Presentación del método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales

1. Método de Gauss

2. • Los métodos directos consisten en aplicar
operaciones elementales entre renglones y/o
columnas, para simplificar la matriz asociada a un
sistema.
• Con dichos métodos se puede obtener
o el determinante
o la matriz inversa
o la solución del sistema de ecuaciones
o la factorización LU
• La mayoría de ellos están basados en el esquema de
la eliminación gaussiana.

3. • Consiste en transformar la matriz, a través de
operaciones elementales, en un sistema
escalonado o triangular superior de tal
manera que se puede encontrar fácilmente el
valor de cada uno de las variables realizando
una sustitución hacia atrás

4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por
el método de Gauss (triangularizar), pero sin
intercambiar renglones y sin hacer unos los
elementos pivote
5x1 - 2x2 + x3 = 13
-2x1 + 4x2 + 2x3 = -14
2x1 - x2 + 3x3 = -1
Hazlo antes de pasar a la siguiente diapositiva

6. 5 −2 1
−2 4 2
2 1 3
13
−14
−1
2
5
𝑅1 + 𝑅2
−
2
5
𝑅1 + 𝑅2
→
5 −2 1
0 16/5 12/5
0 9/5 13/5
13
−44/5
−31/5
−
9
16
𝑅2 + 𝑅3 →
5 −2 1
0 16/5 12/5
0 0 5/4
13
−44/5
−5/4
Esto se llama
factor
multiplicador
Cambiamos
el signo y lo
ponemos en
el
numerador
Para sacar el determinante, multiplicamos los elementos
de la diagonal
Det(A) = 5(16/5)(5/4) = 20

8. 5
4
𝑥3 = −
5
4
𝒙 𝟑 = −1
16
5
𝑥2 +
12
5
𝑥3 = −
44
5
𝑥2 = −
44
5
−
12
5
(−1)
5
16
𝒙 𝟐 = -2
5𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 13
𝑥1 =
13 − −1 + 2(−2)
5
𝒙 𝟏 = 𝟐
𝑋 =
2
−2
1

9. Hacemos una matriz L (Low)
con 1’s en la diagonal y los
factores multiplicadores de
Gauss (cambiando los signos)
𝐿 =
1 0 0
−2/5 1 0
2/5 9/16 1
Y llamamos U (Upper) a la
matriz resultante de la
eliminación gaussiana
𝑈 =
5 −2 1
0 16/5 12/5
0 0 5/4
Ahora, realiza el producto LU…

10. 1 0 0
−2/5 1 0
2/5 9/16 1
5 −2 1
0 16/5 12/5
0 0 5/4
=
5 −2 1
−2 4 2
2 1 3
La matriz
original
Y para poder aplicarse se necesita hacer eliminación
gaussiana SIN intercambio de renglones

11. Eliminación
gaussiana
Resuelve el
sistema de
ecuaciones
Calcula el
determinante
de manera
eficiente
Factorización LU
de la matriz (sin
intercambio de
renglones)

12. • En un sistema grande, las multiplicaciones
proporcionan números muy grandes que pueden
desbordar los registros de la computadora.
• Si no se tiene cuidado, se puede efectuar una división
entre cero.
• Cuando hay muchas ecuaciones el efecto del
redondeo puede tener grandes repercusiones.
• El número total de multiplicaciones y divisiones es
aproximadamente n3/3, y similarmente para sumas y
restas, la cantidad de cómputo y el tiempo requerido
se incrementarán con n proporcionalmente a n3.

13. Aunque el Método de Gauss es la mejor opción
para calcular el determinante, algunos sistemas
NO son confiables…los mal condicionados:
• Cuando los coeficientes de una matriz son
tales que los resultados son particularmente
sensibles al redondeo;
• Cuando el determinante es cercano a cero.

14. Sea el siguiente sistema de ecuaciones, aplicar el método
de Gauss para
• Sacar el determinante
• Resolver el sistema de ecuaciones
• Obtener la factorización LU
6x1 + x2 - 3x3 = 7
-3x1 - 4x2 - 2x3 = -7
-x1 + 2x2 + 3x3 = 2
• Te sugiero que averigues cómo funcionan las funciones
mdeterm, mmult, minversa en Excel, te pueden ser útiles