Ing mets09 errores

Errores en los métodos
numéricos
Mtra. Teresa Carrillo

Introducción
• La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante
modelos matemáticos.
• La ingeniería como aplicación de las matemáticas, requiere
solucionar una gran variedad de problemas.
• En la mayoría de los casos, estos problemas involucran grandes
cantidades de datos y requieren gran precisión en su solución.
• De tal manera que es importante que el ingeniero cuente con la
formación necesaria para aplicar las herramientas más adecuadas
para estos fines.
MTRA. TERESA CARRILLO RAMÍREZ

¿Qué son los métodos numéricos?
Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando
operaciones aritméticas (Chapra & Canale, 2007).
Todos los métodos numéricos requieren una gran cantidad de
operaciones, las cuáles pueden realizarse con apoyo de
herramientas computacionales.
En la práctica de la ingeniería se presentan problemas imposibles
de resolver por métodos analíticos, sin embargo, con ayuda de los
métodos numéricos, se podrán obtener aproximaciones bastante
aceptables
MTRA. TERESA CARRILLO R. 3

Técnicas numéricas
› Las técnicas numéricas, mediante una labor de cálculo más o
menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son
siempre numéricas.
› El importante esfuerzo de cálculo que implican hace que su uso
esté ligado al empleo de computadoras.
› Sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática
resultaría difícil imaginar el nivel actual de utilización de las
técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos.

Razones para usar métodos numéricos
Son herramientas muy poderosas en la solución de problemas.
Algunos problemas no tienen solución analítica, solo se podría obtener una,
empleando métodos numéricos.
Son capaces de manipular grandes cantidades de datos, sistemas grandes,
sistemas no lineales, geometrías complicadas.
Con apoyo de la computadora, las capacidades de los métodos numéricos se
potencias, lo que permite resolver, prácticamente cualquier problema
matemático. MTRA. TERESA CARRILLO R. 5

Aproximaciones
Si los problemas se resuelven de forma analítica se obtiene una
solución exacta, de lo contrario se tiene que recurrir a los métodos
numéricos que proporcionan soluciones aproximadas.
Aún cuando se disponga de un método analítico se debe tener
cuidado en su aplicación porque los cálculos numéricos pueden
generar resultados inexactos, debido a factores como los
parámetros empleados o la formulación del modelo.

Soluciones exactas vs Aproximaciones
Los fenómenos naturales no son exactos
Los modelos no son perfectos
Los datos (mediciones) tienen errores
Las computadoras también cometen
errores

¿Método o análisis numérico?
› El análisis numérico es el desarrollo y estudio de procedimientos
(métodos) para resolver problemas con ayuda de una
computadora.
› Un método numérico es un algoritmo, a través del cual se obtiene,
de forma aproximada, la solución de problemas realizando cálculos
aritméticos y lógicos.
› Un algoritmo es un procedimiento sistemático que resuelve un
problema.
› La eficiencia de un algoritmo puede medirse, entre otros, por el
número de pasos, el tiempo de ejecución o la capacidad de
memoria de la computadora que requiere.

Tipos de
errores
De los datos Del modelo
De programación
De redondeo
De truncamiento
De propagación

La computadora comete errores
› Tanto los programas, como cualquier dispositivo electrónico,
representan los números reales con cierta imprecisión.
› La representación de un número con punto flotante depende del
tamaño de palabra de la computadora, teniendo que redondear la
cifra al número de decimales que se pueda, de ahí el nombre de
error de redondeo.
› El error de redondeo se origina porque la aritmética de una
computadora involucra números con un número finito de dígitos.
› En la computadora los números son almacenados como cantidades
de punto flotante, de forma normalizada.

Normalización
Número Num. normalizado
15.812 .15812 x 102
-0.0527
0.00325
-403.0003
15635.00236
-89.00333023
0.0000028
El número de bits utilizados
por las computadoras es fijo
El número de valores a
representar es finito.
Los números reales son
infinitos.
Normaliza el resto de
los números de la
tabla

Representación en una computadora
› El signo un bit (0 positivo, 1 negativo);
› La parte característica, representa el exponente (7 – 11 bits) y determina el
intervalo de los valores;
› La mantisa, parte fraccionaria o significativa (23 – 52 bits), determina la
precisión de la representación;
Las tres partes de los números tienen una longitud total fija que es generalmente
de 32 o 64 bits. La parte fraccionaria utiliza la mayoría de estos bits.
Exponente Mantisa

Normalización
La forma general en que se representa un número de punto flotante en una
computadora es:
 . d1d2d3…dp x Be Forma de punto flotante
Donde:
› di Dígitos o bits con valores de 0 a (B - 1)
› B Base numérica que se utiliza, generalmente 2, 16 o 10.
› p Número de bits significativos (dígitos), esto es la precisión.
› e Un exponente entero, que va de Emin negativo al Emax positivo.

Forma normalizada
0.312085 x 103
Signo Mantisa
(precisión)
Exponente
(intervalo)
312.085

› Normalizar un número significa que las fracciones son cambiadas y el
exponente ajustado, así que d1 siempre es diferente de cero. La
representación del cero es un caso especial.
› La forma de punto flotante se obtiene terminando la mantisa del número a
representar en k dígitos, para esto existen dos maneras de realizar esta
terminación:
› Cortar los dígitos del numero hasta la posición que permite el tamaño de
palabra de la computadora
› Redondeándolo de la siguiente manera:
› Si dk+1  5 se agrega uno a dk, redondeando hacia arriba.
› Si dk+1 < 5 se cortan todos excepto los primeros k dígitos, el redondeo es hacia
abajo.

Ejemplos
número p redondeado cortado
2.718281828 5 0.27183 x 101 0 .2 7 1 8 1 x 1 0 1
53.861753 7
0.0003865912368 10
-795.8460291 8
27.39 5
-0.00124 4
37000.02 6
-5670012.000035 8
8315.1200345 7
0.00245 6
-45.036 5 MTRA. TERESA CARRILLO RAMÍREZ
p = 5 dígitos,
redondeando
p = 5 dígitos,
cortando
Normaliza el resto de
los números de la
tabla

Error de redondeo
El error que resulta de
reemplazar un número por
su forma de punto flotante
se denomina error de
redondeo (sin importar el
método empleado.)
Aquí es muy importante
aclarar, que la computadora
trabaja con números
binarios, así, todos los
números son normalizados y
convertidos a binario.
S exponente Mantisa (24 bits)
0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

Aritmética de punto flotante
La aritmética realizada en la
computadora no es exacta,
ya que involucra el manejo
de dígitos binarios con
operaciones de
desplazamiento o lógicas.
Por tanto, los cálculos que
involucran aproximaciones
en la máquina, pueden
resultar en el crecimiento de
errores de redondeo.

Error de truncamiento
Es el error involucrado al usar sumas
finitas o truncadas para aproximar la
suma de una serie infinita.
En términos del análisis numérico, se
refiere a aquellos errores causados
por el método mismo, ya que un gran
número de métodos requiere
detenerse después de un número
finito de iteraciones, lo que podría
compararse con una serie truncada
𝜋 =
4
1
−
4
3
+
4
5
−
4
7
+
4
9
− ⋯
𝑒 𝑥 ≅
𝑛=0
∞
𝑥 𝑛
𝑛!
𝑙𝑜𝑔2 =
𝑛≥1
∞
(−1) 𝑛+1
1
𝑛

Medidas del error. Errores absoluto y relativo
› La magnitud del error generado por la aplicación de los métodos
numéricos, se puede medir con ayuda del error absoluto o del
error relativo.
• Error absoluto
𝐸 𝑎 = 𝑥 − 𝑥 𝑛
• Error relativo
𝐸𝑟 =
𝑥 − 𝑥 𝑛
𝑥
• Error relativo porcentual
𝐸𝑟% =
𝑥 − 𝑥 𝑛
𝑥
100%
Donde:
𝑥: valor exacto de la solución
𝑥 𝑛: aproximación obtenida en
la iteración n

Ejemplos: Calcular los errores absoluto, relativo y relativo
porcentual de las siguientes aproximaciones
1. Sea d’= 380,000 km la aproximación de
la tierra a la luna, siendo que d= 384,500
km es la distancia “exacta”
𝐸 𝑎 = 384,500 − 380,00 = 4,500𝑘𝑚
𝐸𝑟 =
384,500 − 380,00
384,500
=
4,500𝑘𝑚
385,000𝑘𝑚
= 0.01177
𝐸𝑟% =
4,500𝑘𝑚
385,000𝑘𝑚
100 = 1.17%
2. Sea a’ = 300m la altura aproximada
de la Torre Eiffel y a = 324, la altura
“exacta”
𝐸 𝑎 = 324 − 300 = 24𝑚
𝐸𝑟 =
324 − 300
324
=
24𝑚
324𝑚
= 0.0741
𝐸𝑟% =
24𝑚
324𝑚
(100) = 7.41

Ejercicios: Calcular los errores absoluto, relativo y
procentual
x xn e. abs. e. rel. e. rel.%
0.3 x 101 0.31 x 101
0.3 x 10-3 0.31 x 10-3
0.3 x 104 0.31 x 104
› Se desea mediar la longitud de un puente y de un remache,
obteniéndose 9,999 y 9cm, respectivamente. Si los valores
verdaderos son 10,000cm y 10cm. Calcular el error absoluto y
el error relativo porcentual, en cada caso

Estabilidad
Cuando en un sistema cualquiera existen variaciones
pequeñas en la salida que corresponden a pequeñas
variaciones en la entrada, se dice que dicho sistema es
estable. En caso contrario, se trata de un sistema inestable y
requiere de un análisis adicional para su solución
Datos de
entrada
Método
Algoritmo
Proceso
Datos de
salida
Sistema

Método convergente
Si un método numérico converge, la diferencia en valor absoluto
de las dos últimas aproximaciones es menor que la diferencia, en
valor absoluto, entre la penúltima y antepenúltima aproximación.
Si un método es convergente, la diferencia entre las últimas dos
aproximaciones es mayor o igual que el error absoluto, es decir,
esta diferencia es una cota del error absoluto
Se puede obtener la solución con cualquier exactitud,
determinando adecuadamente el valor de n.

Elección del método
Tipo de
problema
Disponibilidad
de cómputo
Costo de
programación
Características
de los métodos
Condiciones o
puntos
iniciales
Convergencia Estabilidad
Exactitud y
precisión
Requisitos
especiales

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