1) La teoría de la probabilidad tuvo su origen en los juegos de azar en el siglo XVII. Posteriormente, matemáticos como Jacob Bernoulli y Thomas Bayes desarrollaron técnicas para el cálculo de probabilidad. En el siglo XIX, Simón Laplace unificó la primera teoría general de probabilidad. 2) Existen tres enfoques para definir la probabilidad: clásico, de frecuencia relativa y subjetivo. La probabilidad clásica se basa en resultados favorables sobre totales posibles. La de frecuencia relativa relaciona

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS
CONTABILIDAD Y AUDITORIA CPA
ESTADÍSTICA II
NOMBRE: JEFFERSON SANTILLAN SEMESTRE: Cuarto “B”
FECHA: 01/06/2016
TEMA: UNIDAD 1
1. ALGO DE HISTORIA Y RELEVANCIA DE LA TERORÌA DE LA PROBABILIDAD
1.1. Historia
La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal
tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar, es decir la
probabilidad tuvo su origen en los juegos de azar.
Mas tarde, Jacob Bernoulli (1654 – 1705), Abraham de Moivre (1667 – 1754), el reverendo
Thomas Bayes (1702 – 1771) y Joseph Lagrange ( 1736 – 1813), desarrollaron técnicas y
fórmulas para el cálculo de probabilidad.
En el siglo XIX, Pierre Simón, marqués (1749 – 1827), unificó y compiló la primera teoría
general de probabilidad
2. CONCEPTOS BASICOS
2.1. Probabilidad.- Es la medida de la posibilidad de que ocurra un suceso en el futuro;
Al decir medida, se refiere a que se le atribuye un número (valor) al suceso observado, este
número se asigna en una escala de 0 a 1, incluido el 0 y el 1, esto es: 0 ≤ p ≤ 1.
2.2. Interpretaciones de probabilidad según su valor
0 ---------- 0,5 ---------- 1
 Si el valor de la probabilidad es cero, significa que es difícil o improbable que el suceso
ocurra

2. 2
 Si el valor de la probabilidad es uno, significa que es casi seguro que el suceso ocurra
 Si el valor de la probabilidad es 0,5 significa que el suceso puede o no ocurrir
 Valores cercanos a cero es más improbable de que ocurra el suceso
 Valores cercanos a uno es más probable de que ocurra el suceso
2.3. Formas de expresar la probabilidad.- Las probabilidades se expresan como un número
decimal o fracción (0,7; 7/10)
Ejemplos:
SUCESO PROBABILIDAD
Que el periodo lectivo, abril - agosto de 2015, concluya en junio de 2015 0
Que apruebe el semestre 0,7
Que la clase de estadística concluya a las 09H00 (programada de 07H00 a
09H00)
1
Al lanzar una moneda, esta caiga en cara 1/2
2.4. Terminología básica en el estudio de probabilidades
En la teoría de la probabilidad con frecuencia se usa los términos, experimento y evento
Evento.- Es uno o más de los posibles resultados de hacer lago; así tenemos que en el
lanzamiento de una moneda si cae cruz es un evento y si cae cara es otro evento.
La actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como experimento.
Experimento. Es el procedimiento que genera valores bien definidos, o también es la acción de
medir u observar algo.
Ejemplo:
EXPERIMENTO RESULTADOS POSIBLES DEL
EXPERIMENTO
EVENTO
Lanzar una moneda Cara, sello Cara
Inspeccionar un objeto fabricado Defectuoso, no defectuoso Defectuoso
Ventas por teléfono Compra, no compra No compra
Lanzar un dado 1,2,3,4,5,6, 3
Jugar un partido de futbol Ganar, perder, empatar Empate

3. 3
Espacio muestral.- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
Ejemplo: En el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral es: S={cara, cruz}
Punto muestral.- Son cada uno de los elementos del espacio muestral
Eventos mutuamente excluyentes.- Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si uno
y solo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo o en otras palabras la ocurrencia de un
evento implica que otro no puede darse al mismo tiempo
Ejemplo: el lanzamiento de una moneda tiene dos eventos posibles, cara y cruz, si cayó cara no
puede al mismo tiempo salir cruz o viceversa, entonces se dice que los eventos son
mutuamente excluyentes.
Colectivamente exaustivo.- Cuando una lista incluye todos los eventos que pueden resultad
de un experimento se dice que la lista es colectivamente exhaustiva, en el lanzamiento de la
moneda la lista cara y cruz es colectivamente exhaustiva.
3. TRES TIPOS DE PROBABILIDAD
Existen tres maneras básicas de clasificar la probabilidad
 El planteamiento clásico
 El planteamiento de frecuencia relativa
 El planteamiento subjetivo
3.1. Planteamiento clásico
El planteamiento clásico define la probabilidad como:
Probabilidad de un evento=
𝑵ù𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔
𝑵ù𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
Ejemplo.
En el Lanzamiento de un dado, se desea que salga el 4
Datos
 Número de resultados favorables = 1
 Número de resultados posibles= 6

4. 4
Probabilidad del evento
P =
1
6
La probabilidad clásica también se le conoce como probabilidad a priori, debido a que
nuestras conclusiones se basan en un razonamiento lógico antes de realizar el experimento,
por cuanto los eventos son previsibles; siendo estos los casos cuando se trata de monedas,
dado y barajas.
Por ejemplo
Antes de realizar el lanzamiento de un dado se sabe que la probabilidad de que caiga tres es
1/6
Antes de realizar el lanzamiento de una moneda se sabe que la probabilidad de caiga cara es
1/2
La probabilidad de que en una extracción de la baraja la probabilidad de que salga un as es
4/52
En todos estos ejemplos hemos podido señalar la probabilidad sin realizar el experimento, por
esta razón la probabilidad clásica se conoce como probabilidad a priori.
3.2. Planteamiento de frecuencia relativa
Define la probabilidad de un evento, relacionando datos que ya ocurrieron en el pasado, o
con el total de datos observados, los datos del pasado son parte del conjunto de datos
observados, o también relacionando una cantidad de datos (muestra) con el total observado
(población), la muestra se obtiene de la misma población
Probabilidad de un evento=
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒊𝒆𝒐𝒏 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒂𝒔𝒂𝒅𝒐
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔
Ejemplo:
Supóngase que se desea determinar si los graduados de la Carrera de Contabilidad y Auditoría,
están realizando actividades conforme su preparación. Para el efecto se realiza una encuesta a
840 graduados, de los cuales 375 no están desempeñando las funciones conforme su perfil
profesional, se desea saber: ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo encuestado esté
realizando actividades distintas a la de su formación?
Análisis: los 840 encuestados son la población y los 375 son la muestra, observe que los 375 se
obtiene de los 840

5. 5
Datos:
Total de encuestados u observados = 840
Total de graduados con actividades distintas a las de su formación = 375
Probabilidad del evento =
𝟑𝟕𝟓
𝟖𝟒𝟎
= 0,45
Significa: la probabilidad de que el próximo encuestado no esté realizando actividades
conforme su preparación es 0,45
3.3. Planteamiento subjetivo
Es la probabilidad asignada por una persona que conoce el asunto, basado en los datos que
dispone, es decir es la probabilidad otorgada por una persona con alguna experiencia en el
tema que se trata.
Por ejemplo: Una persona que conoce estadísticamente, los triunfos, derrotas y empates que ha
tenido la selección de futbol del Ecuador, dirá que la probabilidad de que el Ecuador gane en
el próximo encuentro es 0,90
4. ALGUNAS REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
Se refiere a la regla de la suma y regla de la multiplicación, son aplicables en los casos en los
que se tiene dos o más eventos. Como por ejemplo el evento A y el evento B.
4.1. Reglas de la suma
Se aplica cuando se desea obtener la probabilidad de ocurrencia del evento A o del evento B o
de ambos, observe el símbolo “o” este corresponde a la regla de la suma
Tiene dos formas
a) cuando los eventos son mutuamente excluyentes,
b) cuando los eventos no son mutuamente excluyentes
4.1.1. Cuando los eventos son mutuamente excluyentes
Se usa la fórmula
P(A o B) = P(A) + P(B)

6. 6
Ejemplo: se realiza una apuesta de $ 100,00, mediante el lanzamiento de un dado no cargado,
yo gano la apuesta si el dado cae en 2 o 4, deseo saber ¿Cuál es probabilidad que tengo para
ganar?
Sea A el evento que salga 2 y sea B el evento que salga 4, entonces:
La probabilidad de que salga A es 1/6
La probabilidad de que salga B es 1/6
Entonces la probabilidad de que salga el 2 o el 4 en un lanzamiento del dado es:
P(A o B) = P(A) + P(B) → P(A o B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.= 0,33 = 33%
El 33% significa que si lanzo el dado 100 veces, en 33 de estos lanzamientos posiblemente
salga el 2 o el 4
4.1.2. Cuando los eventos no son mutuamente excluyentes
Para estos casos se hace referencia al concepto de probabilidad conjunta, y es la probabilidad
de que el evento A y el evento B ocurran simultáneamente.
Se hace uso de la fórmula
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Ejemplo: se realiza una apuesta de $ 100,00, mediante la extracción de una baraja de un total
de 52 cartas; yo gano la apuesta si en una extracción la carta seleccionada es una “J” o una
carta de corazones negros, deseo saber ¿Cuál es la probabilidad que tengo para ganar?
Sea A el evento que salga “J” y sea B el evento que la carta seleccionada sea de corazones
negros, entonces:
La probabilidad de que salga A es 4/52 (en las 52 cartas hay 4 jotas, cada J corresponde a una
figura)
La probabilidad de que salga B es 13/52 (cada figura tiene 13 cartas)
Y, la probabilidad de que salga A y B es 1/52 (una de esas Jotas es también de corazones
negros, es decir es J y de corazones negros, en términos probabilísticos este evento
corresponde a una probabilidad conjunta) como la regla del juego es que yo gano si la carta
seleccionada es J o de corazones negros, pero si sale J y de corazones negros pierdo la apuesta,
entonces esta probabilidad conjunto resto de las demás probabilidades.

7. 7
Por consiguiente la probabilidad de que la carta seleccionada sea J o de corazones negros es:
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
P(A o B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 0,31 = 31%
El 31% significa que si se realiza 100 extracciones, en 31 de esas extracciones posiblemente
la carta seleccionada sea J o de corazones negros
4.2. Reglas de la multiplicación
Se aplica cuando se desea obtener la probabilidad de ocurrencia del evento A y del evento B,
observe el símbolo “y” este corresponde a la regla de la multiplicación.
Tiene dos formas
c) cuando los eventos son independientes
d) cuando los eventos no son independientes
4.2.1. Cuando los eventos son independientes
Concepto: dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de un evento no afecta la
probabilidad de ocurrencia del otro evento,
Ejemplo: en dos lanzamientos de una moneda, si en el primer lanzamiento la moneda cae
cara, esta caída no asegura que en el segundo lanzamiento también caiga cara.
Se usa la fórmula
P(A y B) = P(A) * P(B)
Ejemplo: se realiza una apuesta de $ 100,00, mediante dos lanzamientos de una moneda, yo
gano la apuesta si en el primer y segundo lanzamiento la moneda cae en cara, deseo saber
¿Cuál es probabilidad que tengo para ganar?
Sea A el evento que salga cara en el primer lanzamiento y sea B el evento que salga cara en el
segundo lanzamiento, entonces:
La probabilidad de que salga A es 1/2
La probabilidad de que salga B es 1/2
Entonces la probabilidad de que salga cara y cara en los dos lanzamientos es:

8. 8
P(A y B) = P(A) * P(B)
P(A y B) = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%
El 25% significa que de todos los resultados posibles del experimento el 25% de estos
corresponde a la condición dada, como este experimento tiene 4 resultados posibles,(cara -
cara; cara - sello; sello - cara; sello - sello) observe que en uno de los cuatro resultados (cara
–cara) se cumple la condición; ojo, no se olvide, de que estamos en probabilidades es decir
posibilidades, si bien es cierto en este juego conoce de antemano la probabilidad de ganar,
esto no le da la certeza de que va a ganar, como puede ganar o como puede perder.
4.2.2. Cuando los eventos no son independientes
Para estos casos se hace referencia al concepto de probabilidad condicional y es la
probabilidad de ocurrencia de un evento dado que otro ya ha ocurrido y se conoce su
probabilidad, es decir la probabilidad de un evento se ve influida por la ocurrencia de otro
evento relacionado.
Se hace uso de la fórmula
P(A y B) = P(A) * P(B/A)
El símbolo “/” se lee “dado que”
Ejemplo:
Se tiene una urna con 15 bolas; 10 de color negro y 5 cinco de color blanco
Se realiza una apuesta de $ 100,00, con la siguiente condición, se debe realizar dos
extracciones, sin reposición, yo gano la apuesta si en cada extracción saco una bola de color
negro, deseo saber ¿Cuál es probabilidad que tengo para ganar?
Sea A el evento que en la primera extracción saco una bola de color negro y sea B el evento de
que en la segunda extracción también saco una bola de color negro, entonces:
La probabilidad de que salga A en la primera extracción es 10/15 (se tiene 10 bolos negras de
un total de 15 que están en la urna)
La probabilidad de que salga B en la segunda extracción es 9/14 (Como ya salió una bola
negra, en la urna quedan 9 bolas de color negro, como en total eran 15 bolas y salió una,
quedan en la urna 14 bolas, en términos probabilísticos se dice, la probabilidad de que en la

9. 9
segunda extracción salga una bola de color negro es 9/14 dado que en la primera extracción
ya salió una bola negra)
Por consiguiente la probabilidad de que en las dos extracciones las bolas que se obtenga sean
de color negro es:
P(A y B) = P(A) * P(B/A)
P(A y B) = 10/15 * 9/14 = 90/210 = 3/7= 0,43 = 43%
El 43% significa que si realizo 100 veces dos extracciones, en 43 de estas veces, posiblemente
salga en las dos extracciones bolas de color negro
5. REGLAS DE CONTEO
Son útiles para conocer el total de resultados posibles de un experimento, cuando este no se
puede determinar por simple inspección
Existen tres reglas
 Regla de la multiplicación o por etapas
 Combinaciones
 Permutaciones
5.1. Regla de la multiplicación o por etapas
Si un experimento tiene varias etapas y la primera etapa tiene n1 resultados posibles; la etapa
dos tiene n2 resultados posibles; la etapa tres tiene n3 resultados posibles; el total de resultados
posibles del experimento se obtiene multiplicando n1 x n2 x n3
Ejemplo:
Deseo saber de cuantas formas puedo combinar 2 ternos (café, negro) y 2 corbatas (azul, roja)
que poseo en mi armario
Sean:
Etapas resultados posibles (cantidad)
Ternos 2
Corbatas 2
Total de resultados posibles: 2 x 2 = 4 resultados posibles o formas de combinar los ternos con
las corbatas

10. 10
5.1.1. Diagrama de árbol
Es una gráfica de puntos y líneas, en la que se señala los resultados posibles de un evento, y el
total de ellos, las líneas suele denominarse ramas.
Ejemplo
RESULTADOS
CORBATAS Terno café corbata azul
TERNOS azul
café roja
Terno café corbata roja
Terno negro corbata azul
negro azul
roja Terno negro corbata roja
TOTAL RESULTADOS 4
5.2. Combinaciones
Es útil cuando se tiene un grupo de elementos “n” y se toma una parte de ellos “r” y se quiere
determinar cuántas ordenaciones o resultados posibles se pueden hacer de estos “n” elementos
tomando “r” a la vez
En este tipo de ordenaciones no importa o no interesa la ubicación de cada elemento, por lo
que si uno de los elementos del grupo es A y el otro B, las formas AB y BA son iguales; no
interesa si A está a la izquierda de B o si está a la derecha de B por lo que AB = BA
La fórmula que se utiliza es

11. 11
nCr =
𝑛ǃ
𝑟ǃ(𝑛−𝑟)ǃ
Donde:
C = símbolo que representa combinación
n= la cantidad total de elementos que conforman el grupo
r= la cantidad de elementos que se toman del grupo para combinar
nCr = combinación de n elementos tomados r a la vez
Explicación de 𝒏ǃ
se lee “ene” factorial, representa la multiplicación de todos los números comprendidos entre n
hasta 1, en sentido descendente o desde 1 hasta n en sentido ascendente
En forma simbólica
𝑛ǃ = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)(1)
Ejemplo
7ǃ = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Se sabe que 0ǃ = 1
Ejemplo de combinaciones
Sean las letras A,B,C,D,E,F,G se desea formar palabras (no importa si no tiene sentido) de tres
letras, es decir cuántas formas o resultados posibles se obtiene de las 7 letras tomando 3 a la
vez.
Aplicando la formula se obtiene:
nCr =
𝑛ǃ
𝑟ǃ(𝑛−𝑟)ǃ
nCr =
7ǃ
3ǃ(7−3)ǃ
= nCr =
7ǃ
3ǃ(4)ǃ
= nCr =
7 𝑥 6 𝑥 5 𝑥 4ǃ
3ǃ(4)ǃ
= nCr =
7 𝑥 6 𝑥 5
3ǃ
nCr =
7 𝑥 6 𝑥 5
3 𝑥 2 𝑥 1
= nCr = 7 x 5 = 35
Esto es: de las 7 letras se pueden formar 35 combinaciones o palabras tomando tres a la vez

12. 12
Ahora cabe la pregunta
¿Cuáles son esas palabras?
ABC ABD ABE ABF ABG ACD ACE ACF ACG ADE ADF ADG
AEF AEG AFG BCD BCE BCF BCG BDE BDF BDG BEF BEG
BFG CDE CDF CDG CEF CEG CFG DEF DEG DFG EFG
Observe, ABC se presenta una sola vez, no hay otras combinaciones en las que tanto A como
B o como C se ubiquen en diferente lugar, como por ejemplo BAC o BCA o CAB o CBA; todas
estas ordenaciones son iguales a ABC, al respecto se señaló que en este tipo de ordenaciones
(combinaciones) no interesa la ubicación de las letras
5.3. Permutaciones
Es útil cuando se tiene un grupo de elementos “n” y se toma una parte de ellos “r” y se quiere
determinar cuántas ordenaciones o resultados posibles se pueden hacer de estos “n” elementos
tomando “r” a la vez
En este tipo de ordenaciones si importa o si interesa la ubicación de cada elemento, por lo que
si uno de los elementos del grupo es A y el otro B, las formas AB y BA no son iguales; por
cuanto en la primera forma A está a la izquierda de B y en la segunda forma A está a la
derecha de B por lo que AB ≠ BA
La fórmula que se utiliza es
nPr =
𝑛ǃ
(𝑛−𝑟)ǃ
Donde:
P = símbolo que representa permutación
n= la cantidad total de elementos que conforman el grupo
r= la cantidad de elementos que se toman del grupo para combinar
nPr = permutación de n elementos tomados r a la vez
Ejemplo

13. 13
Sean las letras A,B,C,D,E,F,G se desea formar palabras (no importa si no tiene sentido) de tres
letras, es decir cuántas permutaciones o resultados posibles se obtiene de las 7 letras tomando
3 a la vez.
Aplicando la formula se obtiene:
nPr =
𝑛ǃ
(𝑛−𝑟)ǃ
nPr =
7ǃ
(7−3)ǃ
= nPr =
7ǃ
(4)ǃ
= nCr =
7 𝑥 6 𝑥 5 𝑥 4ǃ
4ǃ
= nPr = 7 x 6 X 5 = 210
Esto es: de las 7 letras se pueden formar 210 permutaciones o palabras tomando tres a la vez
¿Cuáles son esas palabras?
ABC ABD ABE ABF ABG ACB ACD ACE ACF ACG ADB ADC
ADE ADF ADG AEB AEC AED AEF AEG AFB AFC AFD AFE
AFG AGB AGC AGD AGE AGF
Observe, ABC tiene otra combinación similar porque tanto A como B o como C se ubican
en diferente lugar, esto es la forma ACB; Al respecto se señaló que en este tipo de
ordenaciones (permutaciones) si interesa la ubicación de las letras por lo que ABC ≠ ACB
La lista de palabras antes señaladas es tan solo una parte de las 210 formas.
Procedimiento para formar el total de permutaciones
1. Por medio de la formula respectiva se determina el total de permutaciones que debe
obtenerse de n objetos tomados r a la vez, en el presente ejemplo son 210 permutaciones
2. Este valor (210) se divide para el total de elementos que forma el grupo, como son en total
7 letras se divide 210 para 7 obteniendo como resultado 30
3. Este número (30) me indica que cada letra debo escribir 30 veces ya sea en sentido
horizontal o vertical, de esta forma se tendrá 7 filas o columnas, cada fila o columna
corresponde a cada letra, las columnas deben estar separadas entre si a fin de dar lugar a
las demás letras que faltan.
4. Como ya se escribió la primera letra, me quedan 6 letras en el grupo
5. Como cada fila o columna tiene 30 veces la letra, divido 30 para 6 que corresponde al total
de letras que quedaron, obteniendo como resultado 5

14. 14
6. Este número (5) indica que se escribe en cada fila o columna junto a la primera letra 5
veces cada letra de las 6 que quedaron, se aconseja escribir las letras en orden alfabético,
esto es si la primera letra es A la segunda será B,
B,B,B,B,C,C,C,C,C,D,D,D,D,D,E,E,E,E,E,F,F,F,F,F,G,G,G,G,G
7. Como ya se escribió la segunda letra me quedan 5 letras en el grupo
8. Como en cada columna la segunda letra se repite 5 veces, se divide este número para 5
que corresponde al total de letras que quedaron, obteniendo como resultado 1
9. Este número (1) indica que debo escribir en cada fila o columna junto a la segunda letra,
una vez cada letra de las 5 que quedaron, se aconseja escribir la tercera letra en orden
alfabético, observando que letras son las que ya están escritas para no repetir, esto es si la
primera y segunda letra son AB AB AB AB AB
10. AC AC AC AC AC … la tercera letra que va en las formas AB es C, D, E,F,G
quedando las formas. ABC ABD ABE ABF ABG en las formas AC faltan las letras B,
D, E,F,G escribiendo estas las formas quedan: ACB ACD ACE ACF ACG
Este procedimiento se repite en cada columna o en cada fila, al final se tiene 210
permutaciones de n letras tomadas r a la vez.
6. TEOREMA DE BAYES
Se usa para actualizar la medida de probabilidad de un evento cuando se adquiere
información adicional de otro evento relacionado con el primero.
Suponga que se tiene un evento A cuya probabilidad es P(A). si se observa nueva información
y vemos que ha ocurrido un evento relacionado, representado por B, se aprovecha esta
información para calcular una nueva probabilidad del evento A. esta nueva probabilidad del
evento A se llama Probabilidad condicional y se escribe como P(A/B) se lee, la probabilidad de
A dado B
6.1. Probabilidad a priori.- Son estimaciones iniciales para un evento especifico en
particular
6.2. Probabilidad a posteriori.- Es la probabilidad actualizada de las estimaciones iniciales,
esto con base en fuentes como una muestra, una información o la prueba de un producto
que nos dan información adicional sobre el evento especifico o particular objeto de estudio.

15. 15
Fórmula del teorema de Bayes
P(A1/M) =
𝑃(𝐴₁)𝑃( 𝑀/𝐴₁)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑀/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
El significado de las letras se da a conocer mediante el siguiente problema
Ejemplo:
Suponga que una empresa manufacturera recibe embarques de partes(piezas), de dos
proveedores distintos. Sea A1 el evento de que una parte provenga del proveedor 1 y A2 el
evento de que una parte provenga del proveedor 2.
Actualmente, 65% de las partes que compra la empresa provienen del proveedor 1 y 35%
restante del proveedor 2. En consecuencia si se selecciona una parte al azar, diríamos que la
probabilidad de que la pieza sea del proveedor 1 es P(A1) = 0,65 o que sea del proveedor 2 es
P(A2) = 0,35.
La calidad de las partes varía según su origen. Los datos históricos sugieren que el desempeño
en términos de calidad de los dos proveedores es el siguiente:
Porcentaje Porcentaje
de piezas buenas de piezas malas
Proveedor 1 98 2
Proveedor 2 95 5
Suponga que las partes de los dos proveedores se usan en el proceso de manufactura y que
una maquina se descompone al tratar de procesar una parte defectuosa. Dada la información
de que una parte es mala, ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor 1 y cual la
del proveedor 2?
A. Datos del problema
Simbología
1. De los proveedores

16. 16
A1 = Proveedor 1
A2 = Proveedor 2
De la calidad de las partes
B = buenas
M = malas
2. Probabilidad a priori o inicial
Probabilidad a priori de que las partes vengan del proveedor 1 es: P(A1) = 0,65
Probabilidad a priori de que las partes vengan del proveedor 2 es: P(A2) = 0,35
3. Probabilidad condicional
1. Probabilidad de que las partes sean buenas dado que vienen del proveedor 1 es: P(B/A1) =
0,98
2. Probabilidad de que las partes sean malas dado que vienen del proveedor 1 es: P(M/A1) =
0,02
3. Probabilidad de que las partes sean buenas dado que vienen del proveedor 2 es: P(B/A2) =
0,95
4. Probabilidad de que las partes sean malas dado que vienen del proveedor 2 es: P(M/A1) =
0,05
5. Diagrama de árbol
Esta problema es de dos etapas: etapa 1 corresponde a los proveedores y la etapa 2 a la
condición buenas o mala

17. 17
RESULTADO EXPERIMENTAL
ETAPA 2
ETAPA 1 (CONDICION) (A1 B)
(PROVEEDOR) B
A1 M (A1 M)
A2 (A2B)
B
M (A2M
Insertando las probabilidades respectivas y calculando la probabilidad conjunta se tiene:
ETAPA 1 ETAPA 2 PROBABILIDAD DEL RESULTADO
(probabilidad conjunta)
PROVEEDOR) (CONDICION)
P(B/A1) P(A1 y B) = P(A1 )P(B/A1) = 0,65 X 0,98 = 0,6370
0,98
P(A1) P(M/A1)
0,02 P(A1 y M) = P(A1 )P(M/A1) = 0,65 X 0,02 = 0,0130
0,65
0,35
P( A2) P(B/A2) P(A2 y B) = P(A2 )P(B/A2) = 0,35 X 0,95 = 0,3325
0,95
P(M/A2)

18. 18
0,05 P(A2 y B) = P(A2 )P(M/A2) = 0,35 X 0,05 = 0,0175
Estos resultados no son los esperados, estos corresponden a los siguientes enunciados
1. La probabilidad de que la pieza venga del proveedor 1 y sea buena es: 0,6370
2. La probabilidad de que la pieza venga del proveedor 1 y sea mala es: 0,0130
3. La probabilidad de que la pieza venga del proveedor 2 y sea buena es: 0,3325
4. La probabilidad de que la pieza venga del proveedor 2 y sea mala es: 0,0175
Además hay que tomar en cuenta que símbolo de la probabilidad condicional en cada caso es
de la forma P(B/A) o P(M/A) que se lee la probabilidad de B o M dado A.
Siguiendo con el problema este tiene una pregunta ¿Cuál es la probabilidad de que provenga
del proveedor 1 y cual la del proveedor 2? Es esta se desea saber ¿Cuál es la probabilidad de
que la pieza defectuosa provenga del proveedor 1 y cual la del proveedor 2. En símbolos se
pide P(A1/M) o P(A2 /M), dando lectura esta simbología será: la probabilidad de que la pieza sea
del proveedor uno dado que esta es mala es igual a: ?
O, la probabilidad de que la pieza sea del proveedor dos dado que esta es mala es igual a: ?
Ligeramente se podría decir que la probabilidad que venga del proveedor 1 es 0,65 y que la
probabilidad de que venga del proveedor 2 es 0,35; recuerde que estas son probabilidades a
priori es decir son probabilidades subjetivas. Suponga que no se tiene registro de las partes
por proveedor, todas las partes se juntan al momento de almacenar, por lo que no se puede
señalar probabilidad alguna relacionada con los proveedores.
Al respecto debe determinar (actualizar) las probabilidades dadas a priori, (dado que ha
sucedido otro evento relacionado, esto es una maquina se averió por el uso de una parte
defectuosa). Recuerde no se conoce si corresponde al proveedor 1 o al proveedor 2; tampoco
se podrá conocer con certeza, se desea saber la intensidad de la probabilidad que relacione a
los proveedores. Se desea conocer las nuevas probabilidades (probabilidades e posteriori), esto
es la probabilidad de que provenga del proveedor 1 dado que la parte es defectuosa, y la
probabilidad de que provenga del proveedor 2 dado que la parte es defectuosa.
Aplicando las fórmulas respectivas se tiene los siguientes resultados:
P(A1/M) =
𝑃(𝐴₁)𝑃( 𝑀/𝐴₁)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑀/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
Al sustituir los valores del ejemplo, la probabilidad posterior del proveedor A1 Será:

19. 19
P(A1/M) =
𝑃(𝐴₁)𝑃( 𝑀/𝐴₁)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑀/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
P(A1/M) =
(0,65)( 0,02)
(0,65)(0,02) +(0,35)(0,005)
=
0,0130
(0,0130) +(0,0175)
=
0,0130
0,0305
= 0,4262
Este valor señala que la probabilidad posteriori de que la pieza defectuosa provenga del
proveedor 1 es 0,4265, es menor que la probabilidad inicial.
Si se calcula la probabilidad posteriori del proveedor 2 se tiene:
P(A2/M) =
𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑀/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
P(A1/M) =
(0,35)( 0,05)
(0,65)(0,02) +(0,35)(0,005)
=
0,0175
(0,0130) +(0,0175)
=
0,0175
0,0305
= 0,5738
Este valor señala que la probabilidad posterior de que la pieza defectuosa provenga del
proveedor 2 es 0,5738, es mayor que la probabilidad inicial
Comparando las nuevas probabilidades se puede señalar que la pieza defectuosa posiblemente
proviene del proveedor 2
Nota: El teorema de Bayes se usa en eventos mutuamente excluyentes.
Ejercicio de refuerzo
Un equipo de beisbol juega 70% de sus partidos por la noche y 30% durante el día. El equipo
gana 50% de sus juegos nocturnos y 90% de los juegos diurnos. De acuerdo con el diario del
día de hoy, ganó ayer. ¿Cuál es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado por la
noche?
DATOS
Sean
A1 = El juego en la noche
A2 = El juego en el día
G = El equipo gana
S= El equipo pierde

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Probabilidad a priori
La probabilidad a priori de que el equipo juega en la noche es: P(A1) = 0,70
La probabilidad a priori de que el equipo juega en el día es P(A2) = 0,30
Probabilidades condicionales
La probabilidad de que el equipo gana dado que juega en la noche es: P(G/A1) = 0,5
La probabilidad de que el equipo gana dado que juega en el día es: P(G/A2) = 0,9
Árbol de probabilidades
ETAPA 1 ETAPA 2 PROBABILIDAD DEL RESULTADO
(juegos) (CONDICION)
P(G/A1) P(A1 y G) = P(A1 )P(G/A1) = 0,70 X 0,50 = 0,35
0,5
P(A1) P(S/A1)
0,5 P(A1 y S) = P(A1 )P(S/A1) = 0,70 X 0,5 = 0,35
0,70
0,30
P( A2) P(G/A2) P(A2 y G) = P(A2 )P(G/A2) = 0,30 X 0,90 = 0,27
0,90
P(G/A2)
0,10 P(A2 y S) = P(A2 )P(S/A2) = 0,30 X 0,10 = 0,03
 DISTRIBUCIONES DISCRETAS
A) INTRODUCCIÓN
Una distribución de probabilidad es una representación de todos los resultados posibles de
algún experimento y de la probabilidad relacionada con cada uno.Una distribución de
probabilidad es discreta cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos

21. 21
de variables aleatorias discretas, es decir, de variables que sólo puede tomar ciertos valores,
con frecuencia números enteros, y que resultan principalmente del proceso de conteo.
Ejemplos de variables aleatorias discretas son:
Número de caras al lanzar una moneda
El resultado del lanzamiento de un dado
Número de hijos de una familia
Número de estudiantes de una universidad
Ejemplo ilustrativo
Sea el experimento aleatorio de lanzar 2 monedas al aire. Determinar la distribución de
probabilidades del número de caras.
Solución:
El espacio muestral es S = {CC, CS, SC, SS}
La probabilidad de cada punto muestral es de 1/4, es decir, P(CC) = P(CS) = P(SC) = P(SS) = 1/4
La distribución de probabilidades del número de caras se presenta en la siguiente tabla:
Resultados (N° de
Caras)
Probabilidad
0
1/4 = 0,25 =
25%
1
2/4 = 0,50 =
50%
2
1/4 = 0,25 =
25%
El gráfico de distribuciones de probabilidad en 3D elaborado en Excel se muestra en la
siguiente figura:

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Interpretación:
La probabilidad de obtener 0 caras al lanzar 2 monedas al aire es de 1/4 = 0,25 = 25%
La probabilidad de obtener una cara al lanzar 2 monedas al aire es de 2/4 = 0,5 = 50%
La probabilidad de obtener 2 caras al lanzar 2 monedas al aire es de 1/4 = 0,25 = 25%
B) LA MEDIA Y LA VARIANZA DE LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS
i) Media
La media llamada también valor esperado, esperanza matemática o simplemente esperanza de
una distribución de probabilidad discreta es la media aritmética ponderada de todos los
resultados posibles en los cuales los pesos son las probabilidades respectivas de tales
resultados. Se halla multiplicando cada resultado posible por su probabilidad y sumando los
resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula:
ii) Varianza
La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media. La
varianza mide la dispersión de los resultados alrededor de la media y se halla calculando las
diferencias entre cada uno de los resultados y su media, luego tales diferencias se elevan al
cuadrado y se multiplican por sus respectivas probabilidades, y finalmente se suman los
resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula:
Ejemplo ilustrativo:
Hallar la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar del número de caras al
lanzar tres monedas al aire.
Solución:
El espacio muestral es S = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}

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La probabilidad de cada punto muestral es de 1/8
Se elabora las distribuciones de probabilidad y se realiza los cálculos respectivos. Estos
resultados se presentan en la siguiente tabla:
Interpretación:
C) DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
i) Definición:
Cuando se dispone de una expresión matemática, es factible calcular la probabilidad de
ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado específico para la variable aleatoria.
La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticos (expresión
matemática para representar una variable) que se utiliza cuando la variable aleatoria discreta
es el número de éxitos en una muestra compuesta por n observaciones.
ii) Propiedades:
- La muestra se compone de un número fijo de observaciones n
- Cada observación se clasifica en una de dos categorías, mutuamente excluyentes (los eventos
no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una persona no puede ser de ambos sexos)
y colectivamente exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una
moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A estas categorías se las denomina éxito y
fracaso.

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- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de una
observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observación se clasifique
como fracaso, 1-p, es constante en todas las observaciones.
- La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n
iii) Ecuación:
iv) Media de la distribución binomial
v) Desviación estándar de la distribución binomial
D) DISTRIBUCIÓN DE POISSON
i) Introducción.- Muchos estudios se basan en el conteo de las veces que se presenta un evento
dentro de un área de oportunidad dada. El área de oportunidad es una unidad continua o
intervalo de tiempo o espacio (volumen o área) en donde se puede presentar más de un evento.
Algunos ejemplos serían los defectos en la superficie de un refrigerador, el número fallas de
lared en un día, o el número de pulgas que tiene un perro. Cuando se tiene un área de
oportunidad como éstas, se utiliza la distribución de Poisson para calcular las probabilidades
si:
- Le interesa contar las veces que se presenta un evento en particular dentro de un área de
oportunidad determinada. El área de oportunidad se define por tiempo, extensión, área,
volumen, etc.

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- La probabilidad de que un evento se presente en un área de oportunidad dada es igual para
todas las áreas de oportunidad.
- El número de eventos que ocurren en un área de oportunidad es independiente del número
de eventos que se presentan en cualquier otra área de oportunidad.
- La probabilidad de que dos o más eventos se presenten en un área de oportunidad tiende a
cero conforme esa área se vuelve menor.
ii) Fórmula.-