Este documento trata sobre probabilidades y experiencias aleatorias. Explica conceptos como espacio muestral, sucesos elementales y compuestos, operaciones con sucesos como unión e intersección, y reglas para calcular probabilidades como la regla de Laplace. También introduce nociones de probabilidad condicionada y sucesos dependientes e independientes. En resumen, provee los fundamentos teóricos básicos para comprender y trabajar con conceptos de probabilidad.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad. Explica que un experimento aleatorio tiene un espacio muestral que representa todos los resultados posibles y que un evento es un subconjunto particular de dicho espacio muestral. También describe relaciones entre eventos como la unión, intersección y complemento, y métodos para asignar probabilidades como el axiomático, clásico y frecuencial.
Una introducción a la probabilidad discreta a través de la paradoja del cumpleaños. Se muestran los conceptos básicos de la probabilidad y se muestran ejemplos y ejercicios para realizar en clase a la par que la muestra de las diapositiva. Para un curso de 2º de Bachillerato el tiempo que se debe tardar en presentar estos conceptos debe ser entre 1 hora y hora y media.
Teorema de bayes, probabilidad total & probabilidad condicional Cynthiia Ot
Este documento explica los conceptos de probabilidad total, probabilidad condicional y el teorema de Bayes. La probabilidad total permite calcular la probabilidad de un evento a partir de probabilidades condicionales. La probabilidad condicional es la probabilidad de un evento dado otro evento. El teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de un evento dado evidencia de otro evento. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
El documento explica el Teorema del Binomio, el cual expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. Se describen las características del desarrollo del binomio (a+b)n, incluyendo que el número de términos es n+1 y que los exponentes de a y b suman n en cada término. También se explica cómo calcular el r-ésimo término y cómo el teorema se puede expresar a través de combinaciones. Finalmente, se indica que la fórmula también es aplicable
Este documento introduce el concepto de probabilidad condicional y cómo se calcula. Explica que la probabilidad condicional (P(A|B)) es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que ya ocurrió el evento B. Proporciona un ejemplo y la fórmula de Bayes para calcular probabilidades condicionales. Finalmente, presenta algunos ejercicios para practicar el cálculo de probabilidades condicionales.
La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Existen propiedades como la suma de probabilidades de un suceso y su contrario es 1, y la probabilidad de un suceso imposible es 0. La probabilidad de la unión de sucesos se calcula usando las leyes de probabilidad. Un ejemplo común es la distribución binomial que modela el número de éxitos en ensayos de Bernoulli independientes.
Este documento introduce conceptos básicos de la teoría de probabilidad e inferencia estadística. Explica que la probabilidad es una medida cuantitativa del grado de certeza o incertidumbre de un evento. Define términos como experimento, resultado, evento y espacio muestral. También describe reglas para calcular probabilidades como la regla de adición y complemento. Finalmente, presenta axiomas fundamentales de la probabilidad.
El teorema de Bayes permite calcular probabilidades a posteriori (después de observar un evento) utilizando probabilidades a priori (iniciales) y probabilidades condicionales. La fórmula de Bayes actualiza las probabilidades iniciales a la luz de nueva información.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad. Explica que un experimento aleatorio tiene un espacio muestral que representa todos los resultados posibles y que un evento es un subconjunto particular de dicho espacio muestral. También describe relaciones entre eventos como la unión, intersección y complemento, y métodos para asignar probabilidades como el axiomático, clásico y frecuencial.
Una introducción a la probabilidad discreta a través de la paradoja del cumpleaños. Se muestran los conceptos básicos de la probabilidad y se muestran ejemplos y ejercicios para realizar en clase a la par que la muestra de las diapositiva. Para un curso de 2º de Bachillerato el tiempo que se debe tardar en presentar estos conceptos debe ser entre 1 hora y hora y media.
Teorema de bayes, probabilidad total & probabilidad condicional Cynthiia Ot
Este documento explica los conceptos de probabilidad total, probabilidad condicional y el teorema de Bayes. La probabilidad total permite calcular la probabilidad de un evento a partir de probabilidades condicionales. La probabilidad condicional es la probabilidad de un evento dado otro evento. El teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de un evento dado evidencia de otro evento. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
El documento explica el Teorema del Binomio, el cual expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. Se describen las características del desarrollo del binomio (a+b)n, incluyendo que el número de términos es n+1 y que los exponentes de a y b suman n en cada término. También se explica cómo calcular el r-ésimo término y cómo el teorema se puede expresar a través de combinaciones. Finalmente, se indica que la fórmula también es aplicable
Este documento introduce el concepto de probabilidad condicional y cómo se calcula. Explica que la probabilidad condicional (P(A|B)) es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que ya ocurrió el evento B. Proporciona un ejemplo y la fórmula de Bayes para calcular probabilidades condicionales. Finalmente, presenta algunos ejercicios para practicar el cálculo de probabilidades condicionales.
La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Existen propiedades como la suma de probabilidades de un suceso y su contrario es 1, y la probabilidad de un suceso imposible es 0. La probabilidad de la unión de sucesos se calcula usando las leyes de probabilidad. Un ejemplo común es la distribución binomial que modela el número de éxitos en ensayos de Bernoulli independientes.
Este documento introduce conceptos básicos de la teoría de probabilidad e inferencia estadística. Explica que la probabilidad es una medida cuantitativa del grado de certeza o incertidumbre de un evento. Define términos como experimento, resultado, evento y espacio muestral. También describe reglas para calcular probabilidades como la regla de adición y complemento. Finalmente, presenta axiomas fundamentales de la probabilidad.
El teorema de Bayes permite calcular probabilidades a posteriori (después de observar un evento) utilizando probabilidades a priori (iniciales) y probabilidades condicionales. La fórmula de Bayes actualiza las probabilidades iniciales a la luz de nueva información.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas sobre probabilidad. Incluye cálculos de probabilidades para eventos como sacar una bola de determinado color de una caja, obtener números pares o impares al seleccionar números al azar, y más. También incluye la solución propuesta para cada problema planteado.
El documento presenta un resumen de las funciones trigonométricas y coordenadas polares para el curso de Cálculo I. Incluye ejercicios resueltos sobre funciones seno y coseno con gráficas, composición de funciones, y conversiones entre coordenadas cartesianas y polares. El profesor asigna tareas como graficar funciones usando software y resolver problemas sobre temas como áreas, volúmenes y precios con descuentos aplicando conceptos de funciones.
Este documento explica diferentes métodos de conteo como combinaciones, permutaciones y principios multiplicativos y aditivos. Incluye ejemplos de cómo aplicar estos métodos para calcular el número de posibilidades en diferentes experimentos que involucran la selección y ordenamiento de elementos. También define conceptos como pruebas ordenadas y diagramas de árbol, y provee ejemplos para ilustrarlos.
La distribución binomial se utiliza para modelar experimentos con dos posibles resultados, como lanzar una moneda o sacar un número en un dado. Se caracteriza por tener un número fijo de pruebas independientes, cada una con la misma probabilidad de éxito. La función binomial permite calcular la probabilidad de obtener un número específico de éxitos tras realizar múltiples pruebas de Bernoulli.
La distribución hipergeométrica describe la probabilidad de obtener un número de éxitos al extraer elementos sin reemplazo de una población finita con un número fijo de éxitos. Calcula la probabilidad de obtener x éxitos al extraer n elementos de una población de N elementos con K casos de éxito posibles. Se define mediante una fórmula que utiliza los parámetros N, K, n y x. Se diferencia de la distribución binomial en que en esta última sí se reemplazan los elementos extraídos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos con características comunes. Explica que un conjunto está bien definido si es posible conocer todos sus elementos. Luego, describe los elementos de un conjunto, modos de representación de conjuntos, tipos de conjuntos según el número de elementos, operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia, y representación de conjuntos en un computador.
El documento explica el concepto de valor absoluto. Define el valor absoluto de un número real x como la distancia de x u -x al origen. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo calcular el valor absoluto y resolver ecuaciones de valor absoluto. También enumera propiedades clave del valor absoluto como que siempre es no negativo y que el valor absoluto de -a es igual al de a.
Este documento presenta conceptos básicos sobre relaciones matemáticas. Define pares ordenados, productos cartesianos y tipos de relaciones como reflexivas, simétricas y transitivas. Explica cómo representar relaciones mediante diagramas de árboles, tablas y gráficas. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar estos conceptos clave sobre relaciones.
Este documento presenta un esquema sobre probabilidad que incluye: 1) conceptos como experimento aleatorio, suceso y espacio muestral, 2) definiciones de probabilidad desde enfoques clásico y frecuencial, 3) probabilidad condicional, y 4) teoremas de la suma y del producto. Finalmente, propone dos ejercicios para aplicar estos conceptos al cálculo de probabilidades condicionales e independencia de sucesos.
Presentación sobre el cálculo de probabilidades.
Operaciones con sucesos,regla de Laplace,probabilidad condicionada,probabilidad total,teorema de Bayes.
Con algunos ejercicios.
Este documento presenta los conceptos de probabilidad condicional, regla de la multiplicación y eventos dependientes e independientes. Explica que la probabilidad condicional calcula la probabilidad de ocurrencia de un evento D2 dado que ocurrió un evento D1. La regla de la multiplicación establece que para eventos independientes la probabilidad conjunta es el producto de las probabilidades individuales, mientras que para eventos dependientes usa la probabilidad condicional. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar estas nociones.
El documento describe conceptos matemáticos relacionados con pares ordenados y el producto cartesiano. Explica que un par ordenado consiste en dos elementos denotados por (a, b) y se define formalmente como (a, b) = {{a}, {a, b}}. Luego, introduce el concepto de producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado por A × B, y provee ejemplos y propiedades de este concepto. Finalmente, presenta algunos ejercicios sobre estos temas.
Este documento presenta los fundamentos básicos de la probabilidad. Explica que la probabilidad estudia los fenómenos aleatorios y provee tres reglas para calcular la probabilidad de un evento: 1) aproximación de frecuencias relativas, 2) método clásico basado en resultados igualmente probables, y 3) probabilidades subjetivas basadas en el conocimiento experto. También introduce conceptos clave como suceso, espacio muestral, y la ley de los grandes números.
1) Se presentan varios problemas de optimización que involucran hallar las dimensiones de figuras geométricas que maximicen el área, volumen u otro objetivo.
2) Los problemas se resuelven encontrando una expresión para la función objetivo en términos de las variables, derivando la función y hallando sus ceros para determinar los puntos críticos, y evaluando la segunda derivada para identificar máximos.
3) La mayoría de problemas concluyen que la figura óptima es un cuadrado u otro polígono regular.
El documento habla sobre la raíz imaginaria de la unidad negativa, la cual Leibniz describió como "una sublime expresión de lo divino" y "un anfibio entre el ser y el no ser".
Este documento introduce los conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios y cómo medir la probabilidad de que ocurran eventos específicos. Define términos clave como espacio muestral, eventos, eventos elementales y operaciones entre eventos. También discute cómo la probabilidad frecuencial se basa en la regularidad estadística y cómo las frecuencias relativas tienden a estabilizarse a medida que aumenta el número de observaciones.
Este documento presenta 5 ejemplos resueltos sobre el uso de diagramas de árbol para calcular probabilidades. En el primer ejemplo, se calcula la probabilidad de que 3 personas (Juan, Pedro, María) se queden con una moneda luego de 2 lanzamientos. En el segundo ejemplo, se calcula la probabilidad de que maten a un perro boxer si una mujer adopta un perro. Los ejemplos 3, 4 y 5 presentan diferentes casos sobre clasificaciones y probabilidades que pueden resolverse usando diagramas de árbol.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica como el módulo de un vector, ecuaciones de rectas, y producto escalar. Explica cómo calcular las coordenadas y módulo de vectores, y cómo obtener las ecuaciones vectorial, paramétrica, continua y general de una recta. También cubre el cálculo del producto escalar para determinar si vectores son perpendiculares.
Este documento presenta varios conceptos y ejemplos relacionados con el conteo y la probabilidad. Introduce principios como la suma, la multiplicación y las permutaciones para resolver problemas que involucran contar las posibles formas de organizar u ordenar objetos. También explica conceptos como las combinaciones y la probabilidad condicional para determinar el número de subconjuntos posibles o la probabilidad de que ocurran ciertos eventos.
Este documento discute a teoria geral das probabilidades, incluindo uma definição, como é calculada usando a fórmula P(A)= casos favoráveis/casos possíveis, e a história do desenvolvimento da teoria através de figuras importantes como Pascal, Fermat e Laplace.
El documento explica los conceptos básicos de probabilidad y dos métodos para calcularla: la regla de Laplace, que se aplica cuando el número de resultados posibles es finito y todos tienen la misma probabilidad, y el modelo frecuentista, que se basa en repetir el experimento muchas veces para estimar las probabilidades empíricamente.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas sobre probabilidad. Incluye cálculos de probabilidades para eventos como sacar una bola de determinado color de una caja, obtener números pares o impares al seleccionar números al azar, y más. También incluye la solución propuesta para cada problema planteado.
El documento presenta un resumen de las funciones trigonométricas y coordenadas polares para el curso de Cálculo I. Incluye ejercicios resueltos sobre funciones seno y coseno con gráficas, composición de funciones, y conversiones entre coordenadas cartesianas y polares. El profesor asigna tareas como graficar funciones usando software y resolver problemas sobre temas como áreas, volúmenes y precios con descuentos aplicando conceptos de funciones.
Este documento explica diferentes métodos de conteo como combinaciones, permutaciones y principios multiplicativos y aditivos. Incluye ejemplos de cómo aplicar estos métodos para calcular el número de posibilidades en diferentes experimentos que involucran la selección y ordenamiento de elementos. También define conceptos como pruebas ordenadas y diagramas de árbol, y provee ejemplos para ilustrarlos.
La distribución binomial se utiliza para modelar experimentos con dos posibles resultados, como lanzar una moneda o sacar un número en un dado. Se caracteriza por tener un número fijo de pruebas independientes, cada una con la misma probabilidad de éxito. La función binomial permite calcular la probabilidad de obtener un número específico de éxitos tras realizar múltiples pruebas de Bernoulli.
La distribución hipergeométrica describe la probabilidad de obtener un número de éxitos al extraer elementos sin reemplazo de una población finita con un número fijo de éxitos. Calcula la probabilidad de obtener x éxitos al extraer n elementos de una población de N elementos con K casos de éxito posibles. Se define mediante una fórmula que utiliza los parámetros N, K, n y x. Se diferencia de la distribución binomial en que en esta última sí se reemplazan los elementos extraídos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos con características comunes. Explica que un conjunto está bien definido si es posible conocer todos sus elementos. Luego, describe los elementos de un conjunto, modos de representación de conjuntos, tipos de conjuntos según el número de elementos, operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia, y representación de conjuntos en un computador.
El documento explica el concepto de valor absoluto. Define el valor absoluto de un número real x como la distancia de x u -x al origen. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo calcular el valor absoluto y resolver ecuaciones de valor absoluto. También enumera propiedades clave del valor absoluto como que siempre es no negativo y que el valor absoluto de -a es igual al de a.
Este documento presenta conceptos básicos sobre relaciones matemáticas. Define pares ordenados, productos cartesianos y tipos de relaciones como reflexivas, simétricas y transitivas. Explica cómo representar relaciones mediante diagramas de árboles, tablas y gráficas. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar estos conceptos clave sobre relaciones.
Este documento presenta un esquema sobre probabilidad que incluye: 1) conceptos como experimento aleatorio, suceso y espacio muestral, 2) definiciones de probabilidad desde enfoques clásico y frecuencial, 3) probabilidad condicional, y 4) teoremas de la suma y del producto. Finalmente, propone dos ejercicios para aplicar estos conceptos al cálculo de probabilidades condicionales e independencia de sucesos.
Presentación sobre el cálculo de probabilidades.
Operaciones con sucesos,regla de Laplace,probabilidad condicionada,probabilidad total,teorema de Bayes.
Con algunos ejercicios.
Este documento presenta los conceptos de probabilidad condicional, regla de la multiplicación y eventos dependientes e independientes. Explica que la probabilidad condicional calcula la probabilidad de ocurrencia de un evento D2 dado que ocurrió un evento D1. La regla de la multiplicación establece que para eventos independientes la probabilidad conjunta es el producto de las probabilidades individuales, mientras que para eventos dependientes usa la probabilidad condicional. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar estas nociones.
El documento describe conceptos matemáticos relacionados con pares ordenados y el producto cartesiano. Explica que un par ordenado consiste en dos elementos denotados por (a, b) y se define formalmente como (a, b) = {{a}, {a, b}}. Luego, introduce el concepto de producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado por A × B, y provee ejemplos y propiedades de este concepto. Finalmente, presenta algunos ejercicios sobre estos temas.
Este documento presenta los fundamentos básicos de la probabilidad. Explica que la probabilidad estudia los fenómenos aleatorios y provee tres reglas para calcular la probabilidad de un evento: 1) aproximación de frecuencias relativas, 2) método clásico basado en resultados igualmente probables, y 3) probabilidades subjetivas basadas en el conocimiento experto. También introduce conceptos clave como suceso, espacio muestral, y la ley de los grandes números.
1) Se presentan varios problemas de optimización que involucran hallar las dimensiones de figuras geométricas que maximicen el área, volumen u otro objetivo.
2) Los problemas se resuelven encontrando una expresión para la función objetivo en términos de las variables, derivando la función y hallando sus ceros para determinar los puntos críticos, y evaluando la segunda derivada para identificar máximos.
3) La mayoría de problemas concluyen que la figura óptima es un cuadrado u otro polígono regular.
El documento habla sobre la raíz imaginaria de la unidad negativa, la cual Leibniz describió como "una sublime expresión de lo divino" y "un anfibio entre el ser y el no ser".
Este documento introduce los conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios y cómo medir la probabilidad de que ocurran eventos específicos. Define términos clave como espacio muestral, eventos, eventos elementales y operaciones entre eventos. También discute cómo la probabilidad frecuencial se basa en la regularidad estadística y cómo las frecuencias relativas tienden a estabilizarse a medida que aumenta el número de observaciones.
Este documento presenta 5 ejemplos resueltos sobre el uso de diagramas de árbol para calcular probabilidades. En el primer ejemplo, se calcula la probabilidad de que 3 personas (Juan, Pedro, María) se queden con una moneda luego de 2 lanzamientos. En el segundo ejemplo, se calcula la probabilidad de que maten a un perro boxer si una mujer adopta un perro. Los ejemplos 3, 4 y 5 presentan diferentes casos sobre clasificaciones y probabilidades que pueden resolverse usando diagramas de árbol.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica como el módulo de un vector, ecuaciones de rectas, y producto escalar. Explica cómo calcular las coordenadas y módulo de vectores, y cómo obtener las ecuaciones vectorial, paramétrica, continua y general de una recta. También cubre el cálculo del producto escalar para determinar si vectores son perpendiculares.
Este documento presenta varios conceptos y ejemplos relacionados con el conteo y la probabilidad. Introduce principios como la suma, la multiplicación y las permutaciones para resolver problemas que involucran contar las posibles formas de organizar u ordenar objetos. También explica conceptos como las combinaciones y la probabilidad condicional para determinar el número de subconjuntos posibles o la probabilidad de que ocurran ciertos eventos.
Este documento discute a teoria geral das probabilidades, incluindo uma definição, como é calculada usando a fórmula P(A)= casos favoráveis/casos possíveis, e a história do desenvolvimento da teoria através de figuras importantes como Pascal, Fermat e Laplace.
El documento explica los conceptos básicos de probabilidad y dos métodos para calcularla: la regla de Laplace, que se aplica cuando el número de resultados posibles es finito y todos tienen la misma probabilidad, y el modelo frecuentista, que se basa en repetir el experimento muchas veces para estimar las probabilidades empíricamente.
Este documento introduce los conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos llamados elementos, y que la pertenencia y no pertenencia de elementos a conjuntos son relaciones fundamentales. También define operaciones entre conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento.
El documento habla sobre conceptos básicos de probabilidad. Define probabilidad como un valor entre 0 y 1 que describe la posibilidad de que ocurra un evento. Explica que un experimento tiene dos o más resultados posibles y que un evento es un conjunto de uno o más resultados de un experimento. Finalmente, describe dos puntos de vista para calcular probabilidades: la probabilidad clásica basada en el número de resultados posibles y la probabilidad empírica basada en frecuencias observadas.
Este documento habla sobre la probabilidad de que Martina acierte el color en una ruleta de colores en una kermés. Explica que es posible pero no seguro que acierte el color blanco ya que depende de dónde caiga la bolita. También indica que si las cuatro partes de la ruleta fueran rojas, Martina acertaría con seguridad el color rojo. Finalmente, define los términos de probabilidad como seguro, posible e imposible para referirse a la posibilidad de ocurrencia de un evento.
El documento presenta conceptos básicos de estadística y probabilidad como frecuencia, diagramas de barras y sectores, media, moda y mediana. También explica probabilidad con ejemplos como lanzar un dado y sacar una carta de una baraja. Finalmente, propone ejercicios prácticos sobre estos temas.
Solucionario Manuel Cordova Zamora. Ejercicios de Probabilidad.Vitto Alcantara
Solucionario de Manuel Cordova Zamora, del libro Estadistica Descriptiva e Inferencial. Solo del Capitulo 5 Probabilidad tercera parte de los ejercicios.
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La probabilidad se originó a partir de los juegos de azar, los cuales han existido desde la antigüedad. En el siglo XVII, la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat sobre un problema de apuestas llevó al nacimiento de la teoría formal de la probabilidad. Desde entonces, matemáticos como Christian Huygens y Andrei Kolmogorov han contribuido al desarrollo de la probabilidad como un campo matemático riguroso.
Este documento presenta los conceptos básicos de probabilidad, incluyendo el origen de la probabilidad, los enfoques clásico, de frecuencia relativa y subjetivo. Explica conceptos como espacio muestral, eventos, eventos elementales, seguros e imposibles. También cubre reglas como la adición y multiplicación para eventos dependientes e independientes.
Cinco ejemplos de aplicación de las distribuciones de probabilidad.leonardo19940511
Este documento presenta ejemplos de las principales distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Incluye 5 ejemplos para cada distribución ilustrando cómo calcular la probabilidad de diferentes eventos. Por ejemplo, calcula la probabilidad de obtener determinados resultados al lanzar una moneda o sacar boletos de una urna usando la distribución de Bernoulli o binomial.
Ejercicios resueltos de cálculo de probabilidadesMaría BF
El documento presenta 7 ejercicios de probabilidad y estadística. En el primer ejercicio, se pide describir el espacio muestral de 4 experimentos aleatorios como lanzar monedas y dados, sacar bolas de una urna, y el tiempo de lluvia en 3 días. Los ejercicios 2 al 7 calculan probabilidades de diferentes sucesos como sacar números primos o cuadrados de una urna, sacar cartas de una baraja, resultados de lanzar dados, y más.
Este documento explica conceptos básicos de probabilidad como eventos, resultados, experimentos aleatorios, reglas de adición y multiplicación, y probabilidad condicional. Define probabilidad como una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Explica cómo calcular probabilidades clásicas, empíricas y subjetivas. Incluye ejemplos para ilustrar conceptos como eventos independientes y mutuamente excluyentes.
Este documento trata sobre la probabilidad y ofrece varios ejemplos de su aplicación en la vida cotidiana. La probabilidad estima la frecuencia con la que ocurre un resultado particular dentro de un conjunto de posibilidades. Se usa para predecir eventos futuros e informar decisiones mediante el cálculo matemático de las posibilidades. La probabilidad se expresa como un porcentaje y se aplica en áreas como las ciencias, las finanzas y la toma de decisiones médicas o de seguros basadas en estadísticas pasadas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad, incluyendo fenómenos determinísticos y aleatorios, experimentos aleatorios, sucesos elementales, espacio muestral, sucesos, sucesos seguros, imposibles y complementarios. También cubre operaciones con sucesos como unión, intersección y diferencia. Explica los principios de la adición y la multiplicación para calcular probabilidades. Por último, incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento introduce los conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios y cómo medir la probabilidad de que ocurran eventos específicos. También define conceptos clave como espacio muestral, eventos elementales y compuestos, y operaciones entre eventos como unión, intersección y diferencia. El objetivo es entender claramente el contexto de la probabilidad y cómo utilizarla para hacer inferencias.
El documento presenta conceptos básicos de probabilidad, incluyendo experimentos determinísticos y aleatorios, espacio muestral, sucesos, reglas de probabilidad como adición y multiplicación, e independencia. Se definen probabilidades a través de interpretaciones frecuentista y clásica, y se presentan ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad y estadística. Introduce las nociones de experiencias deterministas y aleatorias, espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos, frecuencia absoluta y relativa, propiedades y teoremas de probabilidad, ley de Laplace, probabilidad condicionada y sucesos independientes. Finalmente, explica las nociones de pruebas compuestas, experiencias independientes y dependientes.
Este documento trata sobre la probabilidad y estadística. Explica conceptos básicos de probabilidad como experimentos aleatorios y deterministas, espacio muestral, eventos elementales y compuestos. También define operaciones entre eventos como unión, intersección y diferencia. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
Este documento trata sobre la probabilidad y estadística. Explica conceptos básicos de probabilidad como experimentos aleatorios y deterministas, espacio muestral, eventos elementales y compuestos. También define operaciones entre eventos como unión, intersección y diferencia. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
Este documento introduce el concepto de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios cuyos resultados no son predecibles. Define conceptos clave como espacio muestral, eventos, eventos elementales y compuestos. También describe operaciones básicas con eventos como unión, intersección y diferencia. El objetivo es entender claramente el contexto de la probabilidad y cómo se utiliza para hacer inferencias estadísticas.
El documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad, incluyendo definiciones de sucesos como seguros, imposibles, complementarios e iguales. También explica la definición clásica de probabilidad basada en frecuencias relativas y la definición axiomática basada en los axiomas de Kolmogorov. Por último, resume seis propiedades clave de la probabilidad como que debe estar entre 0 y 1, y la suma de probabilidades de sucesos mutuamente excluyentes es igual a 1.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad estudia eventos aleatorios y experimentos que tienen resultados inciertos. Define términos como espacio muestral, eventos elementales, eventos compuestos y operaciones entre eventos como unión e intersección. Además, provee ejemplos para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
Este documento habla sobre la probabilidad y conceptos estadísticos fundamentales como espacio muestral, eventos, reglas de probabilidad y probabilidad condicional. Explica que la probabilidad cuantifica la creencia de que ocurra un evento y varía entre 0 y 1, y provee ejemplos para ilustrar conceptos como uniones y la suma de probabilidades.
Este documento describe los conceptos básicos de la probabilidad, incluyendo experimentos aleatorios, espacio muestral, eventos, regla de Laplace y tipos de sucesos. Explica que un experimento aleatorio tiene un espacio muestral con resultados posibles y que un evento es cualquier subconjunto de este. También cubre cómo calcular la probabilidad de eventos usando la regla de Laplace cuando los resultados son equiprobables y cómo los sucesos pueden ser seguros, posibles o imposibles.
Elementos de la probabilidad y axiomas de probabilidad EsthelaGarcia5
Este documento trata sobre los elementos y axiomas de la probabilidad. Explica que los primeros estudios de probabilidad se motivaron por los juegos de azar y define conceptos como experimento aleatorio, espacio muestral y eventos. Luego presenta ejemplos como lanzar un dado para ilustrar estos conceptos. Finalmente, introduce los enfoques de probabilidad como experimento aleatorio, espacio muestral y operaciones entre eventos como unión e intersección.
Este documento introduce el concepto de probabilidad y describe los elementos básicos para calcular probabilidades. Define probabilidad como una medida de confianza de que ocurra un evento futuro. Explica los conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral, eventos elementales, compuestos e imposibles. También cubre operaciones básicas con eventos como unión, intersección y diferencia. El objetivo es entender claramente el contexto de probabilidad y cómo se mide y utiliza para hacer inferencias estadísticas.
Este documento trata sobre la probabilidad y la estadística. Explica conceptos básicos como probabilidad, eventos aleatorios y experimentos aleatorios. Define espacio muestral, eventos elementales y compuestos, y operaciones entre eventos como unión, intersección y diferencia. El objetivo es entender claramente el contexto de la probabilidad y cómo se mide y utiliza para hacer inferencias estadísticas.
Este documento presenta una introducción a la probabilidad y los conceptos básicos relacionados. Explica que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios cuyos resultados no son deterministas. Define conceptos clave como espacio muestral, eventos, eventos elementales y compuestos, y operaciones entre eventos como unión, intersección y diferencia. Finalmente, provee ejemplos prácticos para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad como fenómenos aleatorios vs deterministas, experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos, probabilidad, entre otros. Explica que la probabilidad mide la frecuencia de ocurrencia de un evento o conjunto de eventos al realizar un experimento aleatorio.
Teoria de-probabilidad. TRABAJO DE ESTADISTICAizquielar
Este documento describe los conceptos básicos de la teoría de probabilidad, incluyendo modelos matemáticos, experimentos aleatorios, espacio muestral, eventos y definición de probabilidad. Explica que la probabilidad de un evento puede calcularse como la razón entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles de un experimento aleatorio. También presenta algunos teoremas y reglas como la adición para calcular probabilidades.
Este documento presenta un resumen sobre la teoría de la probabilidad. Introduce conceptos como experimentos aleatorios y determinísticos, espacio muestral, eventos, operaciones con eventos, tablas de contingencia, diagramas de árbol y definiciones de probabilidad desde enfoques frecuentista y clásico. También expone algunos teoremas y la regla de adición para el cálculo de probabilidades.
Teoriadeprobabilidad izquiel TRABAJO DE ESTADISTICAizquielar
Este documento presenta un resumen sobre la teoría de probabilidad. Define conceptos clave como experimentos aleatorios y determinísticos, espacio muestral, eventos, reglas de probabilidad como la adición y teoremas. Explica los enfoques frecuentista y clásico para calcular probabilidades y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
El documento describe las redes inalámbricas, incluyendo su historia, arquitectura y estándares. Explica que las redes inalámbricas permiten la movilidad de los usuarios al eliminar la necesidad de cables. También describe los diferentes medios físicos como infrarrojo, radiofrecuencia y microondas, así como los protocolos IEEE 802.11 para el control de acceso al medio y la autenticación.
Este documento describe los conceptos básicos de routing en redes de computadoras. Explica que el routing implica construir tablas de ruteo dinámicas que indican cómo llegar a destinos remotos, y que existen dos enfoques principales: distance vector y link state. Distance vector usa actualizaciones periódicas entre vecinos, mientras que link state difunde paquetes con la información de enlaces a toda la red para que cada nodo calcule rutas de forma independiente. También presenta ejemplos como RIP, OSPF e IS-IS.
Este documento describe la capa de enlace de datos y Ethernet. Resume que la capa de enlace transmite información de forma fiable entre dispositivos mediante tramas y direccionamiento MAC. Describe los tipos de Ethernet, incluyendo las especificaciones de las tramas, direcciones MAC, algoritmo CSMA/CD y los identificadores IEEE para diferentes medios físicos como Ethernet de 10 Mbps, Fast Ethernet de 100 Mbps y Gigabit Ethernet de 1000 Mbps.
La capa de red proporciona conectividad para que los datos se envíen desde el origen hasta el destino. IP usa datagramas no confiables que pueden perderse, duplicarse o retrasarse. Cada datagrama es tratado de forma independiente sin conexión. ARP resuelve direcciones MAC a partir de direcciones IP dentro de una red local, mientras que protocolos como DHCP configuran automáticamente parámetros como la dirección IP de un host.
El documento describe los componentes y características de un cableado estructurado. Un cableado estructurado presenta un sistema de cableado para edificios que permite soportar una amplia gama de productos de telecomunicaciones sin necesidad de modificación. Los elementos clave incluyen el cableado de puesto de trabajo, horizontal, troncal y de entrada/salida, así como gabinetes de telecomunicaciones y sala de equipos de red. El documento también explica pruebas comunes como mapa de cableado, resistencia, longitud y atenuación.
El documento presenta una introducción a los criterios de convergencia de series infinitas. Explica que existen diferentes formas de determinar si la suma de los términos de una serie tiende a un límite cuando el número de términos aumenta infinitamente. Luego, describe brevemente seis criterios comunes para estudiar la convergencia de series, incluyendo la convergencia absoluta, el criterio de comparación, el criterio de la raíz, el criterio de d'Alembert, el criterio de la integral de Maclaurin y las series alternantes.
El documento explica los conceptos básicos de las derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas y trascendentes. En particular, introduce las derivadas de la función exponencial, logaritmo natural y logaritmo en cualquier base. Además, presenta ejemplos y ejercicios propuestos para practicar el cálculo de derivadas de funciones que incluyen logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas.
El patrón Observer separa el objeto de estado de los objetos de visualización y permite múltiples presentaciones alternativas del estado. Cuando cambia el estado, todos los objetos de visualización se notifican automáticamente y se actualizan. El patrón implica objetos abstractos Subject y Observer y objetos concretos ConcreteSubject y ConcreteObserver, donde ConcreteSubject mantiene el estado y notifica los cambios a los observadores ConcreteObserver.
Este documento presenta una guía sobre la teoría de probabilidad y estadística. Introduce conceptos clave como sistemas determinísticos vs. probabilísticos, experimentos estadísticos, espacio muestral, eventos y variables aleatorias. Explica técnicas de conteo de puntos muestrales, cálculo de probabilidades, eventos independientes y teoremas como el de Bayes. Finalmente, provee ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento trata sobre probabilidades y experiencias aleatorias. Explica conceptos como espacio muestral, sucesos elementales y compuestos, operaciones con sucesos como unión e intersección, y reglas para calcular probabilidades como la regla de Laplace. También introduce nociones de probabilidad condicionada y sucesos dependientes e independientes. En resumen, provee los fundamentos teóricos básicos para comprender el cálculo de probabilidades.
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ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
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José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
3. EXPERIENCIAS ALEATORIAS.
Experiencia determinista : su resultado es predecible de antemano.
En idénticas condiciones,se obtiene el mismo resultado.
Experiencia aleatoria : su resultado no se puede predecir,depende del azar,
aunque se repita en idénticas condiciones.
Ej.: lanzar una piedra al vacío y medir su aceleración.
Ej.: lanzar un dado y anotar el número obtenido.
5. Al lanzar un dado se pueden obtener seis resultados diferentes.
Espacio muestral es el conjunto E de todos los posibles resultados de una
experiencia aleatoria.
E =
C =
A = B =
D = H =
Suceso : es cualquier subconjunto del espacio muestral asociado a un
experimento aleatorio.
Sucesos elementales : cada uno de los elementos del espacio muestral.
Sucesos compuestos : formados por dos o más sucesos elementales.
Suceso seguro : es el propio espacio muestral E.
Suceso imposible : es el suceso vacío Ø.
7. La unión de dos sucesos es el suceso formado por los elementos de ambos.
La intersección de dos sucesos es el suceso formado por los elementos
comunes a ambos sucesos.
A = B =
C = D =
F =
B∩D =
BUD =
AUB = CUD = E =
C∩F =
8. Dos sucesos son incompatibles cuando es imposible que ocurran
simultáneamente,es decir, cuando A∩B=Ø.
C = D =
C = F =
Dos sucesos son contrarios cuando entre ambos se reparten todos los
sucesos elementales,es decir, A∩B=Ø y AUB=E.
A = B =
C y D son incompatiblesC∩ D =Ø
C∩ F = ǂ Ø C y F son compatibles
9. UNIÓN: Suceso formado por todos los elementos de A y de B
OPERACIONES CON SUCESOS
AUB se verifica cuando ocurre uno de los dos sucesos A o B,o ambos.
A
AUB
A
INTERSECCIÓN: Suceso formado por los elementos comunes de A y de B.
A A
A∩B
A∩B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.
10. DIFERENCIA:
A-B es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
B-A es el suceso formado por todos los elementos de B que no son de A.
A-B se verifica cuando lo hace A y no lo hace B.
B-A se verifica cuando lo hace B y no lo hace A.
A
A-B
A
A
A
B-A
11. COMPLEMENTARIO O CONTRARIO: Suceso formado por todos los
elementos que no son de A.
E-A = Ā
SUCESOS INCOMPATIBLES: Sucesos que no tienen elementos comunes.
Ā se verifica siempre que no se verifica A.
A y B no se verifican simultáneamente.
A
A
E
A∩B = Ø
12. Ejercicio E={1,2,3,4,5,6}Se lanza un dado
Determina los elementos que componen los sucesos:
A=”salir par”
B=”salir impar”
C=”menor o igual que 4”
D=”mayor o igual que 5”
F=”salir nº primo”
E
6
C F
1
4
2
3
5
Determina :
C∩F
CUF
C-F
F-C
¿Son F y C incompatibles?
¿Y contrarios?
13. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS
DISTRIBUTIVAS: AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC)
A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C)
DE SIMPLIFICACIÓN: AU(B∩A) = A
A∩(BUA) = A
DEL CONTRARIO: (A')' = A
A-B = A∩B'
LEYES DE MORGAN: (AUB)' = A'∩B'
(A∩B)' = A'UB'
14. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD
Si realizamos N veces un experimento aleatorio,y observamos un suceso S
que se verifica n veces,tenemos
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS:
Si realizamos un experimento aleatorio N veces,la frecuencia relativa fr(S)
de un suceso S toma distintos valores.
Dichos valores pueden sufrir grandes oscilaciones, pero si aumentamos
indefinidamente el número N de veces que realizamos el experimento
aleatorio,se observa que las oscilaciones son cada vez menores y que
dicha frecuencia fr (S) tiende a estabilizarse, aproximándose a un valor.
Ese valor es la probabilidad del suceso S y se escribe P(S)
Frecuencia absoluta de S: número de veces que ocurre S.
Frecuencia relativa de S: proporción de veces que ocurre S.
Por tanto,siempre es un nº entre 0 y 1.
fr (S) = n/N
f(S) = n
P(S) = lim
N →+ ∞
f r (S)
15. Ejemplo:
Lanzamos un dado N veces.
Anotamos la frecuencia relativa
del suceso S = ”salir el 3”.
Repetimos este experimento
para otros valores mayores
de N.Se observa que fr(S) toma
distintos valores y con muchas
oscilaciones, si los valores de
N son pequeños.
Pero,para valores muy grandes
de N (muchos lanzamientos),
las oscilaciones disminuyen
hasta que los valores fr(S) se
estabilizan, acercándose a un
número P(S)
PS = lim
N ∞
f r S =
1
6
= 0.17P(S) = lim
N →+ ∞
f r (S) =
1
6
≃ 0,1667
17. PROPIEDADES:
A
A
Ā
B-A
A
P(Ā) = 1 - P(A)T1
T2
P(Ø) = 0
T3
T4
T6
Si A ⊆ B, entonces P(B) = P(A) + P(B-A)
Si A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B)
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
T7
Si E es finito y S = {x1
,x2
,....,xk
},entonces
P(S) = P(x1
) + P(x2
) +.....+ P(xk
)
T5
Si A1
, A2
,...., Ak
son incompatibles dos a dos, entonces
P(A1
U A2
U....U Ak
) = P(A1
) + P(A2
) +.....+ P(Ak
)
B
19. REGLA DE LAPLACE
Si además el espacio muestral E = {x1
,x2
,....,xn
} consta de n sucesos
elementales equiprobables, es decir, P(x1
) = P(x2
) = ...... = P(xn
) = 1/n ,
entonces la probabilidad de un suceso S viene dada por la expresión:
Esta es la ley de Laplace que se expresa:
P(S) = k/n
P(S) =
nº casos favorables a S
nº casos posibles
La propiedad T7
permite calcular la probabilidad de un suceso S,
sumando las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen:
Si E es finito y S = {x1
,x2
,....xk
}, entonces P(S) = P(x1
) + P(x2
) +.....+ P(xk
)
20. Lanzamos un dado correcto.Halla la probabilidad de obtener:
a) impar b) primo c) múltiplo de 3 d) menor que 5
E = {1,2,3,4,5,6 }
Todos los resultados son equiprobables si el dado es correcto.
Aplicamos la ley de Laplace:
P(impar) = P({1,3,5}) = 3/6 = 1/2
P(primo) = P({2,3,5}) = 3/6 = 1/2
P(múltiplo de 3) = P({3,6}) = 2/6 = 1/3
P(menor que 5) = P({1,2,3,4}) = 4/6 = 2/3
P(S) =
nº casos favorables a S
nº casos posibles
21. Se tiene una baraja española.Halla la probabilidad de que al extraer
una carta sea:
a) figura b) as c) 6 o 7 d) copas e) no figura
figura es
sota,caballo
o rey
12/40 = 3/10 = 0,3
4/40 = 1/10 = 0,1
10/40 = 1/4 = 0,25
P(figura) =
P(as) =
P(copas) =
P(no figura) =1 - P(figura) = 1 – 0,3 = 0,7
hay 10 cartas
de copas
no figura es lo
contrario de
figura
P(6 o 7) = 8/40 = 1/5 = 0,2
Regla
de
Laplace
22. + 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
P(suma par) = 18/36 = 1/2
Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos.
Calcula la probabilidad de que la suma sea:
a) par b)múltiplo de 3 c)múltiplo de 5 d)mayor que 6
P(múltiplo de 3) = 12/36 =1/3
P(múltiplo de 5) = 7/36
P(mayor que 6) = 21/36 = 7/12
E = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Pero estos 11 sucesos no son equiprobables.
E´= {(1,1),(1,2),...........(6,6)}
Nuevo enfoque del experimento aleatorio:
Son 36 sucesos equiprobables ⇒ ley de Laplace:
23. + 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
P(suma 7)= 6/36
P(suma 6)=5/36
Dos amigos juegan con dos dados.Uno apuesta a obtener suma igual a
6 y el otro apuesta a obtener suma igual a 7.¿Te parece el juego justo?
Conclusión: el juego no es justo pues el segundo jugador tiene mayor
probabilidad de ganar.
25. Dados dos sucesos A y B,se llama probabilidad de B condicionada a A
a la proporción de veces que ocurre B de entre las que ocurre A .
P(A∩B) = P(A)·P(B|A)
Por tanto:
la probabilidad de la intersección de dos sucesos A y B es el producto
de la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicionada
del otro a éste.
E
B
A
A∩B
P(B|A) =
PROBABILIDAD CONDICIONADA
26. Los resultados de una encuesta sociológica acerca de la actitud política
progresista o conservadora, realizada sobre 375 universitarios de
ambos sexos están registrados en la siguiente tabla de contingencia:
Varones Mujeres
Actitud progresista 150 75 225
Actitud conservadora 50 100 150
200 175 375
P(varón) = 200/375
P(mujer) = 175/375
P(progresista) = 225/375
P(conservador) = 150/375
P(varón∩progresista) = 150/375
P(progresista|varón) = 150/200
P(varón∩progresista)
P(varón)
150/375
200/375
=
P(B|A) =
28. Dos sucesos A y B,se dice que son independientes cuando se cumple que:
P(B|A) = P(B) P(A|B) = P(A)y
Cuando dos sucesos son independientes la probabilidad de su intersección
es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos.
A y B independientes ⇒ P(A∩B) = P(A)·P(B)
SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
En caso contrario se dice que son dependientes y, entonces,la probabilidad
de su intersección es igual al producto de la probabilidad de uno por la
probabilidad del otro condicionada a éste:
A y B dependientes ⇒ P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)
29. Los resultados de una encuesta sociológica acerca de la actitud política
progresista o conservadora,realizada sobre 375 universitarios de ambos
sexos están registrados en la siguiente tabla de contingencia:
La actitud progresista y el hecho de ser varón,¿son independientes?
Varones Mujeres
Actitud progresista 150 75 225
Actitud conservadora 50 100 150
200 175 375
P(progresista) = 225/375 = 3/5
P(progresista|varón) = 150/200 = 3/4
P(progresista|varón) ≠ P(progresista)
Por tanto,las características tener actitud progresista y ser varón son
sucesos dependientes
30. 1 2 3 4 5 6 7 8 P(B|A) =
P(par | verde) =
P(par | rojo) =
P(par | negro) =
P(par ∩ verde)
P(verde)
P(par ∩ rojo)
P(rojo)
P(par ∩ negro)
P(negro)
=
=
=
1
3
2
4
=
1
2
1
1
= 1
P(par) =
4
8
=
1
2
P(par|rojo) = P(par)
par y rojo son sucesos
independientes
proporción de pares
entre las bolas rojas =
proporción de pares
en el conjunto total
P(par|verde) ≠ P(par)
par y verde son dependientes
P(par|negro) ≠ P(par)
par y negro son dependientes
32. ● Experiencias independientes:
Cuando el resultado de cada
experiencia,no influye en el de la
siguiente.
● Experiencias dependientes:
Cuando el resultado de cada
experiencia, sí influye en el de la
siguiente.
P(S1
∩ S2
) = P(S1
)·P(S2
) P(S1
∩ S2
) = P(S1
)·P(S2
IS1
)
Extracción de dos cartas sucesiva-
mente con reemplazamiento:
P(As1
∩ As2
) = P(As1
).P(As2
)=
4/40 4/40•=
Extracción de dos cartas sucesiva-
mente sin reemplazamiento:
P(As1
∩ As2
) = P(As1
).P(As2
IAs1
)=
4/40 3/39•=
Observa la diferencia en la segunda extracción
EXPERIENCIAS COMPUESTAS
Se llaman experiencias compuestas a aquellas en las que se distinguen
dos o más etapas. Se distinguen dos casos:
33. De una baraja española se extraen dos cartas sucesivamente y sin
reemplazamiento.La primera carta extraída es el as de oros.
Calcula la probabilidad de que la segunda carta extraída sea:
1) oros 2) as 3) figura
Primera carta Segunda carta
1) P(oros) = P(O2
| A1
) = 9/39 = 3/13
2) P(as) = P(A2
| A1
) = 3/39 = 1/13
3) P(figura) = P(F2
| A1
) = 12/39 = 4/13
34. CASO I : EXPERIENCIAS INDEPENDIENTES
Lanzamos dos dados.¿Cuál es la probabilidad de obtener “PAR”
en el primer dado y “MAYOR QUE 2” en el segundo?
{3,4,5,6}
{1,2}
{1,2}
{3,4,5,6}
1/2
1/2
4/6
4/6
2/6
2/6
Primer dado
PAR
IMPAR
Segundo dado
NO MAYOR QUE 2
MAYOR QUE 2
MAYOR QUE 2
NO MAYOR QUE 2
35. {3,4,5,6}
{1,2}
{1,2}
{3,4,5,6}
4/6
4/6
2/6
2/6
Experiencia 1ª:
Ahora determinamos las probabilidades de cada suceso de la
experiencia compuesta:
P(PAR y MAYOR QUE 2) =
P(PAR y NO MAYOR QUE 2) =
P(IMPAR y MAYOR QUE 2) =
P(IMPAR y NO MAYOR QUE 2)=
Experiencia 2ª:
IMPAR
1/2
1/2
PAR
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
4/6
2/6
4/6
2/6
..
.
.
.
Para obtener la probabilidad de un suceso
compuesto,se multiplican las probabilidades
de los sucesos simples que lo componen ya
que las experiencias son independientes:
P(PAR ∩ MAYOR QUE 2) = P(PAR) · P(MAYOR QUE 2) = 1/2 · 4/6
experiencias independientes:
36. CASO II : EXPERIENCIAS DEPENDIENTES
Tenemos una urna con 3 bolas verdes y 2 bolas rojas.
Extraemos dos bolas sucesivamente y sin reemplazamiento.
¿Cuál es la probabilidad de que “AMBAS SEAN VERDES”?
Primera extracción Segunda extracción
3/5
2/5
2/4
2/4
1/4
3/4
P( ) =
P( ) =
P( ) =
P( ) =
2/5
2/5
3/5
3/53/5
1/4
3/4
2/4
2/4••
•
•
•
experiencias dependientes: la probabilidad de la 2ª extracción es condicionada
P(VERDE1 ∩ VERDE2) = P(VERDE1)·P(VERDE2 | VERDE1) = 3/5 · 2/4
37. EJERCICIO:
Extraemos simultáneamente 3 cartas de una baraja.
¿Cuál es la probabilidad de obtener “3 ASES” ?
Simultáneamente
=
sucesivamente sin
reemplazamiento
Es una
experiencia
compuesta,
formada por
experiencias
dependientes
Haré un
diagrama de
árbol
para ayudarme
NOTA:
Hay ocasiones en los que las pruebas no son sucesivas,sino simultáneas.
Pero puede ser más fácil pensar en ellas como si se sucedieran en el tiempo.
38. 1ª extracción 2ª extracción 3ª extracción
4/40
36/40
As
No As
35/39
4/39
3/39
36/39
2/38
36/38
4/38
34/38
3/38
35/38
3/38
35/38
••
•
•
•
•
•
•
•
39. 1ª extracción
4/40
36/40
As
No As
2ª extracción
35/39
4/39
3/39
36/39
3ª extracción
2/38
36/38
4/38
34/38
3/38
35/38
3/38
35/38
••
•
•
•
•
•
•
•
P(AXX)=
P(XAX)=
P(XXA)=
P(XXX)=
P(AAA)=
P(AAX)=
P(AXA)=
P(XAA)=
4/40 3/39 2/38• •
36/40 35/39 34/38• •
4/40 3/39 36/38• •
4/40 36/39 3/38• •
4/40 36/39 35/38• •
4/40 36/39 3/38• •
36/40 4/39 3/38• •
36/40 4/39 35/38• •
36/40 35/39 4/38• •
Ahora determinamos las probabilidades de cada suceso de la
experiencia compuesta:
40. 1/2
1/2
Se tiene una urna con 4 bolas rojas y 2 verdes.
Se lanza una moneda.Si sale cara se saca una bola de la urna,y si
sale cruz se sacan dos bolas sucesivamente y sin reemplazamiento.
Halla la probabilidad de:
a) sacar 2 bolas verdes b) ninguna verde
4/6
4/6
2/6
2/6
P( )=
P( )= 1/2
1/2 4/6
2/6
•
•
P( )=
P( )=
P( )=
P( )=
1/2
1/2
1/2
1/2
4/6
4/6
2/6
2/6
3/5
2/5
4/5
1/5
•
•
•
• •
•
•
•
cara
cruz
1ª bola
3/5
2/5
4/5
1/5
moneda 2ª bola
42. A1
A2
A3
A4
A5
S
E
A1
∩ S
A2
∩ S
A3
∩ S
A4
∩ S
A5
∩ S
Cualquier suceso S se puede expresar
como unión de sucesos incompatibles:
S = (A1
∩ S) U (A2
∩ S) U..... U (An
∩ S)
P(S) = P(A1
∩ S) + P (A2
∩ S) +..... + P (An
∩ S) =
= P(A1
)·P(S| A1
)+P(A2
)·P(S| A2
)+....+P(An
)·P(S| An
)
por lo tanto,la probabilidad total de S es:
Si el espacio E se descompone como
unión de sucesos incompatibles:
E = A1
U A2
U....U An
siendo
Ø = A1
∩ A2
= A1
∩ A3
=......= Ai
∩ Aj
PROBABILIDAD TOTAL
43. A1
A2
A3
An
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
P(S| A1
)
P(S| A2
)
P(S| An
)
A1
∩ S
A2
∩ S
An
∩ S
P(S)
.
.
.
.
P(A1
∩ S)
P(A2
∩ S)
P(An
∩ S)
P(A1
)
P(A2
)
P(An
)
P(S) = P(A1
∩ S) + P (A2
∩ S) +..... + P (An
∩ S) =
= P(A1
)·P(S| A1
) + P(A2
)·P(S| A2
) + .... + P(An
)·P(S| An
)
La probabilidad total
del suceso S es:
PROBABILIDAD TOTAL
44. La probabilidad de que un autobús que va de Madrid a Burgos sufra
un accidente en un día lluvioso es del 9% y en día seco del 5‰.
Durante un período de 10 días ha habido 7 días secos y 3 lluviosos.
¿Cuál será la probabilidad de que se produzca un accidente?
A
A
Ᾱ
Ᾱ
L
S
0,3
0,7
0,09
0,91
0,005
0,995
Lluvioso L
Seco S
A ∩ L
A ∩ S
A ∩ L
A ∩ S
E
A ∩ L
A ∩ S
A
P(A) = P(A ∩ L) + P(A ∩ S) = P(L)·P(A| L) + P(S)·P(A| S) =
La probabilidad total de tener accidente es:
= 0,0305 O sea,ligeramente superior a un 3%. 0,09 + 0,7 . 0,0050,3
45. Un gato persigue a un ratón.Este puede entrar en uno de los tres
callejones A,B o C. La probabilidad de que elija cada uno de ellos es del
30%, 50% y 20%, respectivamente.Y de que sea cazado en cada uno de
ellos del 40%, 60% y 10% respectivamente.
Calcula la probabilidad de que el gato finalmente cace al ratón.
A
B
C
0,3
0,5
0,2
P(A∩cazado)
P(B∩cazado)
P(C∩cazado)
P(A∩no cazado)
P(B∩no cazado)
P(C∩no cazado)
P(A)·P(cazadoIA) + P(B)·P(cazadoIB) + P(C)·P(cazadoIC) =
0,4
0,6
0,6
0,4
0,1
0,9
0,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,4
= 0,4• • •0,6 0,1+ +0,3 0,5 0,2 = 0,44
P(cazado) =
P(cazado)
La probabilidad total de que
el ratón sea cazado es:
46. urna A
Tenemos dos urnas A y B. Se extrae una bola de A , y se introduce
en B, se remueve y se extrae finalmente una bola de la urna B.
Halla la probabilidad de que la segunda bola extraída sea:
a) roja b) verde c) negra
urna A urna B
urna B
P(R)
P(R)P(V)
P(N)
2/6
3/6
1/6
2/5
1/5
2/5
1/5
2/5
2/5
1/5
1/5
3/5
P(R)=P(R1)·P(R2|R1) + P(V1)·P(R2|V1) + P(N1)·P(R2|N1) =
= 2/6 2/5. + 3/6 1/5. + 1/6 1/5. = 8/30
P(V)=P(R1)·P(V2|R1) + P(V1)·P(V2|V1) + P(N1)·P(V2|N1) =
= 2/6 1/5. + 3/6 2/5. + 1/6 1/5. = 9/30
P(N)=P(R1)·P(N2|R1) + P(V1)·P(N2|V1) + P(N1)·P(N2|N1) =
= 2/6 2/5. + 3/6 2/5. + 1/6 3/5. = 13/30
48. PROBABILIDADES “A POSTERIORI”: TEOREMA DE BAYES.
En una experiencia compuesta,si A es una suceso de la primera experiencia y
S un suceso de la segunda,¿tiene sentido la probabilidad condicionada P(A|S)?
Se puede llegar al suceso S habiendo pasado primero por A, o bien por otros
sucesos (B, C,....) de la primera experiencia:
Si sabemos que finalmente ha ocurrido el suceso S,¿cuál es la probabilidad de
que haya ocurrido así, pasando previamente por el suceso A?
O sea,de las distintas causas que han podido provocar como efecto el suceso S,
¿en qué proporción del total de veces que sucede S,la causa ha sido A?
Este es el significado de P(A|S), llamada probabilidad “a posteriori” de A,
sabiendo que ha ocurrido S. (También llamada probabilidad de las causas)
Intuitivamente,dicha proporción es:
B
A
C
S
S
S
50. La probabilidad de que un autobús que va de Madrid a Burgos sufra
un accidente en un día lluvioso es del 9% y en día seco del 5‰.
Durante un período de 10 días ha habido 7 días secos y 3 lluviosos.
Sabiendo que se ha producido un accidente en esos días,¿cuál será la
probabilidad de que haya ocurrido:
a) en día lluvioso? b) en día soleado?
A
A
Ᾱ
Ᾱ
L
S
0,3
0,7
0,09
0,91
0,005
0,995
Lluvioso L
Seco S
A ∩ L
A ∩ S
A ∩ L
A ∩ S
EA ∩ L
A ∩ S
A
P(L | A) =
P(A ∩ L)
P(A)
P(S | A) =
P(A ∩ S)
P(A)
=
=
. 0,090,3
0,0305
0,0305
0,7 . 0,005
=
=
. 0,09 + 0,7 . 0,0050,3
. 0,09 + 0,7 . 0,0050,3
. 0,090,3
.0,7 0,005
51. Supongamos,siguiendo con el ejercicio anterior,que vemos al gato
perseguir al ratón.Al poco rato llega con él en la boca.
¿En cuál de los tres caminos es más probable que lo haya cazado?
Calculamos la probabilidad de que el ratón estuviera en cada uno de los caminos,
sabiendo que ha sido cazado,aplicando el teorema de Bayes:
P(A)·P(cazadoIA)+P(B)·P(cazadoIB)+P(C)·P(cazadoIC) =
= 0,4• • •0,6 0,1+ +0,3 0,5 0,2 = 0,44
Según el ejercicio anterior:
P(cazado) =
6
22
=
15
22
=
1
22
=
P(AIcazado)=P(AIcazado)=
P(A∩cazado)
P(cazado)
P(AIcazado)=P(BIcazado)=
P(B∩cazado)
P(cazado)
P(cazado)
P(AIcazado)=P(CIcazado)=
P(C∩cazado)
P(cazado)
=
0,4•
• •0,6 0,1+ +
0,3
0,5 0,20,4•0,3
0,6•
• •0,6 0,1+ +
0,5
0,5 0,20,4•0,3
0,1•
• •0,6 0,1+ +
0,2
0,5 0,20,4•0,3
=
=
53. E = 39
F = 16
I = 27
F∩ I=9
F
E
97
18
5
P(F) = 16/39
P(I) = 27/39
P(F∩ I) = 9/39
P(FU I) = P(F) + P(I) - P(F∩ I) = 34/39
P(F - I) = 7/39
P(I - F) = 18/39
P(F∩ I) = P(FUI) = 1 - P(FU I) = 5/39
P[(I - F)U(F - I) ] = P(I - F) + P(F – I) = 18/39 +7/39 = 25/39
De los 39 alumnos de una clase,16 escogieron francés y 27 inglés,
9 alumnos eligieron ambos idiomas y el resto no escogió ninguno de ellos.
Elegido un alumno al azar, halla la probabilidad de que escogiera:
a)francés b)inglés c)ambos d)alguno de los dos idiomas
e)francés pero no inglés f)inglés pero no francés g)sólo un idioma
h)ninguno de ellos
54. Sean A y B tales que: P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,5 ; P(A∩B) = 0,3.
Halla P(AUB) y P(A∩B).
A B
P(A∩B) = 0,3
Por las leyes de Morgan:
P(AUB) = 1 - P( AUB) = 1 - 0,3 = 0,7
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
0,7 = 0,4 + 0,5 – P(A∩B)
0,2
0,2
0,3
0,3
A∩B = AUB
Por T1.,hallamos la probabilidad del suceso contrario:
Por T6. tenemos que:
⇒ P(A∩B) = 0,2
⇒ P(A∩B) = P(AUB) = 0,3
Partimos de:
55. Sabemos que P(A) = 0,4 , P(B) = 0,3 y P(A∩B) = 0,1 .
Halla razonadamente :
P(AUB) P(AUB) P(A|B) P(A∩B)
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,4 + 0,3 – 0,1 = 0,6
Por las leyes de Morgan: AUB = A∩B ⇒ P(AUB) = P(A∩B) =
Y usando la probabilidad del
suceso contrario: = 1 - P(A∩B) = 1 - 0,1 = 0,9
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0,1 / 0,3 = 1/3 = 0,3333....
usando la otra ley de Morgan: A∩B = AUB
⇒ P(A∩B) = P(AUB) =
= 1 - P(AUB) = 1 - 0,6 = 0,4
A B
0,1 0,20,3
0,4
56. En una empresa hay 200 empleados:100 hombres y 100 mujeres.
Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres.Haz la tabla de contingencia
correspondiente y determina sobre ella probabilidades.
Hombres Mujeres
Fumadores 40 35 75
No Fumadores 60 65 125
100 100 200
P(M) = P(H) = 100/200 = 0,5
P(H∩NF) = 60/200 = 0,3
P(M∩F) = 35/200 = 0,175
P(M|F) = 35/75 = 0,467
P(F|M) = 35/100 = 0,35
ser mujer y ser fumador
son sucesos dependientes
P(M) ≠ P(M|F)
57. El 20 % de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20 %
son economistas.El 75 % de los ingenieros ocupan un puesto directivo
y el 50 % de los economistas también,mientras que de los no ingenieros
y no economistas solamente el 20 % ocupan un puesto directivo.
¿Cuál es la probabilidad de que un directivo elegido al azar sea ingeniero?
0,2
0,2
0,6
Ingenieros
Economistas
Sin titulación
0,75
0,25
0,5
0,5
0,8
IngenierosIngenierosIngenierosIngenierosIngenierosDirectivos
No Directivos
IngenierosIngenierosIngenierosIngenierosIngenierosDirectivos
No Directivos
IngenierosIngenierosIngenierosIngenierosIngenierosDirectivos
No Directivos
0,2
P(D)
0,405
0,2·0,75
0,2·0,75+0,2·0,5+0,6·0,2
= =
Teorema de Bayes:
58. Un jugador de baloncesto suele acertar el 75 % de sus tiros desde el punto
de lanzamiento de personales.Si acierta el primer tiro,puede tirar de nuevo
a canasta.Calcula la probabilidad de que:
a) haga dos puntos
b) haga un punto
c) no haga ningún punto
ACERTAR
FALLAR
0,75
0,25
ACERTAR
FALLAR
0,75
0,25
P(dos puntos) = P(A1∩A2) = P(A1).P(A2|A1) = 0,75 . 0,75 = 0,56
P(un punto) = P(A1∩F2) = P(A1).P(F2|A1) = 0,75 . 0,25 = 0,19
P(ningún punto) = P(F1) = 0,25