1) La imagen es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial W, también conocido como el conjunto de llegada. 2) Los vectores que conforman la imagen no necesariamente son combinaciones lineales unos de otros. 3) La imagen se forma por una restricción al espacio vectorial W.

1. Evaluación de IMAGEN<br />La imagen pertenece:<br />Al conjunto de salida<br />Al conjunto de llegada<br />La imagen pertenece al conjunto de llegada<br />La imagen es un:<br />Espacios vectoriales<br />Subespacio vectorial<br />Una matriz<br />La imagen es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial W ósea al conjunto de llegada.<br />¿Los vectores que conforman la imagen son combinación lineal unos de otros?<br />si b) no<br />No necesariamente esto ocurre si y solo si los vectores del conjunto de salida son combinación lineal unos de otros<br />¿La imagen es el conjunto formado por una restricción al espacio vectorial W? <br /> a) Si b) no<br />Si ya que el Teorema dice que La imagen está dada por una restricción al espacio vectorial W<br />¿Pertenece el cero vector a la imagen? a) si b) no<br />No necesariamente ya que la imagen del cualquier conjunto de salida depende de una restricción en la cual puede o no incluirse al cero vector<br />Ejercicios propuestos DE IMAGEN<br />1.- Calcular la imagen de la aplicación lineal f: R4 -> P2(x) definida por<br /> f(a1; a2; a3; a4) = (a2 + a4)x + (a1 − a3)x2.<br />2.- Se considera la aplicación lineal f : M3×2(R) -> P3(R) definida por <br />f(aij) = (a11 + a22) + (a31 + 2a32)x − (a21 + a12)x3.<br />Calcular la imagen de f.<br /> 4.- Dada la aplicacion lineal f: ℜ3 -> M2x2(ℜ) <br /> ( x, y, z )<br />f( x, y, z ) = x-y y <br /> y y-z <br /> <br />Hallar el núcleo e imágen de f <br />5.- Sean A = 0 1 B = 1 0 C = 4 1 D= 5 0 <br /> 3 1 2 0 3 2 2 1<br />S = L{A, B, C} y g:S-> P2(ℜ) tal que g(A) = x, g(B) = x2 + 1, g(C) = x2 + x + 1<br />Calcular bases de img<br />6.- Sea f: R4 -> R3<br /> f (x, y, z, t) = (x – y + z + t, x + 2z – t, x + y + 3z – 3t)<br />Determinar la imagen.<br />7.- Sea f: R2 -> R4<br />f (2, –1) = (1, 0, –1, 3), f (4, 1) = (2, –2, 3, 1).<br />Hallar su Imagen<br />8.- En R3 se considera la base {e1, e2, e3}<br />f (x1e1 + x2e2 + x3e3) = (x2 + x3) e1 + (x1 +x3) e2 + (x2 – x1) e3. <br />Hallar: la Imagen<br />9.- Sea B = {e1, e2, e3} base de V , f (e1) = e1 + e2, f (e2) = e2 + e3, f (e3) = 0. <br />Hallar: la Imagen<br />EVALUCION DE INYECTIVIDAD, SOBREYECTIVIDAD Y BIYECTIVIDAD<br />¿el núcleo describe una función inyectiva? a) si b) no<br />Si ya que según el teorema dice que una transformación lineal es inyectiva si y solo si el núcleo de esta transformación es cero.<br />¿el núcleo describe una función sobreyectiva? a) si b) no<br />No ya que para que sea sobreyectiva debe cumplir que Img (f)=W y dimImg (f)=dimW<br />¿Puede haber función biyectiva si V tiene un único vector que pertenece a todos los vectores de W? a) si b) no<br />No porque la función no seria inyectiva<br />Ejercicios propuestos DE INYECTIVIDAD, SOBREYECTIVIDAD Y BIYECTIVIDAD<br />1.- Sean V y W dos espacios vectoriales ambos con dimensión infinita n.<br />f: V -> W lineal. Demostrar que si f es sobreyectiva, entonces f es biyectiva.<br />4.- Sea la aplicación lineal f de R4 en R3 dada por f (x, y, z, t) = (x + z, y, y). Se pide:<br />Razonar si f es inyectiva, sobreyectiva o si se trata de un isomorfismo<br />5.- Consideremos el espacio<br />V = [f1, f2, f3], donde<br />f1 (t) = sen2 (t), f2 (t) = cos2 (t), f3 (t) = 1, t Є R, y la transformación lineal T: R3->V tal que <br />T(a, b, c) = af1 + bf2 + cf3.<br />Hallar N (T) e Im (T), y probar que T no es inyectiva, pero si sobreyectiva<br />6.- Dado Є R se considera la aplicación lineal f: R3-> R3 dada por<br /> f (x,y, z) = (2x−y, x−y+z, (x+y+z)<br />Hallar razonadamente los valores de 2 R para los que f es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.<br />7.- Justifica que existe una aplicación lineal f : R3->R4, y sólo una, verificando que <br />f(2, 1, 0) = (−1, 2, 1, 3), (0, 0, 1) Є f−1(1, 2,−1, 1) f(1, 1, 0) = (−1, 1, 1, 2).<br />Calcula bases del núcleo y de la imagen de f ¿Es f inyectiva? ¿Y sobreyectiva?<br />8.- Sea f:(R4->R2) definida por f(x; y; z; t) = (x - z; y + t)<br /> Investigar si f es inyectiva y/o sobreyectiva. <br />9.- Sea: f a R 4 ->R 3 <br /> f(x, y, z, t)->(ax+y, x+az, y+t)<br />Calcule los valores de a para los que fa es una aplicación lineal inyectiva<br />10.- sea B= {u1, u2, u3} base de R 3 , donde<br />U1 Є N (f), v2=f (u2)= (0, -1, 1), v3=f (u3)= (1, 1, -1)<br />L es inyectiva, sobre, biyectiva?<br />