El documento presenta un problema de tres personas (A, B, C) que comparten el coste de un regalo de 86€. Se plantea un sistema de ecuaciones para determinar cuánto paga cada persona basado en las condiciones dadas. Luego, se resuelve el sistema utilizando el método de Gauss, obteniendo que A paga 64.5€, B paga 8.6€ y C paga 12.9€.

1. Resolución de problemas mediante el método de Gauss PROBLEMA : Tres personas A, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de las siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 € que paga B , C paga 3 €. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.

2. Definimos las incógnitas de la siguiente manera: x es la cantidad de dinero que aporta A y es la cantidad de dinero que aporta B z es la cantidad de dinero que aporta C El planteamiento del sistema sería el siguiente: x + y + z = 86 x = 3(y + z)

3. Hacemos las operaciones pertinentes para dejar el sistema de la forma más sencilla x + y + z = 86 x - 3y – 3z = 0 3y – 2z = 0 El método de Gauss no es más que una generalización del método de reducción, que se realiza con matrices, evitando así la escritura continua de las incógnitas

4. El sistema anterior es equivalente al siguiente, en el que sólo se escriben los coeficientes y los términos independientes x + y + z = 86 x - 3y – 3z = 0 3y – 2z = 0 Cada una de las filas corresponde a una ecuación. Podemos multiplicar o dividir cada fila (=ecuación) por un número, o podemos sustituir una fila (=ecuación) por una combinación lineal de dos de ellas

5. Dejamos intacta la primera fila y hacemos

6. Simplificando la segunda y tercera fila, obtenemos x + y + z = 86 2y + 2z = 43 10z = 129 Resolviendo, obtenemos, empezando por la última ecuación z = 12,9 Y = 8,6 x = 64,5