Papiroflexia y geometría

Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
Prof.ElmerRolandoESTRELLAGRIMALDO
Geometría en el papel plegado
PAPIROFLEXIA
Elmundomaravillosodelpapelplegadoysuaplicaciónenlamatemática.
0
30
r=1
½½ s
E O
D
o
30
X
O
D
E
0
30
r=1
½
½
s
Fig.22
La Paloma
Elroesgri

01
PUNTO, RECTA, LINEA Y PLANO.
1. PUNTO.-
Es una representación abstracta (idea) que solo
podemos relacionarlos con los demás elementos
geométricos. Es así como podemos menciona que,
cuando dejamos caer un lapicero sobre una hoja de
papel, la huella dejado nos hacer referencia de un
2. RECTA.-
Si plegamos una hoja, podemos decir que
estamos representando una recta; es así
que,dos puntos determinanunarecta.
A
B
Fig. No 01
PAPIROFLEXIA, es el arte de hacer
figuras reconocibles utilizando papel
plegado. Si relacionamos el término
Papiroflexia con origami, podemos
mencionar que ambos términos tiene un
mismo significado, siendo el segundo un
término japones, y entendiendo que este
técnicatienesus orígenesenJapón.
Cuando plegamos una simple figura
como puede ser un avión, pajarito, etc; en
ella queda impresos una serie de líneas, que
al cortarse forma un sin número de ángulos
ydepolígonos regulareseirregulares.
Entonces estamos hablando de la
relación íntima que tiene del origami con
lamatemática.
En Papiroflexia, existen axiomas que
demuestras como la bisectriz de un ángulo,
líneas paralelas, etc.
Además podemos mencionar que
plegando papeles se construyen desde un
simple triángulo, hasta un complejo
polígonosregulascomoeltoromodular.
Para muchas personas el plegar papel es
un simple pasatiempo, pues para los que
miras de otro perspectiva el plegar papeles
es un arte que ayuda a perfeccionar el
movimiento motriz fina de la manos y
además ayuda a cultivar la inteligencia
espacial y el razonamiento lógico
matemático.
PAPIROFLEXIA
El mundo maravilloso del papel plegado
Punto
.A
DenotadoEs una
No es Se lee
Objeto real Punto A
Idea
La
Recta
Como Solo
Conjunto
de puntos
2 puntos
determinan
la recta
A y B
puntos
Recta
AB
Se lee
Sean
3. LINEA.-
Es un elemento geométrico que está compuesto de un conjunto de puntos alineados en sus
dos sentidos.
Si plegamos una hoja de papel, en ella queda representado una línea que puede ser de
acuerdoasus clases.
Elroesgri

02
3.1. CLASES DE LINEAS.-
Tomamos una hoja de papel, construimos un avión; luego desplegamos y
en ella queda plasmado las clases de líneas. Fig. 02
Fig. 02
Líneacurva
Línea recta
)satcery
Línea mixta (curvas
Línea
quebrada (dos o más rectas)
4. PLANO.-
Podemos decir que una
hoja de papel nos da
una idea de un plano.
Existen varios planos,
cuando plegamos una
hoja de papel en cuatro;
entonces podemos
decir que en ella hay
cuatroplanos.Fig.03
P
P
P
P
1
2
3
4
Fig. 03
El Avión
Línea
SusConjunto
De puntos
alineados
En sus dos
sentidos
Una misma
dirección
Son
Clases
Recto Curvo Quebrado Mixto
Porciones
ed
Conjunto
Segmento
Recto
2 o más
Rectas
Carece
Indefinidos
En
Plano
Tres puntos
no alineados
Determinan Existen
Plano P
P
Plano
ilimitados
Representa
Se lee
Angulo
Dos semi rectas
con mismo origen
Angulo AOB Clasifican
Magnitud Característica Posición
Forman
Sus
Denota
Se
Según su
Lados: OA y OB
Elementos
Vértice O
Dos rayos
Son
Son
Interse
ed nóicc
ANGULOS.
Elroesgri

03
La Taza
Una vez construido la
taza de papel, hemos
desplegado la hoja y en
ella apreciamos el
ángulo AOB, que deja
la marca al plegar la
hoja, y ademas existen
variosángulos.Fig.04.
1. CONCEPTOS.-
A. Eslafiguraformadopordos rayos (o líneas) trazadosdesdeunmismopunto.
B. Cada uno de las dos regiones ilimitadas en que queda dividido un plano cuando dos rayos
(semirectas) partendesdeunmismopunto.
C. Porcióndelplanodeterminadopordos semirectasconorigencomún.
Cuando plegamos una hoja de papel para realizar cualquier figura, en ella encontramos un sin
númeroderectas,los cualesalintersectarseformanángulosdedistintasmedidasy clases.
A continuación cogemos un papel en forma de cuadrado para construir una taza, luego
desplegamosyenellase graficanloqueesunángulo.
B
A
O
Concepto:
Lados OB, OA
Vértices O.
Formar dos semirectas
con un mismo origen
* Según su
posición
* Según su
característica
* Según su
magnitud
Clasifican:
Angulos agudos
Angulos Rectos
Angulos obtusos
Angulos nulos
Angulos Convexos.
Angulos llanos
Angulos Cóncavos.
Angulos de vuelta.
Elementos:
Angulos complementarios
Angulos suplementarios
Angulos consecutivos
Angulos adyacentes
Angulos opuestos por el vértice.
Angulo
2. CLASIFICACION.-
L o s á n g u l o s s e
clasificanessegún su:
Magnitud.
Característica.
Posición.
Tomanos los pliegues
b á s i c o s o
fundamentales de la
figura la Tetera de
papel, para ver las
clases de ángulos,
como se muestra en la
figura 05.
Angulos
=1800
Angulos
=3600
Son
Tenemos los
Son
Angulos
de0
0
Angulo
llano
Angulosde
vuelta
Angulo
Cóncavo
Angulo
nulo
Son
Rectos
=900
Obtusos
<de900
Agudos
>900
Tenemos
2.1.-
Angulos
>1800
Angulos
<3600
Tenemos
Y
Angulos
Cóncavos
Angulo
Convexo
Según su magnitud
O
A
B
Angulo AOB
Fig. 04
α
Elroesgri

04
=360
<90
=90
=180
<360
Fig. 05
Los ejemplos de clasificación
de los ángulos según su carac-
terísticay posi-ción, presenta-
mos en la figura de la paloma
d e p a p e l , e n d o n d e
identificamoslos ángulos
c o m p l e m e n t a r i o s y
suplementario, consecutivos,
adyacente y opuestos por el
vértice;enlaFig.06.
La Tetera
α+β = 90o
Complementarios
Sumados sus dos
ángulos dan 90o
Cuando
Sea
Según su Característica
α+β = 180o
Tenemos
Sea
2.2.-
Suplementarios
Sumados sus dos
ángulos dan 180o
Cuando
Angulo = Anguloα β
Angulos opuestos
por el vértice
Angulos
Adyacentes
Angulos
consecutivos
Según su posición
Tenemos los
Vértices y lado
común
Lados no comunes
y rayos opuestos
Lados de uno son
semirectas opuestos
de los lados del otro
Entonces
Tienen TienenTienen
2.3.-
α + β =180º (ángulos suplementario)
δ + λ =90º (ángulo complementario)
π = ω (ángulos opuestos por el vértice)
Fig. 06
La Paloma
3. BISECTRIZ DE UN ANGULO.-
La bisectriz es una semi recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales, de tal
modoquecadaángulorepresentalamitaddel ángulooriginal,Fig.07.
α
β
ω
π
λ
δ
Elroesgri

052
4. ANGULOS FORMADOS POR DOS PARALELAS CORTADOS
POR UNASECANTE.-
L1
L2
1 2
3 4
5 6
7 8
Fig. 08
Delosángulosalternosexternosson iguales.EnlaFig.08:1=8y2=7.
De los ángulos conjugados internos son suplementarios. En la Fig. 08.: 3+5=180º y
4+6=180º
De los ángulos conjugados externos son suplementarios. En la Fig. 08.:1+7=180º y
2+8=180º
De los pliegues básicos o fundamentales de la Paloma
de papel se toma una cuarta parte de la hoja como
ejemplo para identificar los ángulos formados por dos
paralelas cortados por una secante; de los cuales
podemosapreciarenlafiguraNro. 08.
De los ángulos correspondientes son iguales. En la
Fig.08:1=5,2=6,3=7y4=8.
De los ángulos alternos internos son iguales. En la
Fig.08:3=6y4=5.
Bisectriz de un ángulo
Es una
semi recta
Origen en el
vértice del ángulo
Divide al ángulo
de 2 ángulos
congruentes
Es
Tiene Que
Suplementarios
Dos rectas
paralelas
Por una
secante
1 2
3 4
6
7 8
5
Angulos conjugados
internos
Son Tales
IgualesAngulos
correspondientes
Son Tales 1 = 5 ; 3 = 7
2 = 6 ; 4 = 8
3+5 = 180
4+6 = 180
Tales
IgualesAngulos alternos
internos
Son Angulos 3 = ángulo 6
Angulo 4 = ángulo 5
Iguales
Angulos alternos
externos
Son Tales Angulo 1 = ángulo 8
Angulo 2 = ángulo 7
Tenemos los
Cortados
SuplementariosAngulos conjugados
externos
Son Tales 1+7 = 180
2+8 = 180O
O
O
O
POLIGONOS.
CONCEPTO.-
Un polígono esta conformado por más de dos líneas poligonales cerrada; por eso, debemos
mencionar que el polígono que posee de mínimo de lados y ángulos es el triángulo, que tiene tres
lados y tres ángulos. El polígono de n lados, siempre y cuando n>2; es la circunferencia que
tieneinfinitoslados.
A continuación presentamos un esquema de diagrama de llaves y un mapa conceptual
sobrelospolígonos(concepto,elementosy clasificación).
Bisectriz
Bisectriz
Fig. 07
Elroesgri

062
Concepto
Elementos
Clasifican
Porción del plano limitado por una
línea poligonal cerrada.
Lado
Vértice
Angulos interiores
Angulos exteriores
Diagonales y
Perímetro
1.- Por le número de
lados o ángulos.
2.- Por su convexidad
3.- En función a sus
lados y ángulos.
4.- Por su relación con
la circunferencia
Triángulo
Cuadrado.
N-ágonos
Convexo
Cóncavo
Equilátero
Equiángulo
Regular
Inscrito en una
circunferencia
Circunscrito en una
circunferencia.
POLIGONOS
Por el número de
lados o ángulos
El Número de lados
igual al número
de ángulos
Cuadrilátero
Pentágono
N-ágonos
Por su
convexidad
Cóncavo
Convexo
Cruzado
Paralelogramo
Trapecio
Trapeziode
En función a sus
lados y ángulos
Regular
Equilátero
Equiángulo
Por su relación con
la circunferencia
Inscrito
Circunscrito
Lados
Vértices
Ang. Interiores
Diagonales
Perímetro
Ang. Exteriores
Polígono
Porción del plano
limitado por una línea
poligonal cerrado
Es Suspartes
Se clasifican
Tenemos TenemosTenemos Tenemos
Tenemos
Tenemos
Es
Cuando
Triángulo
TRIANGULOS.
1. CONCEPTO.-
 Es la porción del plano común a tres ángulos coplanarios que tienen dos a dos un lado
común.
 Eslaporcióndelplanolimitadoportresrectasquese cortandos ados.
 Figurageométricaformadoportresrectasquesecortandos ados.
 Polígonoplanoformadoportresladosy tresángulos.
2. CLASIFICACION.- De los triángulos lo desarrollaremos en talleres siguientes:
2.1. Según sus lados:
A.- Construcción de un triángulo equilátero. Fig. 09
Elroesgri

07
B.- Construcción de un triángulo isósceles. Fig. 11, 10 y 07.
En los pliegues básicos de la mesa de papel (Fig. 10), Fig.
07 y Fig. 11 encontramos varios triángulos isósceles y los
lados congruentes son: AB = BC del triánguloABC y DF
=EFdeltriánguloDE.
Fig. 07
=
=
La mesa
1ro
2do
=
=
4to
Fig. 11
3ro
BC
A
AB=BC del
triángulo ABC
C.- Construcción de un triángulo escaleno. Fig. 12.
Teniendo como base un papel de forma cuadrada, se ha construido las Cinco fases para
plegar un cuadrado; de ello tomamos los pliegues básicos para identificar al triángulo
escaleno que tiene sus tres lados y ángulos que no son congruentes. En la figura Nro. 12
apreciamos14triángulosescalenos;siendounodeelloseltriánguloABC.
Triángulo
Porción del plano limitado por tres
rectas que se cortan dos a dos.
Es
Clasifican
Sus ángulosSus lados
Tenemos
Isósceles2ángulos=
Equilátero3lados=
Escaleno3ángulos=
Tenemos
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo
3Ang.Agudos<90
1Agn.Obtuso>90
1Ang.Recto=90
Tenemos
Tenemos
Según
Notación
Triángulo
ABC
ABC
Se denota
Se lee
Elementos
VérticesA,B,C
LadosAB,B,A,CA
Ang.Int.
Ang.Ext.,,
,,
Son
SeSusSu
A continuación tomanos un papel que tenga un figura rectangular, para construir un
triánguloisósceles,teniendocuatroprocedimientoqueacontinuacióndetallamos.
1ro
3ro
2do
Fig. 09
=
=
=
4to
C
En los pliegues básicos de la mesa de papel (Fig. 10), Fig.
07 y Fig. 11 encontramos varios triángulos isósceles y los
lados congruentes son: AB = BC del triánguloABC y DF
=EFdeltriánguloDE.
==
=
=
A
B
D
F
E
Fig.10
Elroesgri

08
A
BC
Fig. 12
Cinco fases para
plegar un
cuadrado
2.2. Según sus ángulos:
A.- Construcción de un triángulo acutángulo: Fig. 13
C.- Construcción de un triángulo rectángulo: Fig. 13
B.- Construcción de un triángulo obtusángulo: Fig. 13
AB
C
Fig. 13
D
E
F
GH
De la Fig. 13 (Cinco fases para
plegar un cuadrado), apreciamos
los siguientes triángulos
clasificadossegún sus ángulos:
 Triángulo acutángulo GFH
(tres ángulos agudos o sea
menoresque90º).
 Triángulo obtusángulo ABD
(un ángulo obtuso o sea mayor
que90º)
 Triángulo rectángulo ECD (un
3. TEOREMAS FUNDAMENTALES:
A. La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo de igual a 180º
O sea que α + β + ϕ = 180º
Cogemos una hoja de papel de cualquier y plegamos un triángulo sin importar su medida
ni clasificación; una vez construida procedemos a recortar, por las líneas dejados al
hacerlospliegues,detalmodoquedandosolo eltriángulo.Fig.14
A
C B
A
C
B
A
C B
A
C B
AC
B
AC B
1ro 2do 3ro
4to 5to 6to
Fig. 14
A
C
B
Fig. 15
X
Y
Z
B. Cualquier ángulo exterior de un triángulo es igual
a la suma de los dos ángulos interiores no
adyacentes. DemostramosenlaFig.15.
Del triángulo ABC, tenemos sus ángulos
exterioresX ,Yy Z.
X = β + ϕ
Y = α + ϕ
Z = α + β
C. Lasumadelos ángulosexterioresdeun triángulocualquieraesiguala360º .
De la Fig. 15 hemos invertidos los colores, teniendo como ángulos exteriores X, Y y Z.
Luego procedemos a cortas lo mencionados ángulos para luego juntarlos como indica la
figurayquedademostrados.
ángulorecto90º
Elroesgri

09
A
C
B
Fig. 15
X
Y
Z
X+Y+Z=360
X
Y
Z
D. Entodotriánguloisósceles,aladosiguales se oponenlosángulos igualesFig.11.
Para demostrar este teoremas, es necesario plegar haciendo coincidir el vértice A con el
vérticeC.
Deahípodemosdecirquelosángulosα=β,quese oponenalvérticeBoalánguloϕ.
4. LINEAS NOTABLES EN UN TRIANGULO:
A. ALTURA.-
 Distancia medida perpendicularmente desde la base de una figura o cuerpo desde el
puntoquesehallemásalejadodelabase.
 Es el segmento perpendicular desde una de los vértices al lado opuesto o a su
prolongación.
Utilizando un triángulo
cualquiera, trazamos la
altura plegando del vértice
A hacia CB; del mismo
modo trazamos plegando
las demás alturas de los
vértices B y C, como indica
enlaFig.16.
De los pliegues realizados
tenemos las alturas h’, h’’ y
h’’’ y un punto O en donde
las tres alturas se cortan;
ese punto se llama
Ortocentro.
A
BC
A
C
B
A
BC
A
BC
O
Fig. 16
h’’h’’’
h’
h’
1ro
2do
3ro 4to
B.BISECTRIZ.- Es un segmento que divide a un ángulo del triángulo en dos ángulos
iguales;peroteniendoun mismovérticeconlos restos delosángulos.
Trazados las bisectrices de los tres ángulos del triángulo ABC como indica en la Fig. 17,
todos ellosseintersectanenunpuntollamado Incentro(puntomediodelacircunferencia).
Fig. 17
A
BC
1ro
A
C
B
2do
A
BC
’
3ro
A
BC
O
’
’ ’
= ’
= ’
= ’
4to
=
=
Fig. 11
BC
A
AB=BC del triángulo ABC
entonces, =
β
Elroesgri

10
C. MEDIANA.-
Es el segmento que une un
vértice del triángulo con el
puntomediodelladopuesto.
Trazados las medianas de los tres
ángulos del triánguloABC como
indica en la Fig. 18, todos ellos
se intersectan en un punto
llamado Baricentro, que es el
centrodegravedaddeltriángulo.
A
BC
1ro A
BC
3ro
BC
A
4to
=
=
O
A
C
B
2do
A
BC
A
BC
Fig. 19
1ro
3ro
B
4to
A
C
B
2do
A
C
=
=
O
5. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:
Dos o mas triángulos con congruentes cuando al superponerlos, todos sus lados y ángulos
coinciden.VeamoslaFig.20.
A B
CD
E
F
G
H
O O
B G
E
A
CD
F
H
Fig. 20
Hemos plegado una hoja de forma
cuadrada, en la cual existen varios
triángulos (isósceles). Seguidamente
hacemos coincidir el vértice B hacia el
vértice D ; en ésta superposición tenemos
varios triángulos congruentes como:
AOE=AOF, EOD=BOF, DOH=BOG,
COH=GOC, AOD=AOB, DOC=BOC y
ADC=ABC.
6. BASE MEDIA DE UN TRIANGULO:
Toma un papel y construya un triángulo ABC y
luegorecórtalo.
Trazar la mediatriz del segmento CB, obteniendo el
puntomediok.
Trazar la mediatriz del segmentoAB, obteniendo
elpuntomedioN.
Al segmento AB trazar la altura hacia el vértice C,
obteniendoelpuntog.
Realice un pliegue, de tal modo que el vértice C
coincida con el punto g, teniendo como resultado el
segmentoMk, y
Finalmente realice un pliegue desde el punto M hacia el punto N, obteniendo el segmento
MN que viene a ser el Base Media del triángulo ABC; donde MN=Ck =kB, entonces
MN=CB/2.
A
BC
M N
g
k
Fig. 21
Es la recta perpendicular a un
lado, trazado desde su punto
medio.
Trazados las mediatrices de los
tres lados del triángulo ABC
como indica en la Fig. 19, todos
ellos se intersectan en un punto O
llamado Circuncentro (punto
medio de la circunferencia
inscritoeltriánguloABC).
D.MEDIATRIZ.-
Fig. 18
Elroesgri

11
6. TEOREMA DE PITÁGORAS:
Construimos una triángulo equilátero
circunscrito a una circunferencia (según la Fig.
22), de lo cual extraemos un triángulo EOD, y
traza la altura del segmento ED hacia el vértice
O, y además teniendo como radio r=1. Del
teorema de Pitágoras procedemos a resolver la
2 2 2.
ecuaciónh =x +x
Una vez resuleta la ecuación procederemos
a hallar las seis funciones trigonométricas
0 0
del ángulo de 30 y de 60 del triángulo
AOD.
A
B C
O
D
E
0
30
r=1
½
½
s
0
30
r=1
½½ s
E O
D
o
30
X
Fig. 22
Hallando uno de los
catetos del triángulo
r e c t á n g u l o E D S ,
utilizando el Teorema de
Pitágoras.
Una vez hallando el cateto,
ahora hallamos las funciones
0
trigonométricasde30 .
Una vez hallando el cateto,
ahora hallamos las funciones
0
trigonométricasde60 .
En la Fig. 23, podemos apreciar un cuadrado que tienen varios pliegues, de los cuales una
circunferencia está circunscrito al cuadrado, esto no ayudará a identificar la radio r=1, para
o
hallarlasfuncionestrigonométricasdel ángulode45
2
2
11
2
222
222




h
h
h
bah
2
2
45
2
1
450

Sen
2
2
45
2
1
45


/ AD
Cos
145
1
1
45


:
Tan
Fig. 23
r=1
r = 1C
A
B
r=1
r = 1C
A
B
h
h
CUADRILATEROS
1. CONCEPTO.- Estodopolígonodecuatroladosy cuatroángulos;es cuadriláteros
pueden ser cóncavos o convexos. La suma de sus ángulos interiores de un cuadrilátero es
o
360 .
2
2
2
222
222
4/3
4/11
4/11
)2/1(1
x
x
x
x
bah





2
130
1
2
1
30


Sen
2
330
1
2
3
30


/ AD
Cos
2
3
60
1
2
3
60


Sen
2
1
60
1
2
1
60


/ AD
Cos
360
2
32
60
2
1
2
3
60





:
Tan
Tan
3
330
32
2
30
2
3
2
1
30





:
Tan
Tan
x
x


4
3
4
3
2. CUADRILATEROS CONVEXOS:
CLASES DE CUADRILATEROS:
Los cuadriláteros se clasifican en: Paralelogramos (rectangulares y oblicuos), Trapecios
(escalenos,isósceles, rectángulos y equiláteros)yTrapezoides.
Elroesgri

12
Cuadrilátero
Polígonos de
4 lados
Elementos
Vértices
A, B, C y D
< Int. , ,1 2
y3 4
< Ext. , ,1 2
y3 4
Lados AB,
BC,CD y AD
Clasifican
Cóncavo
Cruzado
Convexo
Son Se Sus
En
Son
CONSTRUCCION DE POLIGONOS REGURALES
CONVEXOS CON EL METODO DE PAPIROFLEXIA
1. TRIÁNGULOS EQUILÁTERO:
1. Coge una hojas que tenga la forma de un rectángulo ABCD, realiza un pliegue, por la
mitad, de tal modo que el vértice A coincida con el vértice D y B con C, obteniendo el
segmentoST.(1er).
2. Coge el vérticeAy realiza un pliegue, de tal modo que coincida en un punto del segmento
STy quepasepor elvérticeC,obteniendoelsegmentoDE.(2do).
3. Seguidamente coge el vértice B y realiza un pliegue, de tal modo que coincida con el
segmento DE, obteniendo el segmento EF (3er), y finalmente despliegue los dobleces y
tendremoseltriánguloequiláteroDEF.Fig.24.
Fig. 24
1er
C
T
A B
D
S
3er
C
D
T
E
F
2do B
CD
T
E
S
A
E
F
=
=
B
CD
S T
A
=
4to
A. Cuadrado: 4 lados iguales y c/u de sus
0
4 ángulos mida 90 .
B. Rectángulo: es un paralelogramo que
tiene sus 4 ángulos iguales y rectos y
sus lados opuestos iguales dos a dos.
A. Rombo: lados iguales y paralelos, sus
ángulos iguales de dos a dos y una y
diagonal perpendicular.
B. Romboide: sus lados paralelos entre si
dos a dos, formados por 2 ángulos
obtusos y 2 agudos.
1. Rectangulares:
2. Oblicuos:
I. Paralelogramos:
II. Trapecios:
III. Trapezoides:
1. Escaleno: Tiene lados no paralelos.
2. Isósceles: Lados no paralelos iguales.
3. Rectángulos: Es aquel que tiene 2 lados rectos.
4. Equilátero: Es aquel que tiene 3 lados no paralelos iguales.
1. Asimétricos: Es aquel que no tiene ninguna simetría.
2. Simétricos: Si uno de sus diagonales es mediatriz de otro.
2. CUADRADO:
Cogemos una pedazo de papel que contenga una figura geométrica irregular y sigue los
procedimientos:
1. Pliegüe unarectaAB.
2. PliegüeunarectaperpendicularaAB, iniciandoporelpuntoA, entoncestenemosla
Elroesgri

13
rectaAC yelánguloCAB.
3.Del ángulo CAB traza su bisectriz.
4.Pliegüe una recta perpendicular a AC, iniciando por el punto C, notamos que la recta y la
bisectriz del ángulo CAB se intersectan, a ese punto llamamos punto D, entonces ya
tenemoslarectaDE.
5.Pliegue una recta perpendicular a CD, iniciando por el punto D. Notamos que la
perpendicular de intersectan en un punto con la recta AB, a ese le llamamos punto E,
entoncestenemoslarectaDE.ObteniendoelcuadradoACDE. Fig.25.
C
A B
D
E
A B
DC
A
B
A
B
C
D
C
A
D
E B
A B
Fig. 25
1er 2do 3er
4to
5to 6to
3. PENTÁGONO:
Utiliza un papel tipo tira y luego haga un nudo
delasiguientesmanera.
Utilizando la tira de papel, con el
procedimiento uno ARRIBA y dos ABAJO
consecutivamente, construiremos un
pentágono.Fig.26.
4. EXÁGONO:
1ro
2do
4to 5to
Utiliza un papel tipo tira, utilizando el
Algoritmo “Pliegue y Tuerce” construiremos
unexágono,lospasossiguientes:
Fig. 26
1ro 2do
3ro
4to
5to
6to
7mo
8vo
9no
3ro
En el 1ro, pliegue triángulos
equiláteros, de tal manera quede
c o m o i n d i c a l a f i g u r a ,
seguidamente prosiga los pasos
siguientes.
Para terminar el exágono, repite el 3ro y 5to y
obtendremoslagráficasiguientes.
Elroesgri

14
Entonces:
1. Los pliegues de la Taza, como se nuestra hallar
el valor de los ángulos α,β y ω.
A B
α
D C
F
E G
I
J
K
Del cuadrilátero
BFGK, los lados
BK=BG=BF,
entonces el ΔBGK
y el ΔBFK es isós-
celes.
Solución:
º45
º902
º180º90
º5.67
º45º1802
º180º45














CGI
BGK
Es isósceles.
º5.67
º180º5.67º45
º180






º45
º5.67
º5.67






Respuesta:
Ejercicios propuestos utilizando los pliegues de las figuras.
3. En la figura, hallar los valores de los ángulos.
Propuesta del Maestro KASAHARA.
a
b
c
d
e
f
g hj
k
l m
n
op r
s
Solución:
Los ángulos l, n, m son iguales:
Por ángulos correspondientes:
Por ángulos
opuestos.º120
º120
º120
º180:
º120
º180:
º30
º90:
º30
º90:
º60
:
º60
º120:
º60
:
º60
º60,,:
º180




















jo
gp
o
orSi
p
pkSi
a
asSi
f
fhSi
s
skSi
k
nrSi
r
rhSi
h
hn
mnl
mnl
Respuesta:
º45
º15
º75,:
º120,,,:
º60,,,,,,:
º30,:






b
c
de
jgop
skrhmnl
af
º45
º90º45
º90º30º15
º90
º15
º165º180
º180º90º75
º180º90
º75º75
º1502
:
º180º30
º180













b
b
b
abc
c
c
c
cd
de
e
deSi
de
def
A B
α
D C
F
E
G
J
I
Del ángulo B.
º5.67
º180º5.112
º180º90º5.22
º5.22
4
º90








BIJ
º5.67
º180º45º5.67
º180







EIC
Respuesta:
o
α = 67.5
o
β = 67.5
2. Dada la figura, hallar α, β sabiendo que BF es la
bisectriz de ABD, BE s bisectriz de DBC y CA es
bisectriz de BCD. Pliegues de la Fig. 07.
4. De la recta AC, AB es la media parte; hallar la recta
BE, si BEC es 11. Solución:
A B C
DE
F
5
3
CE=5
AE=CD=3
Hallando el lado AC del
triángulo ACE, por teo-
rema de Pitágoras.
4
925
35 222




AC
AC
AC
BCD
Hallando el lado BE del
triángulo BCE=11.
4
1152
11




BE
BE
CEBCBE
BCE
Elroesgri

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El taller que presentamos es del maestro KASAHARA. Utiliza una hoja de papel cuadrada y
luegorealizacuatroplieguescomoindicayluegohallelos diferentesángulos.
A
B
C
D
E
F
G HJ
K
L M
N
OP R
S
Fig. 29
1ro 2do
3ro
4to
1ro 5to
A
B C
DE
F
G
H
O
UT
K
W
Q
De los pliegues básicos de la paloma,
hallarelángulo.
A continuación halle los valores de los
ángulos.
α
β
θα
Elroesgri

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