagonal del rectángulo aumenta a razón
de 1 pulg/h y la longitud crece a razón de pulg/h. ¿Cuán rápido crece el ancho cuando
éste mide 6 pulg y la longitud mide 8 pulg?
17.Las longitudes de las aristas de un cubo aumentan a razón de 5 cm/h. ¿A qué razón
crece la longitud de la diagonal del cubo?
18.Un velero se dirige hacia el acantilado ven la FIGURA ¿Cómo están relacionadas las
razones a las que cambian x, s y ϴ?
19.Un escarabajo se mueve a lo largo de la gráfica de y = x2
+ 4x + 1 donde x y y se
miden en centímetros.
Si la coordenada x de la posición del escarabajo (x, y) cambia a razón constante de 3
cm/min, ¿cuán rápido cambia la coordenada “y” cuando el escarabajo está en el punto
(2, 13)? ¿Cuán rápido cambia la coordenada cuando el escarabajo está 6 cm arriba
del eje x?
20.Una partícula se mueve sobre la gráfica de y2
= x + 1 de modo que
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 4𝑥 + 4 ¿Cuál
es
𝑑𝑦
𝑑𝑡
cuando x=8?
21.Una partícula en movimiento continuo se mueve sobre la gráfica de 4𝑦 = 𝑥2
+ 𝑥.
Encuentre el punto (x, y) sobre la gráfica en el que la razón de cambio de la
coordenada x y la razón de cambio de la coordenada y son iguales.
22.La coordenada x del punto P mostrado en la figura aumenta a razón de
1
3
𝑐𝑚/ℎ ¿Cuán
rápido crece el área del triángulo rectángulo OPA cuando las coordenadas de P son
(8, 2)?

9. 23.Una roca arrojada a un estanque tranquilo provoca una onda circular. Suponga que
el radio de la onda se expande a razón constante de 2 pies/s.
a) ¿Cuán rápido crece el diámetro de la onda circular?
b) ¿Cuán rápido crece la circunferencia de la onda circular?
c) ¿Cuán rápido se expande el área de la onda circular cuando el radio es de 3 pies?
d) ¿Cuán rápido se expande el área de la onda circular cuando el área es 8𝜋 𝑝𝑖𝑒𝑠2
?
24.Un reflector en un bote patrulla que está a 0.5 km de la costa sigue un buque de dunas
de arena que se mueve en forma paralela al agua a lo largo de una playa recta.
El buque se desplaza a razón constante de 15 km/h. Use una función trigonométrica
inversa para determinar la razón a la cual gira el reflector cuando el buque está a 0.5
km del punto sobre la playa más próximo al bote.
25.Un diamante de beisbol es un cuadrado de 90 pies por lado. Como se ve en la figura.
Un jugador golpea la pelota y corre hacia la primera base a razón de 20 pies/s. ¿A qué
razón cambia la distancia del corredor a segunda base en el instante en que el corredor
está a 60 pies de home?
¿A qué razón cambia la distancia del corredor a tercera base en ese mismo instante?

10. 26.Un tanque de agua en forma de cilindro circular recto de 40 pies de diámetro se drena
de modo que el nivel del agua disminuye a razón constante de 3/2 pies/min.
¿Cuán rápido decrece el volumen del agua?
27.Un tanque de aceite en forma de cilindro circular recto de 8 m de radio se llena a razón
constante de 10 m/min.
¿Cuán rápido sube el volumen del aceite?
28.Como se muestra en la Figura, un tanque rectangular de agua de 5 pies de ancho
está dividido en dos tanques por medio de una separación que se mueve en la
dirección indicada a razón de 1 pulg/min cuando al tanque frontal se bombea agua a
razón de 1 pie 3
/min.
a) ¿A qué razón cambia el nivel del agua cuando el volumen de agua en el tanque
frontal es de 40 pies 3
y x = 4 pies?
b) En ese instante, el nivel del agua ¿sube o baja?