Estrategias de pivoteo para métodos de eliminación para solución de sistemas de ecuaciones lineales

1. Estrategias de pivoteo para métodos
de eliminación

2. El error de redondeo está relacionado con la representación de
los valores en números máquina de longitud de palabra fija.
Algunas de las operaciones previas pueden afectar la exactitud
de la solución calculada.
Por tal motivo, debemos buscar la forma de disminuir y controlar
el error de redondeo.
Para ellos es conveniente buscar un coeficiente de la matriz para
eliminar los elementos de su columna, que no genere números
susceptibles al error (pivoteo).

3. • Pivoteo es el proceso de reordenar las
ecuaciones de modo que en cada paso el
coeficiente de mayor magnitud esté en la
diagonal.
• Pivote es el elemento que se toma para
eliminar a los elementos de su columna
o Debe ser diferente de cero.
o Si es pequeño comparado con los elementos de
debajo de él, en la misma columna puede llevar a
un error de redondeo sustancial.

4. Al usar alguna técnica numérica se
procura
Minimizar el efecto del error de
redondeo.
Pivotear implica intercambiar
renglones para elegir un buen pivote.
El pivote debe ser, el mayor en
magnitud (valor absoluto)
Pivotear también representa hacer
operaciones

5. • Redondeando a tres cifras, primero sin
intercambio de renglones y después
empleando pivoteo (intercambiando las
ecuaciones):
0.003x1 + 59.14x2 = 59.17
5.291x1 - 61.3x2 = 46.78

6. 0.003 59.14 59.17
5.291 −61.3 46.78
𝑅1
0.003
𝑅1 −5.291 + 𝑅2
1 19713.333 19723.333
0 −104364.544 −104309.374
𝑅2
−104364.544
𝑅2 −19713.333 + 𝑅1
1 0
0 1
29.714
0.999
Sin pivoteo la solución es:
𝑥1 = 29.714 𝑦 𝑥2 = 0.999

7. 5.291 −61.3 46.78
0.003 59.14 59.17
𝑅1
5.291
𝑅1 −0.003 + 𝑅2
1 −11.585
0 59.174
8.841
59.143
𝑅2
59.174
𝑅2 11.585 + 𝑅1
1 0
0 1
20.414
0.999
Con pivoteo la solución es:
𝑥1 = 20.414 𝑦 𝑥2 = 0.999

8. Pivoteo parcial:
• Seleccionar el elemento en la misma columna que está
debajo de la diagonal y que tiene el mayor valor absoluto,
para lo cual se recurre a un intercambio de renglones.
• Garantiza que cada factor multiplicador tenga una magnitud
que no exceda a uno.
• Tiene la ventaja adicional de proporcionar precisión
aritmética mejorada.
Pivoteo total
• Selecciona al elemento de magnitud máxima dentro de
toda la matriz (intercambio de renglones y columnas).
• Implica cambiar el orden de las variables

9. • Es cuando se
reacomodan los
renglones de tal forma
que el elemento mayor
de cada columna quede
en la diagonal.
• Es muuuuy buena idea
reordenarlos antes de
iniciar el proceso de
eliminación.
• Ejercicio para entregar.
Resolver empleando
pivoteo parcial
5x1 - x2 - 3x3 = 14.8
0.03x1 + 6 x2 + 4x3 = -0.355
-4x1 + 1.2x2 + 6x3 = -22.2

10. Para sistemas de ecuaciones que consideran relaciones
entre cantidades medidas en unidades bastante
diferentes.
Ajusta los coeficientes de modo que todos sean del
mismo orden de magnitud.
Sin escalación, el pivote puede colocar en la diagonal
números que no sean tan grandes en comparación con
otros en su renglón, esto puede originar errores de
redondeo que se supone deben evitarse con el pivoteo.

11. • Influye en la estandarización del determinante
• Minimiza los errores de redondeo.























2
102
105
121
10031
10023
x

12. 3 2 100
0 3.66 133
0 0 −82.6
105
137
−82.7
⇒ 𝑥 =
1.00
1.09
0.94
, 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙 𝑒𝑠 𝑥 =
1.00
1.00
1.00
0.03 0.02 1.00
−0.01 0.03 1.00
0.50 1.00 −0.50
𝑥 =
1.05
1.02
1.00
0.50 1.00 −0.50
0 0.05 0.99
0 0 1.82
1.00
1.04
1.82
⇒ 𝑥 =
1.00
1.00
1.00
Sin escalar…
Escalando antes de pivotear…

13. La escalación es benéfica siempre que los coeficientes difieran
bastante entre columnas.
Si los valores son de magnitud semejante debe evitarse la
escalación.
La escalación involucra un error de redondeo adicional que
puede afectar adversamente la exactitud.
A veces se recomienda escalar de modo que la suma de las
magnitudes de los coeficientes en cada renglón sea la misma.

14. Aumenta el número de operaciones a realizar.
Solo se escogen una vez los factores a escalar.
Se sugiere sólo para calcular valores escalados
Los valores de los coeficientes se conservan para los
cálculos de eliminación y sustitución
El determinante no se escala

15. Solución parcial al mal condicionamiento
Minimizar el error de redondeo
Evitar la división entre cero
Alternativa para sistemas grandes
Disminuye el error de propagación