Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas.
Seleccione B si 1 y 3 son correctas.
Seleccione C si 2 y 4 son correctas.
Seleccione D si 3 y 4 son correctas.
Una vez la seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
2. Una ecuación lineal de orden n es de la forma:
a_n y^n (x)+a_(n-1) y^(n-1) (x)+〖…+a〗_1 y´(x)+a_0 y(x)=f(x)
Esto es, todos los coeficientes son solamente funciones de x y además, la variable y y todas sus derivadas están a la primera potencia. Por otro lado, si la expresión
a_n D^n+a_(n-1) D^(n-1)+〖…+a〗_1 yD+a_0
Es su respectivo Operador diferencial de orden n, entonces, la ecuación diferencial lineal no homogénea puede escribirse simplemente de la forma
P(D)y=g(x)
Por lo anterior, de la ecuación diferencial 2y’’+5y=sinx se puede afirmar que:
1. Es lineal de segundo orden con coeficientes variables
2. El operador diferencial que anula a g(x) es (D^2+1)(2D^2+5)y=0
3. El operador diferencial que anula a g(x) es (D-1)(D^2+5)y=0
4. Es lineal de segundo orden con coeficientes constantes
Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas.
Seleccione B si 1 y 3 son correctas.
Seleccione C si 2 y 4 son correctas.
Seleccione D si 3 y 4 son correctas.
Una vez la seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma:
a_2 (x) D^2 y(x)+a_1 (x)Dy(x)+a_0 (x)y(x)=g(x)
Se procede sustituir y = x^m, y^'= mx^(m-1), y =m(m-1) x^(m-2) Para, en primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma
yh=c1 y1+c2 y2
Luego, con la ayuda de los wronskianos
w= |y y^2|
|1 y |
w1= |0 y^2|
|f(x) y |
w2= |y 0|
|1 f(x)|
Se procede a encontrar la solución particular.
Con base en lo anterior, las soluciones homogénea y particular de la ecuación x^2 y’’ + xy’ = x son:
yh=c1+c2 lnx
yh=c1 x-c2 lnx
yp=x
yp=-x
En esta presentación ustedes pueden ver los conceptos de las ecuaciones diferenciales y paso a paso la elaboración de las mismas y algunos ejemplos dice mi maridin
Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas.
Seleccione B si 1 y 3 son correctas.
Seleccione C si 2 y 4 son correctas.
Seleccione D si 3 y 4 son correctas.
Una vez la seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
2. Una ecuación lineal de orden n es de la forma:
a_n y^n (x)+a_(n-1) y^(n-1) (x)+〖…+a〗_1 y´(x)+a_0 y(x)=f(x)
Esto es, todos los coeficientes son solamente funciones de x y además, la variable y y todas sus derivadas están a la primera potencia. Por otro lado, si la expresión
a_n D^n+a_(n-1) D^(n-1)+〖…+a〗_1 yD+a_0
Es su respectivo Operador diferencial de orden n, entonces, la ecuación diferencial lineal no homogénea puede escribirse simplemente de la forma
P(D)y=g(x)
Por lo anterior, de la ecuación diferencial 2y’’+5y=sinx se puede afirmar que:
1. Es lineal de segundo orden con coeficientes variables
2. El operador diferencial que anula a g(x) es (D^2+1)(2D^2+5)y=0
3. El operador diferencial que anula a g(x) es (D-1)(D^2+5)y=0
4. Es lineal de segundo orden con coeficientes constantes
Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas.
Seleccione B si 1 y 3 son correctas.
Seleccione C si 2 y 4 son correctas.
Seleccione D si 3 y 4 son correctas.
Una vez la seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma:
a_2 (x) D^2 y(x)+a_1 (x)Dy(x)+a_0 (x)y(x)=g(x)
Se procede sustituir y = x^m, y^'= mx^(m-1), y =m(m-1) x^(m-2) Para, en primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma
yh=c1 y1+c2 y2
Luego, con la ayuda de los wronskianos
w= |y y^2|
|1 y |
w1= |0 y^2|
|f(x) y |
w2= |y 0|
|1 f(x)|
Se procede a encontrar la solución particular.
Con base en lo anterior, las soluciones homogénea y particular de la ecuación x^2 y’’ + xy’ = x son:
yh=c1+c2 lnx
yh=c1 x-c2 lnx
yp=x
yp=-x
En esta presentación ustedes pueden ver los conceptos de las ecuaciones diferenciales y paso a paso la elaboración de las mismas y algunos ejemplos dice mi maridin
Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía, y la biología.
Resolución de ecuación diferencial por la Transformada de LaplaceAnahi Daza
Esta presentación te muestra un ejemplo de como resolver una ecuación diferencial a través de la transformada de Laplace con ayuda de fracciones parciales y antitransformada.
Solución de ecuación diferencial a través del método transformada de LaplaceAnahi Daza
Esta presentación te ayudará a resolver una ecuación diferencial a través de el método de la transformada de Laplace con ayuda de fracciones parciales y la antitransformada.
2. Ecuaciones Diferenciales
Conceptos Básicos:
Es una expresión que involucra a una función desconocida y
sus derivadas por ejemplo:
Y + y´ = 0
Clasificación de las ecuaciones Diferenciales:
Ecuación Diferencial Ordinaria.
Ecuación Diferencial Parcial.
3. Orden de una Ecuación Diferencial
El orden de la derivada máximo que aparece en la ecuación:
• Y´ significa derivada de Y.
• Y¨ significa segunda derivada.
Solución de una ecuación diferencial:
La solución de una ecuación diferencial en una función
desconocida “y” y la variable independiente “x” definida en
un intervalo y es una función y que satisface la ecuación
diferencial para todos los valores de x en el intervalo dado.
Y¨+ 4y = 0
4. Ejemplo
Tenemos la ecuación Y= sen2x + cos2x y queremos comprobar
si la solución de la misma es: Y¨+ 4y = 0
Y= sen2x + cos2x
Y´ = 2cos2x – 2sen2x
Y¨= 2 (-sen2x)(2) – 2 (cos2x)(2)
Y¨= - 4sen2x – 4cos2x
Comprobación y¨+4y = 0
4sen2x – 4cos2x+ 4 (sen2x+cos2x) = 0
-4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x = 0
5. Notablemente podemos ver que si es la solución porque al
hacer la comprobación nos da como resultado 0. A esta
solución se le llama particular.
Pero cuando no tenemos la solución tenemos que obtenerla a
través de el método de solución general:
Y = C1 sen2x + C2 cos2x
6. EJEMPLO 2
Comprobar de la siguiente ecuación:
Y= x2 – 1
Si la es solución es:
(y´)4 + y2 = - 1
Y´= 2x
Comprobación
(2x)4 + ( x2 – 1 )2 = 16x4 + x4 - 2x2 +1
Despejamos y obtenemos el resultado de: 17x4 - 2x2 +1
No es la
solución porque
no es igual a -1
14. Ecuaciones diferenciales
exactas
푥2 + 2푥푦 + 푥 푑푥 + 푦2dy = 0
푀 = 푋2 + 2푥푦 + 푥 푁 = 푦2
∂ 푀
∂ 푁
=2푥
=0
∂ 푦
∂ 푥
5푥 + 4푦 푑푥 + 4푥 − 8푦3 푑푦 = 0
5푥푑푥 + 4푦푑푥 + 4푥푑푦 − 8푦3푑푦 = 0
푥 5푑푥 + 4푑푦 + 4푦 푑푦 − 2푦2푑푦 = 0
No es posible separar las variables, por lo que es
necesario buscar otro método.
Formula :
∂ 푀
∂ 푦
=
∂ 푁
∂ 푥
15. 푀 = 5푥 + 4푦 푁 = 4푥 − 8푦3
∂ 푀
∂ 푁
= 4
=4
∂ 푦
∂ 푥
Si es una ecuación
diferencial exacta por
que :
∂ 푀
∂ 푦
= 4 es igual a
∂ 푁
∂ 푥
=4
16. Ejercicio 1
1.- 푥2 + 푦2 + 푥 푑푥 + (푥푦)푑푦 = 0
No es posible separar las variables por lo que debemos
determinar si es una ecuación diferencial exacta.
푀 = 푥2 + 푦2 + 푥 푁 = 푥푦
∂ 푀
∂ 푁
= 2푦
=푦
∂ 푦
∂ 푥
No es exacta porque no coinciden los resultados
17. A veces es posible encontrar un factor (factor
integrante), el cual al multiplicarse por la ecuación
diferencial la convierte en exacta. Para encontrar
este factor integrante podemos utilizar la siguiente
formula:
휕푀
휕푦
−
휕푁
휕푥
푁
Sustituimos nuestros valores en la formula anterior:
휕푀
휕푦
−
휕푁
휕푥
푁
=
2푦−푦
푥푦
=
푦
푥푦
=
ퟏ
풙
Este resultado lo integraremos
atreves de la sig. fórmula
18. Utilizaremos este resultado para obtener el factor integrante
por medio de la expresión:
휇 푥 = 푒 푔 푥 푑푥
푒
1
푥
푑푥 푒
푑푥
푥 푒푙푛푥 = 푥 Factor integrante
Multiplicaremos la ecuación diferencial original por este factor
integrante, y el resultado de la multiplicación será una
ecuación diferencial exactas.
푥2 + 푦2 + 푥 푑푥 + 푥푦푑푦 = 0 푥
푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥 + 푥2푦푑푦 = 0
푀 = 푥3 + 푥푦2 + 푥2 푁 = 푥2푦
∂ 푀
∂ 푁
=2푥푦
∂ 푦
∂ 푥
= 2푥푦
19. A continuación aplicamos el método de solución de
ecuaciones diferenciales exactas, (el primer
paréntesis se resuelve con respecto a “X”)
Integramos: 푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥
푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥 = 푥3푑푥 + 푦2 푥푑푥 + 푥2푑푥
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 푔 푦
푓 =
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 푔 푦
Solo falta determinar el valor g(y)
20. Para determinar el valor g(y) derivamos
la función f encontrada respecto a “Y”.
휕푓
휕푦
= 2푦
푥2
2
+ 푔´ 푦 ∴
휕푓
휕푦
= 푥2푦 + 푔 푦
Este resultado se iguala con la segunda N
que obtuvimos:
푥2푦 + 푔 푦 = 푥2푦
Simplificando:
푔´ 푦 = 푥2푦- 푥2푦 푔´ 푦 =0
Si 푔´ 푦 =0 entonces 푔 푦 = C1
21. Por lo tanto la función buscada es :
푓 =
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 퐶1
Y la solución se obtiene igualando esta función a una
constante C2:
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 퐶1 = 퐶2
Simplificamos
푥4
4
+
푥2푦2
2
+
푥3
3
+ 퐶
3푥4 + 4푥3 + 6푥2푦2 + 퐶