Determinar el uso de los coeficientes de correlación de Pearson y de Sperman Ventajas y desventajas de cada uno de ellos. Aplicar usos de enfoques Pearson y enfoque Sperman a problemas estadísticos.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Sección: YV (SAIA)
Asignatura: Estadística I
Semestre: 2015-I
Profesor: Pedro Beltrán Alumna: TSU Bermúdez Aida
C.I.: 20.278.843
Barcelona, Julio de 2015

2. En estadística, el coeficiente de correlación de
Spearman, ρ (rho) es una medida de la correlación
(la asociación o interdependencia) entre dos
variables aleatorias continuas. Para calcular ρ, los
datos son ordenados y reemplazados por su
respectivo orden.
El estadístico ρ viene dado por la expresión:
donde D es la diferencia entre los correspondientes
estadísticos de orden de x - y. N es el número de
parejas.
Se tiene que considerar la existencia de datos
idénticos a la hora de ordenarlos, aunque si éstos
son pocos, se puede ignorar tal circunstancia
Para muestras mayores de 20 observaciones,
podemos utilizar la siguiente aproximación a la
distribución t de Student
La interpretación de coeficiente de
Spearman es igual que la del
coeficiente de correlación de Pearson.
Oscila entre -1 y +1, indicándonos
asociaciones negativas o positivas
respectivamente, 0 cero, significa no
correlación pero no independencia. La
tau de Kendall es un coeficiente de
correlación por rangos, inversiones
entre dos ordenaciones de una
distribución normal bivariante.

3. La aproximación moderna al problema de averiguar si
un valor observado de ρ es significativamente diferente
de cero (siempre tendremos -1 ≤ ρ ≤ 1) es calcular la
probabilidad de que sea mayor o igual que el ρ
esperado, dada la hipótesis nula, utilizando un test de
permutación. Esta aproximación es casi siempre
superior a los métodos tradicionales, a no ser que el
conjunto de datos sea tan grande que la potencia
informática no sea suficiente para generar
permutaciones (poco probable con la informática
moderna), o a no ser que sea difícil crear un algoritmo
para crear permutaciones que sean lógicas bajo la
hipótesis nula en el caso particular de que se trate
(aunque normalmente estos algoritmos no ofrecen
dificultad).
Una generalización del coeficiente de Spearman es útil en la
situación en la cual hay tres o más condiciones, varios
individuos son observados en cada una de ellas, y
predecimos que las observaciones tendrán un orden en
particular. Por ejemplo, un conjunto de individuos pueden
tener tres oportunidades para intentar cierta tarea, y
predecimos que su habilidad mejorará de intento en intento.
Un test de la significación de la tendencia entre las
condiciones en esta situación fue desarrollado por E. B. Page
y normalmente suele conocerse como Page's trend test para
alternativas ordenadas.

4. • El coeficiente rs es un caso particular de rxy, puesto que se
calcula a partir de éste, por aplicación del coeficiente de
Pearson a valores ordinales considerados como puntuaciones.
• El coeficiente de correlación de Spearman es exactamente el
mismo que el coeficiente de correlación de Pearson, calculado
sobre el rango de observaciones.
• El coeficiente de correlación de Spearman se encuentra
siempre comprendido entre los valores -1 y 1. Es decir, -
1 < rs < 1. Cuando todos los sujetos se sitúan en el
mismo puesto para la variable X y para la variable Y, el
valor de rs es 1. Si ocupan valores opuestos, es decir, al
primer sujeto en X le corresponde el último lugar en Y, al
segundo en X le corresponde el penúltimo en Y, etc.,
entonces el valor de rs es -1.
• La correlación estimada entre X e Y se halla calculando
el coeficiente de correlación de Pearson para el conjunto
de rangos apareados. La correlación de Spearman puede
ser calculada con la fórmula de Pearson, si antes hemos
transformado las puntuaciones en rangos.

5. • Para aplicar el coeficiente de correlación de Spearman se requiere que las variables estén medidas al
menos en escala ordinal, es decir, de forma que las puntuaciones que las representan puedan ser
colocadas en dos series ordenadas.
• Al ser Spearman una técnica no paramétrica es libre de distribución probabilística (2, 5, 9). –
• Los supuestos son menos estrictos.
• Es robusto a la presencia de outliers (es decir permite ciertos desvíos del patrón normal).
• La manifestación de una relación causa-efecto es posible sólo a través de la comprensión de la
relación natural que existe entre las variable y no debe manifestarse sólo por la existencia de una
fuerte correlación (1, 5)
• Para aplicar el coeficiente de correlación de Spearman se requiere que las variables estén medidas al
menos en escala ordinal, es decir, de forma que las puntuaciones que las representan puedan ser
colocadas en dos series ordenadas.

6. En estadística, el coeficiente de correlación de Pearson es una medida de la
relación lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la
covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala de
medida de las variables.
De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de
Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación
de dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas.
En el caso de que se esté estudiando dos variables aleatorias x e y sobre una
población; el coeficiente de correlación de Pearson se simboliza con la letra ,
siendo la expresión que nos permite calcularlo:
Donde:
es la covarianza de
es la desviación típica de la variable
es la desviación típica de la variable
De manera análoga podemos calcular este coeficiente sobre un estadístico muestral,
denotado como a:

7. Ejemplos de diagramas de dispersión con
diferentes valores del coeficiente de correlación
(ρ)

8. El fundamento del coeficiente de Pearson es el siguiente: Cuanto
más intensa sea la concordancia (en sentido directo o inverso) de
las posiciones relativas de los datos en las dos variables, el
producto del numerador toma mayor valor (en sentido absoluto).
Si la concordancia es exacta, el numerador es igual a N (o a -N),
y el índice toma un valor igual a 1 (o -1).
Ejemplo 1 (Máxima covariación positiva)
Observa que los datos tipificados (expresados como
puntuaciones z) en las dos columnas de la derecha tienen los
mismos valores en ambas variables, dado que las posiciones
relativas son las mismas en las variables X e Y.
Si obtenemos los productos de los valores tipificados para
cada caso, el resultado es:
El cociente de dividir la suma de productos (5) por N (hay
que tener en cuenta que N es el número de casos, NO el
número de datos) es igual a 1:

9. • Identifica el dependiente variable que se probará entre dos observaciones derivadas
independientemente. Uno de los requisitos es que las dos variables que se comparan deben observarse
o medirse de manera independiente para eliminar cualquier resultado sesgado.
• Reporta un valor de correlación cercano a 0 como un indicador de que no hay relación linear entre las
dos variables.
• Reporta un valor de correlación cercano al 1 como indicador de que existe una relación linear positiva
entre las dos variables.
• Un valor mayor a cero que se acerque a 1 da como resultado una mayor correlación positiva entre la
información.
• Reporta un valor de correlación cercano a -1 como indicador de que hay una relación linear negativa
entre las dos variables.
• Interpreta el coeficiente de correlación de acuerdo con el contexto de los datos particulares. El valor de
correlación es esencialmente un valor arbitrario que debe aplicarse de acuerdo con las variables que se
comparan.
• Determina la importancia de los resultados. Esto se logra con el uso del coeficiente de
correlación, grados de libertad y una tabla de valores críticos del coeficiente de
correlación. Los grados de libertad se calculan como el número de las dos
observaciones menos 2.

10. • El coeficiente de correlación debe ser seleccionado en base a las escalas de medidas usadas en cada
una de las variables.
• La determinación del tamaño de muestra en las de tablas de contingencias varia según sea el
objetivo:
• a) Determinar probabilidades de incidencias.
b) Docimar independencias entres dos variables.
c) Analizar la asociación entre las variables.
• 3. El tamaño de muestra para construir intervalo de confianza para el coeficiente de correlación
poblacional de Pearson es función de la longitud del intervalo, de la probabilidad de confianza y del
coeficiente de correlación muestral. Por esta razón se sugiere un procedimiento secuencial para este
propósito.
• El tamaño de muestra para docimar la significación del coeficiente de correlación poblacional de
Pearson es función de las probabilidades de cometer errores del tipo I y del tipo II y del valor del
coeficiente de correlación muestral. Por esta razón se sugiere un procedimiento secuencial para esta
dócima.
• Para cantidades grandes de información, el calculo puede ser tedioso.

11. Aplicación de la prueba estadística
Las observaciones de cada variable se deben ordenar en rangos, así como obtener las
diferencias entre los rangos, efectuar la sumatoria y elevar ésta al cuadrado. Educación de
algunas madres y calificación de desarrollo mental de los hijos.
Calculo de los grados de libertad (gl). gl = numero de parejas - 1 = 8 - 1 = 7
El valor rs calculado se compara con los valores críticos de rs del coeficiente de correlación
por rangos de Spearman. El valor crítico de rs con 7 grados de libertad, para una probabilidad
de 0.05 del nivel de significancia es 0.714, o sea, mayor que el calculado.
Por lo tanto, éste tiene una probabilidad mayor que 0.05. Decisión Como el valor de
probabilidad de rs de 0.69 es mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.
Interpretación El coeficiente de correlación de Spearman de 0.69 es menor que los valores
críticos de la tabla, pues a éstos corresponde la probabilidad de obtener esa magnitud, al nivel
de confianza de 0.05 y 0.01, para 0.714 y 0.893. Esto significa que para aceptar Ha, se
requiere tener un valor igual o más lato que 0.714. Por lo tanto se acepta Ho y se rechaza Ha,
aun cuando, como se observa en la siguiente figura, existe una asociación relativa entre la
educación formal de la madre y el desarrollo mental de sus hijos; sin embargo, ésta no es
significativa.

12. CI
Horas de TV a
la semana
106 7
86 0
100 28
100 50
99 28
103 28
97 20
113 12
113 7
110 17
Los datos brutos usados en este ejemplo se
ven debajo.
El primer paso es ordenar los datos de la primera
columna. Se agregan dos columnas 'orden(i)' y
'orden(t)‘
Para el orden i, se corresponderán con el numero de
fila del cuadro, para 99, orden(i) =3 ya que ocupa el
3.er lugar, ordenado de menor a mayor
para el orden t, se debe hacer lo mismo pero
ordenando por 'Horas de TV a la semana', para no
hacer otro cuadro, la secuencia ordenada quedaría
T = { 0, 7, 7, 12, 17, 20, 28, 28, 28, 50 }
para este caso, el orden sería para cada elemento,
respectivamente:
orden(t) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
sin embargo, el valor de orden esta dado por el valor
promedio de sus posiciones, así para:
7 aparece 2 veces, sumando sus posiciones = ( 2 + 3 )
/ 2 = 2.5
28 aparece 3 veces, sumando sus posiciones = ( 7 + 8
+ 9 ) / 3 = 8
50 aparece 1 vez, sumando sus posiciones = 10 / 1 =
10

13. CI (i)
Horas de TV
a la semana
(t)
orden(i) orden(t) d d2
86 0 1 1 0 0
97 20 2 6 4 16
99 28 3 8 5 25
100 50 4.5 10 5.5 30.25
100 28 4.5 8 3.5 12.25
103 28 6 8 2 4
106 7 7 2.5 4.5 20.25
110 17 8 5 3 9
113 7 9.5 2.5 7 49
113 12 9.5 4 5.5 30.25
Después, se crean dos columnas más, una columna "d" que muestra las
diferencias entre las dos columnas de orden y, otra columna "d2". Esta última es
sólo la columna "d" al cuadrado.
Después de realizar todo esto con los datos del ejemplo, se debería acabar con
algo como lo siguiente:

14. Nótese como el número de orden de los valores que son idénticos es la media
de los números de orden que les corresponderían si no lo fueran.
Los valores de la columna d2 pueden ser sumados para averiguar
El valor de n es 10. Así que esos valores pueden ser sustituidos en la fórmula.
De lo que resulta .

15.  https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_correlaci%C3%B3n_de_Spearman
 http://www.statisticssolutions.com/correlation-pearson-kendall-spearman/
 http://datalab.morningstar.com/knowledgebase/aspx/Article.aspx?ID=550
 https://epilab.ich.ucl.ac.uk/coursematerial/statistics/non_parametric/spearman.html
 https://es.wikipedia.org/wiki/Charles_Spearman