Apunte 3 probabilidad

3.3.PROBABILIDAD
CONTENIDO
3 PROBABILIDAD................... 46
3.1 INTRODUCCION.........................................................46
3.2 LENGUAJE DE LA PROBABILIDAD......................46
3.3 DEFINICIONES DE PROBABILIDAD......................48
3.3.1 DEFINICION FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD.............................. 48
3.3.2 DEFINICION CLASICA DE PROBABILIDAD O DE LAPLACE........... 50
3.3.3 PROBABILIDAD SUBJETIVA.................................................................... 51
3.4 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD............ 51
3.5 REGLAS DE LA PROBABILIDAD........................ 51
3.5.1 PROBABILIDAD SIMPLE (o MARGINAL).......................................... 52
3.5.2 PROBABILIDAD CONJUNTA................................................................. 53
3.5.3 REGLA DE LA SUMA.................................................................................. 54
3.5.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL............................................................. 55
3.5.5 INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA............................................................. 56
3.5.6 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN....................................................... 57
3.5.7 TEOREMA DE LAS PROBABILIDADES TOTALES............................ 59
3.5.8 TEOREMA DE BAYES............................................................................... 60
3.6 TRABAJO PRÁCTICO................................................62

PROBABILIDAD
3 PROBABILIDAD
3.1 INTRODUCCION
Tal vez esté familiarizado con algunas ideas de probabilidad, ya que ésta forma parte de la
cultura cotidiana. Con frecuencia se escucha a personas que hacen afirmaciones relacionadas
con la probabilidad como las siguientes:
 Probablemente nuestro equipo gane esta noche.
 Hay un 40 % de probabilidad de que llueva mañana.
 Tengo una posibilidad de 50-50 de aprobar el examen de estadística de hoy.
 Es más probable que nos encontremos un fin de semana que un día de la semana.
¿Qué significan exactamente este tipo de expresiones? ¿Significan de hecho lo que afirman?.
Algunas afirmaciones pueden estar basadas en información científica y otras en prejuicios
subjetivos. Cualquiera que sea el caso, son inferencias probabilísticas: no hechos, sino
conjeturas.
Como ya se vio en el ejemplo de las elecciones de gobernador e intendente (capítulo 1, pag.
5), no se puede tener la certeza de que el porcentaje de votos obtenido por un candidato
cualquiera aparezca en una muestra aleatoria. Sin embargo, es “probable” que el porcentaje
en la muestra resulte “próximo” al que se obtuvo en el acto eleccionario.
Se tiene como propósito definir “probable”, “próximo”, de manera más precisa.
Para ello es necesario considerar en primer término una serie de nociones básicas sobre el
conocimiento de las “leyes de probabilidad”.
En este capítulo se estudiará el concepto básico de probabilidad y sus reglas aplicadas a
sucesos simples y sucesos compuestos.
La teoría de la probabilidad es la base de la inferencia estadística y un instrumento esencial
en el análisis de la variabilidad.
3.2 LENGUAJE DE LA PROBABILIDAD
 Experimento aleatorio
Es el tipo de fenómenos de que nos ocuparemos. Se caracterizan porque:
 aunque no se puede saber el resultado particular que ocurrirá, se puede describir el
conjunto de todos los resultados posibles
 después de un gran número de repeticiones de la experiencia aleatoria, existe una
distribución regular de los resultados. Es decir, a medida que el experimento se repite
los resultados parecen ocurrir de manera caprichosa, sin embargo, ante un gran
número de repeticiones aparece un modelo definido de regularidad. Esta regularidad
hace posible la construcción de un modelo matemático que permite el análisis del
experimento.
 Esto se puede visualizar en el ejemplo del lanzamiento de una moneda (ver punto.
3.3.1, pag. 49).
G.Carnevalli-E.Franchelli-G.Gervasoni
46

PROBABILIDAD
“Aleatorio” en estadística no significa de cualquier manera, sino que se refiere a una
clase de orden que únicamente aparece a largo plazo.
 Espacio muestral y sucesos
 En una experiencia aleatoria cada resultado se conoce con el nombre de suceso.
 Se llama suceso elemental a todo resultado simple. Por ejemplo, si se considera la
experiencia aleatoria de tirar un dado, cada uno de los resultados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son
sucesos elementales.
 Al conjunto de todos los sucesos elementales posibles se lo llama espacio muestral
(S)
En el ejemplo S = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Simbólicamente: S = {s1, s2, s3..... }
El espacio muestral puede ser finito o infinito, numérico o no numérico
 Un suceso que no puede ocurrir ante una repetición de la experiencia aleatoria es un
suceso imposible. Se lo suele indicar ∅.
 Relaciones entre sucesos
Sean A, B y C sucesos asociados a una experiencia aleatoria. Las posibles relaciones
entre los mismos se muestran a continuación gráfica y simbólicamente:
a
Complemento A ∪ A = S
b
Mutuamente excluyentes A ∩ B = ∅
c
No mutuamente excluyentes A ∩ B ≠ ∅
 El complemento de cualquier suceso es el conjunto de resultados que no están
contenidos en ese suceso.
47
S
A
B
S
_
A
A
S
B
A

PROBABILIDAD
 Los sucesos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos impide la
ocurrencia del otro.
Es importante distinguir el conjunto resultante de la unión ( ∪ ) o intersección ( ∩ ) de
sucesos:
 Si A y B son sucesos, A ∪ B es el suceso que ocurre si y sólo si A o B (o ambos)
ocurren.
 Si A y B son sucesos, A ∩ B es el suceso que ocurre si y sólo si A y B ocurren
simultáneamente.
 Ejercicios
Considerando la experiencia aleatoria de arrojar un dado y registrar el nº de la cara superior:
a) Si se pensara en tirar el dado un número infinito de veces: defina la población y clasifíquela.
b) Proponga para la experiencia aleatoria:
- un suceso elemental
- un suceso imposible
- dos sucesos mutuamente excluyentes
- dos sucesos no mutuamente excluyentes
3.3 DEFINICIONES DE PROBABILIDAD
3.3.1 DEFINICION FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD
En el punto 3.2.1. se han definido las características de un experimento aleatorio. Un ejemplo
de experiencia aleatoria es el lanzamiento de una moneda. Cuando se lanza una moneda al
aire sólo hay dos resultados posibles, cara o cruz. El resultado no se puede predecir de
antemano y variará cuando se lance en forma repetida, sin embargo se observa una cierta
regularidad en los resultados, una regularidad que sólo emerge después de muchas
repeticiones.
La figura 3.1 muestra la regularidad observada al lanzar una moneda 1000 veces. Para cada
lanzamiento, desde el primero hasta el último, se ha representado la proporción de
lanzamientos que han dado “cara” hasta ese momento. El primer lanzamiento fue cara, por
tanto, la proporción de caras empieza siendo 1. El segundo lanzamiento fue cruz. Después de
los dos lanzamientos, la proporción de caras se ha reducido a 0.5. Los siguientes tres
lanzamientos dieron una cruz seguida de dos caras, por consiguiente, la proporción de caras
después de cinco lanzamientos es 3/5 ó 0,6.
La proporción de lanzamientos que dan cara es bastante variable al principio, pero
posteriormente se estabiliza a medida que se hacen más y más lanzamientos. Llega un
momento en que esta proporción se acerca a 0,5 y se mantiene en ese valor. Se dice que 0,5
es la probabilidad de que salga cara.
Una probabilidad de 0,5 significa que el suceso cara “ocurre la mitad de las veces después de
muchos lanzamientos”. En otras palabras, se puede decir que si se arrojara un gran número
de veces esa moneda al aire, aproximadamente el 50 % de las veces se observaría el
48

PROBABILIDAD
resultado cara o expresándolo en los términos anteriormente vistos, la frecuencia relativa del
suceso cara sería aproximadamente 0,5.
Figura 3.1
Formalizando, se define:
ε : lanzar una moneda al aire y registrar el resultado
El espacio muestral asociado a ε : S = { C ; X }
Sea:
s1: cara
n1: frecuencia absoluta del suceso s1
n : nº de repeticiones del ε
( )
n
n
sf
1
1 = : proporción de veces que se verifica cara en n tiradas.
Generalizando:
( ) ( )in
i
i sP
n
n
sf  →=
∞→
Es decir, la probabilidad de un suceso (o resultado) es el número hacia el cual tiende la
frecuencia relativa del mismo cuando el número de repeticiones de la experiencia tiende a
infinito. Es decir, es una frecuencia relativa calculada en la población.1
Esta definición de probabilidad se conoce como definición frecuencial de probabilidad2
.
1
La interpretación de la probabilidad como frecuencia relativa en el límite se basa en la observación de un gran
número de repeticiones. Surge ahora la pregunta, ¿cuántas repeticiones se deben realizar? Como veremos en el
capítulo 6, con un número finito de repeticiones de la experiencia es posible aproximar la verdadera probabilidad
de un suceso.
2
Este efecto estabilizador de la frecuencia relativa cuando el número de observaciones crece se denomina Ley de
los grandes números.
49
Proporcióndecaras
Número de lanzamientos

PROBABILIDAD
3.3.2 DEFINICION CLASICA DE PROBABILIDAD O DE LAPLACE
Se ha considerado a la probabilidad de ocurrencia de un resultado determinado de una
experiencia aleatoria, como la proporción de veces (frecuencia relativa) que se obtiene dicho
resultado después de una gran cantidad de repeticiones.
Sin embargo, considerando la experiencia aleatoria de arrojar una moneda, se podría haber
conjeturado sin repetir dicha experiencia, que la probabilidad de obtener el resultado “cara” es
0,5.
Esto se sustenta en que si la moneda no está cargada, cada resultado tiene la misma chance
de ocurrir. Esta descripción permite introducir lo que se conoce como definición clásica de
probabilidad o de Laplace. Esta definición sólo puede ser aplicada si:
 el espacio muestral S consta de un número finito de resultados
S = {s1, s2,......... sk}
 todos los resultados son igualmente probables
( ) ( ) ( )ksPsPsP === 21
Al igual que en las frecuencias relativas, la sumatoria de las probabilidades de todos los
sucesos posibles es igual a 1:
( ) ( )
k
isP
k
i
isP
1
1
1
=⇒=∑
=
y por lo tanto, si 
r
i
isA
1=
= donde r ≤ k
entonces
∑
=
==
r
i k
r
ispAP
1
)()(
Suele enunciarse como:
posiblesresultadosden
Aafavorablesresultadosden
AP
º
º
)( =
50

PROBABILIDAD
3.3.3 PROBABILIDAD SUBJETIVA
En los dos enfoques de probabilidad desarrollados anteriormente, se definió a la probabilidad
como la proporción de resultados favorables respecto al total de resultados. En la primera
situación, dicha proporción se basa en datos observados y en la segunda en el conocimiento
previo de un proceso (número finito de resultados igualmente probables).
El tercer enfoque de probabilidad se llama probabilidad subjetiva y se refiere a la probabilidad
asignada a un suceso por una persona en particular. La misma puede ser bastante diferente de
la probabilidad subjetiva que estipula otra persona.
Si un equipo de administración piensa que hay una probabilidad de 0.35 de que un nuevo
producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una probabilidad subjetiva. El valor 0.35 es
una opinión, más que un valor basado en una evidencia objetiva.
Este tipo de probabilidad es frecuente en la toma de decisiones en el mercado, siendo
confiable si la determina un experto en la materia.
3.4 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
Cualquiera sea el enfoque utilizado para determinar la probabilidad de un suceso A, ésta debe
verificar ciertas propiedades:
 Cualquier probabilidad es un número entre 0 y 1 → ( ) 1AP0 ≤≤
 Todos los resultados posibles juntos deben tener una probabilidad de 1 → P(S) = 1
 La probabilidad de que un suceso ocurra es igual a 1 menos la probabilidad de que no
ocurra → ( ) ( )AP1AP −=
 La probabilidad del suceso imposible es 0 → P ( ∅ ) = 0
 Si dos sucesos no tiene resultados en común, la probabilidad de que ocurra cualquiera
de ellos es igual a la suma de sus probabilidades individuales.
3.5 REGLAS DE LA PROBABILIDAD
Existen varias manera de observar un espacio muestral específico. El método que se utiliza a
continuación implica ubicar los sucesos en una tabla de doble entrada o tabla de contigencia3
.
En la tabla siguiente se muestra el número de alumnos varones y mujeres ingresantes en
las distintas carreras de la U.T.N. Rosario, durante el año 2003:
3
Este tipo de tablas fue utilizada para presentar la información de los ejercicios 5 y 6 que se proponen como trabajo
práctico en Estadística Descriptiva (pags. 40-41).
51

PROBABILIDAD
Carrera
Sexo
I.S.I.
Ingeniería
Mecánica
Ingeniería
Química
Ingeniería
Eléctrica
Ingeniería
Civil
Total
Mujer 141 2 50 1 8 202
Varón 496 129 90 68 58 841
Total 637 131 140 69 66 1043
Se considera
 la experiencia aleatoria : seleccionar un alumno al azar de los ingresantes a la Facultad
durante el año 2003
 asociados a la variable cualitativa “sexo”, los sucesos:
 M: ingresante mujer V: ingresante varón
 asociados a la variable cualitativa “carrera a la que ingresa”, los sucesos:
 I : ingresante a I.S.I. F: ingresante a Ing. Mecánica
Q: ingresante a Ing. Química E: ingresante a Ing. Eléctrica
C: ingresante a Ing. Civil
En los puntos siguientes se desarrollarán reglas para obtener diferentes tipos de probabilidad y
para su compresión nos basaremos en la situación planteada anteriormente.
3.5.1 PROBABILIDAD SIMPLE (o MARGINAL)
La probabilidad simple se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso simple. Son
probabilidades simples los ejemplos que se presentan:
 Probabilidad de seleccionar un ingresante mujer:
( ) 19,0
1043
202
===
singresantedetotal
mujeressingresantedenúmero
MP
 Probabilidad de seleccionar un ingresante varón:
( ) 81,0
1043
841
===
singresantedetotal
onesvarsingresantedenúmero
VP
Observe que los sucesos V y M son sucesos complementarios y por lo tanto, la suma de sus
probabilidades es igual a 1.
52

PROBABILIDAD
 Probabilidad de seleccionar un ingresante a I.S.I.:
( ) 61,0
1043
637...
===
singresantedetotal
ISIasingresantedenúmero
IP
3.5.2 PROBABILIDAD CONJUNTA
Cuando se está interesado en conocer la probabilidad de que dos sucesos se verifiquen
simultáneamente, se habla de probabilidad conjunta. Por ejemplo se puede estar interesado
en conocer cuál es la probabilidad de seleccionar un alumno del sexo femenino y que sea
ingresante en I.S.I.. Este suceso se expresa como M ∩ I y la probabilidad se obtiene de la
siguiente forma:
( ) ( ) 14,0
1043
141...
IMIM ===∩=
singresantedetotal
ISIainscriptosemujeressingresantedenúmero
PyP
En la tabla siguiente se presenta la distribución de probabilidades conjuntas y las marginales
respectivas. La distribución marginal está compuesta por el conjunto de probabilidades simples
de los sucesos asociados a cada variable4
:
Carrera
Sexo
I F Q E C
Distribución
marginal de
sexo
M 0,14 0 0,05 0 0 0,19
V 0,47 0,12 0,09 0,07 0,06 0,81
Distribución
marginal de
carrera
0,61 0,12 0,14 0,07 0,06 1
Ahora se puede ver la probabilidad de un suceso simple como la suma de las probabilidades
conjuntas que incluyen dicho suceso. Por ejemplo, se puede pensar la P (M) como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
19,00005,0014,0 =++++=
=∩+∩+∩+∩+∩= MCPMEPMQPMFPMIPMP
4
En las celdas sombreadas se presenta la distribución de las probabilidades conjuntas.
53

PROBABILIDAD
En general
∑ ∩=
=
k
1i
i )BA(P)B(P
Donde A1 , A2, ....... Ak son k sucesos mutuamente excluyentes.
3.5.3 REGLA DE LA SUMA
Para calcular la probabilidad de que ocurra cualquier suceso, A o B, se usa la regla de la
suma.
Esta regla considera que pueden ocurrir el suceso A, el suceso B o ambos sucesos Ay B.
Regla de la suma
)∩(−)(+)(=∪= BΑPΒPΑP)BA(P)BoA(P
La probabilidad del suceso A y B se resta de esta suma porque se incluye dos veces al
calcular la probabilidad de A y la probabilidad de B. Esto se podrá visualizar en el siguiente
ejemplo:
 Retomando el ejemplo de los ingresantes a la UTN, podríamos estar
interesados en conocer la probabilidad de seleccionar un ingresante varón o a
la carrera de Ingeniería Química. Aplicando la regla se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( ) 86,009,014,081,0 =−+=∩−+=∪ QVPQPVPQVP
El cálculo de la probabilidad del suceso anterior puede pensarse también de la siguiente
forma:
( ) ( ) ( ) ( ) 86,009,005,072,0 =++=∩+∩+∩=∪ QVPQVPQVPQVP
 Regla de la suma para sucesos mutuamente excluyentes
Para sucesos mutuamente excluyentes, la regla de la suma se reduce a:
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) [ ya que P ( A ∩ B ) = 0 ]
54
QV ∩
S
V∩Q

PROBABILIDAD
 Regla de la suma para más de dos sucesos
Esta regla se extiende para calcular la probabilidad de ocurrencia de la unión de más de
dos sucesos cualesquiera.
En el caso de tres sucesos ( A, B y C ), se demuestra fácilmente :
( ) )CBA(P)CB(P)CA(P)BA(P)C(P)B(P)A(PCBAP ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪
3.5.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL
Hasta ahora se consideró la probabilidad de ocurrencia de un suceso cuando se realiza una
selección aleatoria a partir de un espacio muestral completo. Sin embargo muchas veces se
conoce cierta información acerca de los sucesos implicados en la experiencia aleatoria. En
estas situaciones, cuando se calcula la probabilidad de que ocurra un suceso dado que se
cuenta con la información de la ocurrencia de otro, se está ante una probabilidad
condicional. Veamos esta situación a través del ejemplo de los alumnos ingresantes:
Se consideran los sucesos M : ingresante mujer
I : ingresante a I.S.I.
Supongamos que al realizar la experiencia aleatoria fue seleccionado un alumno ingresante a
la carrera I.S.I.; es decir, se verificó el suceso I. Interesa conocer la probabilidad de que el
alumno seleccionado sea mujer.
Este es un ejemplo de probabilidad condicional y se lo denota como ( )I
MP , e indica la
probabilidad condicional del suceso M sabiendo que se verificó el suceso I.
El cálculo de esta probabilidad puede hacerse por dos caminos:
 El conocimiento de que el alumno seleccionado es un ingresante a la carrera I.S.I. reduce el
espacio muestral S al espacio muestral reducido I.
Por lo tanto :
( ) →== 22,0
637
141
I
MP probabilidad de M en el espacio muestral reducido I
 El cálculo de la probabilidad condicional a partir de probabilidades calculadas en el espacio
muestral original es :
( ) 22,0
611,0
135,0
043.1
637
043.1
141
637
141
====I
MP
55

PROBABILIDAD
Como )I(Py)IM(P =∩=
043.1
637
1043
141
Se puede expresar:
( ) 0P(I)con
P(I)
)IM(P
I
MP ≠
∩
=
Si se compara P(M) (igual a 0,19) y P(M / I ) (igual a 0,22), se observa que el conocimiento
de que el suceso I ocurrió modifica la probabilidad de ocurrencia del suceso M.
Generalizando:
Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento ε, P(B/A) indica la probabilidad
condicional del suceso B sabiendo que A se ha verificado.
De acuerdo a lo visto en el ejemplo, el cálculo de P(B/A) se puede realizar a partir de:
 espacio muestral reducido
 espacio muestral original aplicando la siguiente fórmula:
(A)P
A)(BP
)AB(P
∩
= con P ( A ) ≠ 0 (1)
Con el mismo razonamiento:
)B(P
)BA(P
)BA(P
∩
= con P ( B ) ≠ 0 (2)
3.5.5 INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA
Como dijimos anteriormente, la probabilidad de seleccionar un ingresante mujer es 0,19; sin
embargo la probabilidad de seleccionar un ingresante mujer cuando se sabe que el ingresante
seleccionado pertenece a ISI, incrementa el valor a 0,22. Este resultado está condicionado por
la información previa.
A diferencia de este ejemplo, cuando el resultado de un suceso no afecta la probabilidad de
ocurrencia de otro suceso, se dice que los sucesos son estadísticamente independientes.
56

PROBABILIDAD
En general:
Los sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta en ninguna forma las
posibilidades de que el otro ocurra.
En consecuencia:
( ) ( ) (B)PABPo(A)PBAP ==
 Se demuestra que si:
A independiente de B ⇒ B independiente de A
y también resultan independientes ByAyByA,ByA
 Volviendo a la situación planteada anteriormente, los sucesos M e I no son
independientes ya que:
( ) ( )
( ) ( )IPP
yMPP
M
I
I
M
≠
≠
Analizando los resultados obtenidos se puede deducir que el conocer que un suceso ha
ocurrido puede aumentar, disminuir o no modificar la probabilidad de ocurrencia de otro suceso
relacionado con el primero. En el caso particular de que un suceso no modifique la probabilidad
de ocurrencia de otro, se dice que los sucesos son independientes.
3.5.6 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
La fórmula de la probabilidad condicional se puede manipular algebraicamente de modo que la
probabilidad conjunta se puede determinar a partir de la probabilidad condicional de un suceso.
De las ecuaciones (1) y (2) de la página 56, resulta:
)A(P.)AB(P)B(P.)BA(P)BA(P ==∩
Esta regla puede aplicarse si se tiene que calcular la probabilidad de que ocurran
conjuntamente tres o más sucesos cualesquiera. Generalizando para n sucesos:
)1-nA2A1AnA(P)2A1A3A(P.)1A2A(P.)1(APiA
n
1i
P  =





=
57

PROBABILIDAD
Para la aplicación de la regla de la multiplicación, es importante determinar si los sucesos son
o no independientes.
Luego, si A y B son sucesos independientes, la regla de la multiplicación resulta:
)B(P.)A(PB)(AP =∩
Generalizando la regla de la multiplicación a más de dos sucesos independientes:
∏=
==
n
1i
ii
n
1i
)A(P)A(P 
 Ejercicios
1. Suponga que se exhiben 20 marcadores en una librería. De estos, 6 son rojos y 14 son
azules. Se seleccionan al azar 2 marcadores del conjunto de 20. Encuentre la probabilidad
de que los dos marcadores seleccionados sean rojos. (Considere los sucesos A1: el primer
marcador seleccionado es rojo y A2: el segundo marcador seleccionado es rojo)
2. Suponga la experiencia aleatoria del ejercicio 1 pero considerando que el primero de los
marcadores elegidos se regresa al mostrador después de determinar su color. Encuentre la
probabilidad de seleccionar marcadores rojos las dos veces.
58
Nota:
Se quiere remarcar la diferencia entre dos conceptos muy importantes: sucesos
independientes y sucesos mutuamente excluyentes:
 Mutuamente excluyentes indica que los dos sucesos no pueden ocurrir al mismo
tiempo; por lo tanto su intersección es vacía.
 La independencia indica que un suceso no afecta la probabilidad de ocurrencia del
otro.
 Dos sucesos no pueden ser a la vez mutuamente excluyentes e independientes. Es
decir:
- Si dos sucesos son mutuamente excluyentes, entonces no son independientes.
- Si dos sucesos son independientes, entonces no son mutuamente excluyentes.

PROBABILIDAD
3.5.7 TEOREMA DE LAS PROBABILIDADES TOTALES
Muchas veces interesa estudiar la probabilidad de ocurrencia de un suceso, pero sólo se
conoce la probabilidad de ocurrencia del mismo asociada a otros sucesos relacionados
(probabilidades condicionadas) y las probabilidades de ocurrencia de estos sucesos.
A continuación se trabaja sobre una situación que ejemplificará lo anteriormente expuesto:
Entre la población económicamente activa de una ciudad, el 40% ha completado el nivel
de instrucción primario, el 50 % el nivel de instrucción secundario y el 10% la universidad.
Entre los individuos que tienen educación primaria hay una 10 % de desempleados, entre los
que tienen educación secundaria un 5 % y entre los graduados universitarios un 2 %. ¿Cuál
es la probabilidad de que un individuo económicamente activo esté desempleado?
 Sean los sucesos:
B : desempleado.
A1 : nivel de instrucción primario completo.
A2 : nivel de instrucción secundario completo.
A3 : nivel de instrucción universitario completo.
 Y sus probabilidades:
P(A1) = 0,40 P(A2) = 0,50 P(A3) = 0,10
P(B/A1) = 0,10 P(B/A2) = 0,05 P(B/A3) = 0,02
Observe que:
A1 , A2 , A3 representan una partición de S y B otro suceso relacionado con Ai .
Se puede expresar:
B = ( A1 ∩ B ) ∪ ( A2 ∩ B ) ∪ ( A3 ∩ B )
Si se conocen:
Sucesos A1 A2 A3 Probabilidad
B 0,04 0,025 0,002 0,067
B 0,36 0,475 0,098 0,933
P (Ai) 0,40 0,50 0,10 1
Luego,
( )
067.002.01.005.05.01.04.0
ABP.)(AP)B(AP)(BP
3
1i
3
1i
iii
=⋅+⋅+⋅=
==∩= ∑ ∑= =
Esto indica que un 6.7 % de los trabajadores están desempleados.
59

PROBABILIDAD
Generalizando
Esta aplicación se conoce como Teorema de las probabilidades totales.
Para resolver este tipo de problemas también es útil recurrir a un diagrama de “árbol”:
P (B/A1)
_
P (B/A1)
P (B/A2)
_
P (B/A2)
P (B/A3)
_
P (B/A3)
3.5.8 TEOREMA DE BAYES
La probabilidad condicional toma en cuenta información acerca de la ocurrencia de un suceso
para encontrar la probabilidad de otro. Este concepto puede extenderse para revisar
probabilidades basadas en nueva información y para determinar la probabilidad de que un
efecto en particular se deba a una causa específica. El procedimiento para revisar estas
probabilidades se conoce como teorema de Bayes.
Se retoma el ejemplo de los trabajadores para aplicar este teorema. Suponga que se elige un
trabajador al azar y se encuentra que es un desempleado ¿cuál es la probabilidad de que
hubiera terminado sus estudios secundarios?
El teorema de Bayes puede desarrollarse a partir de la definición de probabilidad condicional:
( )
0.067
0.025
)BP(
BAP
B)/(AP
2
2 =
∩
=
60
P ( A2
)
P (A1
)
P (A3
)
P(A1
y B) = P(A1
) (B/A1
)
= (0,4) (0,01) = 0,004
P(A1 ∩
B) = P(A1
) (B/A1
)
= (0,4) (0,1) = 0,04
P(A2 ∩
B) = P(A2
) (B/A2
)
= (0,5) (0,05) = 0,025
P(A3 ∩
B) = P(A3
) (B/A3
)
= (0,1) (0,02) = 0,002
( )∑=
⋅=
k
1i
ii ABP)A(P(B)P

PROBABILIDAD
Se puede decir que ciertas “causas” (por ej. tipo de educación: A1, A2 , A3....) tienen
probabilidades a priori P(Ai). Existe un “efecto” B (desempleo), que no siempre ocurre cuando
la causa está presente, por eso se habla de P(B/Ai).
Cuando se usa la probabilidad condicional para invertir lo anterior, se calcula la probabilidad de
una causa, dado el efecto, es decir, la probabilidad a posteriori P (Ai/B)
Dado Se deduce
P ( Ai)
→ P (Ai / B)
P (B / Ai)
En general, el Teorema de Bayes se obtiene en la ecuación:
( )
( )∑=
⋅
⋅
= k
1i
ii
jj
j
ABP)(AP
ABP)(AP
)BA(P
j= 1, 2, 3, .....k
Observe que el denominador no es más que la aplicación del teorema de las probabilidades
totales.
61

PROBABILIDAD
3.6 TRABAJO PRÁCTICO
1. Un conmutador consta de dos líneas L1 y L2. En un momento “t” cualquiera, cada una de las
líneas puede encontrase congestionada ( C ) o descongestionada ( D ).
a) Describa los posibles resultados de observar el estado del conmutador en un momento
“t”.
b) Suponga que se conocen las probabilidades de los sucesos elementales del espacio
muestral:
L1
L2
Congestionada Descongestionada
Congestionada x 0,10
Descongestionada 0,10 0,79
Determine el valor de x e indique que representa dicho valor.
c) Calcule las probabilidades de cada uno de los siguientes sucesos (resuelva
considerando los sucesos F: la línea L1 está congestionada y G: la línea L2 está
congestionada)
A : al menos una línea está congestionada
B : ambas líneas están congestionadas
C : ambas líneas están descongestionadas
D : sólo una línea está congestionada
E : a lo sumo una línea está congestionada
2.- Considere el ejercicio 6 de la unidad nº 2 Estadística descriptiva (pág. 43)
Una compañía de seguros registró entre sus asegurados el número de accidentes del año
2003, obteniendo la siguiente información:
Edad del asegurado
N° de accidentes
( E )
[18-28)
( F )
[28-38)
( G )
[38-48)
( H )
[48-58)
( I )
58 y más
Totales
0 (suceso A) 748 821 786 720 672 3747
1 (suceso B) 84 50 41 66 60 301
2 (suceso C) 41 15 12 16 25 109
más de 2 (suceso D) 10 9 5 5 8 37
Totales 883 895 844 807 765 4191
a) ¿Qué variables se pueden identificar en este estudio? Clasifíquelas.
Calcule la probabilidad de que un asegurado elegido al azar:
b) tenga entre 28 y 38 años de edad
c) haya tenido un accidente
d) haya tenido un accidente y tenga entre 28 y 38 años de edad
62

PROBABILIDAD
e) haya tenido un accidente si tiene entre 28 y 38 años de edad
f) Calcule las probabilidades para los sucesos simples asociados a la variable “nº de
accidentes”.
3.- Un contratista tiene ocho proveedores a los cuales puede comprarles insumos eléctricos.
Seleccionará aleatoriamente a tres de ellos y pedirá a cada uno que presente una
cotización del proyecto.
a) ¿De cuántas maneras puede seleccionarse a los proveedores?
b) Si su compañía es uno de los ocho proveedores ¿cuál es la probabilidad de que tenga
oportunidad de cotizar el proyecto?
4.- Una compañía recibe un embarque de 20 discos duros. Antes de aceptarlo, selecciona
aleatoriamente cinco de ellos y los somete a prueba. El embarque se acepta si los cinco
discos cumplen con las especificaciones, en caso contrario se regresan todos al fabricante.
Si tres de los 20 discos son defectuosos.
a) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse una muestra de cinco discos duros?
b) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse una muestra de cinco discos duros que
cumplan con las especificaciones?
c) ¿cuál es la probabilidad de que no se acepte el embarque?
5.- Cuando una computadora se bloquea, existe una probabilidad de 75% de que se deba a
una sobrecarga, y de 15% de que sea por un problema de software. La probabilidad de que
se origine en una sobrecarga o un problema de software es de 85%.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a ambos problemas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga?
6.- Un número binario está compuesto sólo de los dígitos cero y uno. Suponga que un número
binario está formado por n dígitos. La probabilidad de que aparezca un dígito incorrecto es
“p” y los errores en dígitos diferentes son independientes uno del otro.
¿Cuál es la probabilidad de formar un nº incorrecto?.
7.- Una compañía de automóviles ha determinado que un nuevo comprador de autos solicitará
aire acondicionado instalado en fábrica en el 30 % de los casos. Calcule la probabilidad de
que:
a) los siguientes 4 compradores soliciten aire acondicionado en fábrica
b) ninguno de los siguientes 3 compradores soliciten aire acondicionado en fábrica
c) dos de los siguientes 4 compradores soliciten aire acondicionado en fábrica
d) de los siguientes 4 compradores sólo el último solicite aire acondicionado en fábrica
8.- El gerente de una empresa de colocaciones desea estudiar varias características de las
personas que solicitan trabajo, entre ellas si el solicitante estuvo en el último empleo por lo
menos 5 años y si tienen título universitario. Se selecciona una muestra de 600 solicitantes
obteniéndose la siguiente tabla de frecuencias:
63

PROBABILIDAD
Universitario
Ultimo empleo
por lo menos 5 años
Si No Total
Si 100 180 280
No 220 100 320
Total 320 280 600
Calcule el porcentaje de solicitantes
a) con título universitario
b) que estuvieron en el último empleo por lo menos 5 años
c) con título universitario y que haya estado en el último empleo por lo menos 5 años
d) sin título universitario y que haya estado en el último empleo por lo menos 5 años
e) no tenga título universitario o haya estado en el último empleo por lo menos 5 años
f) con título universitario que hayan estado más de 5 años en el último empleo
g) que habiendo estado más de 5 años en el último empleo, no tengan título universitario
∗ ¿Pueden considerarse estos porcentajes como indicadores de probabilidades de los
respectivos sucesos?
** Indique cuál o cuáles serían los supuestos apropiados para que esto fuera así e
interprete los items del punto anterior en términos de probabilidad.
*** Analice la independencia de los sucesos: “el solicitante tiene título universitario” y “el
solicitante estuvo en el último empleo por lo menos 5 años”.
9.- Una empresa dedicada al procesamiento de datos considera que al probar por primera vez
un programa se pueden encontrar:
- errores importantes (que ocasiona que el programa falle por completo)
- errores menores (fallas que permiten que el programa se corra, pero que en algunas
situaciones producen resultados erróneos)
- ningún error
De experiencias anteriores se conoce que la probabilidad de que al correr por primera vez el
programa se encuentren errores importantes es 0,6; de encontrar errores menores es 0,3 y
de no encontrar errores es 0,1. En caso de haber errores se trata de corregirlos y se vuelve
a probar el programa.
La tabla siguiente muestra las probabilidades de los resultados en la 2ª prueba condicionada
a los de la 1ª :
a) Construya una tabla de probabilidades conjuntas y un árbol de probabilidad
b) Encuentre la probabilidad de descubrir un error importante durante la segunda prueba
c) Encuentre la probabilidad de error menor en la primera prueba sabiendo que el error en
la segunda prueba es importante
d) Analice la independencia entre los resultados de la primera prueba con los de la
segunda.
2ª
prueba
1ª prueba
Importante Menor Ninguno
Importante 0,3 0,5 0,2
Menor 0,1 0,3 0,6
Ninguno 0 0,2 0,8
64

PROBABILIDAD
10. En un gran hospital de niños, el inspector de calidad de las partidas de leche en polvo que
el gobierno envía, acepta (A) el 90 % de las mismas y rechaza el resto. De experiencias
anteriores se conoce que el 95 % de los lotes que envía el gobierno son buenos (B) y el
resto presenta algún defecto (D). El inspector rechaza el 94 % de los lotes defectuosos que
inspecciona.
a) Construya la tabla de probabilidades conjuntas de acciones a tomar versus la calidad
del lote
b) ¿Qué porcentaje de los lotes inspeccionados son malos y se los rechaza?.
c) ¿Qué porcentaje de los lotes inspeccionados son buenos y se los acepta?.
d) Calcule la probabilidad de que el inspector se equivoque al inspeccionar un lote.
11.- Los pedidos nuevos de un producto de una compañía varían en valor monetario según la
siguiente distribución de probabilidades:
Monto de ventas 0-1000 1001-2000 2001-3000 3001-4000 más de 4000
Probabilidad 0.1 0.35 0.25 0.20 0.10
Calcule la probabilidad de que:
a) un nuevo pedido tenga un monto mayor que $ 2000
b) un nuevo pedido tenga un monto entre $ 2000 y $ 4000
c) Se conoce además que la forma de pago de los pedidos puede ser al contado o en
cheques, dándose los mismos en los siguientes porcentajes:
– 70 % pagan de contado si el monto no supera los $2000
– 50 % se pagan de contado si el monto está entre $2000 y $4000
– el 80 % de los pedidos con montos superiores a $4000 se pagan con cheques.
Calcule:
c1) el porcentaje de pedidos pagados de contado
c2) el porcentaje de pedidos con un monto superior a 4000$ entre los que fueron
pagados de contado.
12.- Un centro de cómputo tiene tres impresoras, A, B, y C, que imprimen a velocidad distinta.
Los programas se envían a la primera impresora disponible. Las probabilidades de que un
programa se envíe a las impresoras A, B, y C son de 0.6, 0.3 y 0.1 respectivamente. En
ocasiones los impresos se atoran en la impresora y se destruyen. La probabilidad de que se
atore el papel en las impresoras A, B, y C son de 0.01, 0.05 y 0.04 respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que si un programa escrito se destruyó, ello haya ocurrido en
la impresora A?
b) ¿haya ocurrido en la impresora B?
c) ¿haya ocurrido en la impresora C?
13.- El editor de una compañía que edita libros de texto quiere decidir si va a publicar un libro
de estadística para administración. El análisis de los libros de texto que se publicaron
anteriormente indica que 10 % fueron grandes éxitos, 20% tuvieron un éxito modesto, 40 %
lograron recuperar los gastos de inversión y 30 % fueron un fracaso. Sin embargo, antes de
tomar una decisión se va a realizar un dictamen del libro. En el pasado obtuvieron
dictámenes favorables el 99 % de los grandes éxitos, el 70 % de los éxitos modestos, el 40
% de los títulos que alcanzaron a recuperar gastos de inversión y el 20 % de los fracasos.
a) ¿Qué proporción de libros de texto reciben dictámenes favorables?
b) Si el libro propuesto obtiene un dictamen favorable, ¿cómo debe revisar el editor las
probabilidades de los diferentes resultados para tomar en cuenta esta información?
65

Apunte 3 probabilidad

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