Este documento trata sobre cálculo de probabilidades. Explica conceptos básicos como experiencias aleatorias y sucesos aleatorios. Define operaciones con sucesos como unión, intersección y complemento. Presenta la regla de Laplace para calcular probabilidades cuando los sucesos son equiprobables. También introduce conceptos como probabilidad condicionada y sucesos dependientes e independientes.
El documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad. Explica que la probabilidad es una medida de la posibilidad de que ocurra un suceso futuro. Define experimentos, espacio muestral, sucesos y eventos. Describe las propiedades de la probabilidad y cómo se calcula la probabilidad clásica y frecuencial. También cubre probabilidad condicional, independencia de sucesos, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes.
Presentación sobre el cálculo de probabilidades.
Operaciones con sucesos,regla de Laplace,probabilidad condicionada,probabilidad total,teorema de Bayes.
Con algunos ejercicios.
El documento trata sobre fracciones equivalentes, expresiones decimales de números fraccionarios, experimentos aleatorios, sucesos, probabilidad de sucesos y probabilidad experimental. Explica que dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte y que para obtener fracciones equivalentes se multiplica numerador y denominador por el mismo número. También define conceptos como espacio muestral, sucesos elementales, sucesos compatibles e incompatibles y probabilidad de un suceso.
El documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad, incluyendo definiciones de sucesos como seguros, imposibles, complementarios e iguales. También explica la definición clásica de probabilidad basada en frecuencias relativas y la definición axiomática basada en los axiomas de Kolmogorov. Por último, resume seis propiedades clave de la probabilidad como que debe estar entre 0 y 1, y la suma de probabilidades de sucesos mutuamente excluyentes es igual a 1.
El documento resume las principales leyes y conceptos de probabilidad, incluyendo la ley de adición para eventos mutuamente excluyentes y no mutuamente excluyentes, la ley de multiplicación, probabilidad condicional, y el uso de diagramas de Venn y tablas de contingencia para calcular probabilidades. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cada concepto.
1) El documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad como espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos como unión e intersección. 2) Explica la definición de probabilidad según el enfoque frecuentista y el enfoque de Laplace. 3) Introduce los axiomas de la probabilidad según la definición de Kolmogorov, incluyendo ejemplos para calcular probabilidades.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad como fenómenos aleatorios vs deterministas, experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos, probabilidad, entre otros. Explica que la probabilidad mide la frecuencia de ocurrencia de un evento o conjunto de eventos al realizar un experimento aleatorio.
El documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad. Explica que la probabilidad es una medida de la posibilidad de que ocurra un suceso futuro. Define experimentos, espacio muestral, sucesos y eventos. Describe las propiedades de la probabilidad y cómo se calcula la probabilidad clásica y frecuencial. También cubre probabilidad condicional, independencia de sucesos, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes.
Presentación sobre el cálculo de probabilidades.
Operaciones con sucesos,regla de Laplace,probabilidad condicionada,probabilidad total,teorema de Bayes.
Con algunos ejercicios.
El documento trata sobre fracciones equivalentes, expresiones decimales de números fraccionarios, experimentos aleatorios, sucesos, probabilidad de sucesos y probabilidad experimental. Explica que dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte y que para obtener fracciones equivalentes se multiplica numerador y denominador por el mismo número. También define conceptos como espacio muestral, sucesos elementales, sucesos compatibles e incompatibles y probabilidad de un suceso.
El documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad, incluyendo definiciones de sucesos como seguros, imposibles, complementarios e iguales. También explica la definición clásica de probabilidad basada en frecuencias relativas y la definición axiomática basada en los axiomas de Kolmogorov. Por último, resume seis propiedades clave de la probabilidad como que debe estar entre 0 y 1, y la suma de probabilidades de sucesos mutuamente excluyentes es igual a 1.
El documento resume las principales leyes y conceptos de probabilidad, incluyendo la ley de adición para eventos mutuamente excluyentes y no mutuamente excluyentes, la ley de multiplicación, probabilidad condicional, y el uso de diagramas de Venn y tablas de contingencia para calcular probabilidades. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cada concepto.
1) El documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad como espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos como unión e intersección. 2) Explica la definición de probabilidad según el enfoque frecuentista y el enfoque de Laplace. 3) Introduce los axiomas de la probabilidad según la definición de Kolmogorov, incluyendo ejemplos para calcular probabilidades.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad como fenómenos aleatorios vs deterministas, experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos, probabilidad, entre otros. Explica que la probabilidad mide la frecuencia de ocurrencia de un evento o conjunto de eventos al realizar un experimento aleatorio.
Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad, incluyendo fenómenos determinísticos y aleatorios, experimentos aleatorios, sucesos elementales, espacio muestral, sucesos, sucesos seguros, imposibles y complementarios. También cubre operaciones con sucesos como unión, intersección y diferencia. Explica los principios de la adición y la multiplicación para calcular probabilidades. Por último, incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
1. El documento presenta tres temas sobre probabilidades: diagramas de árbol, el triángulo de Pascal y las leyes de probabilidad. 2. Explica cómo usar diagramas de árbol para calcular la probabilidad de eventos múltiples y el triángulo de Pascal como herramienta para contar casos posibles. 3. Detalla las leyes de probabilidad total, condicionada y compuesta y cómo aplicarlas para calcular la probabilidad de eventos individuales o múltiples.
Este documento presenta los conceptos básicos de probabilidad, incluyendo el origen de la probabilidad, los enfoques clásico, de frecuencia relativa y subjetivo. Explica conceptos como espacio muestral, eventos, eventos elementales, seguros e imposibles. También cubre reglas como la adición y multiplicación para eventos dependientes e independientes.
Presentacion experimento aleatorio y probabilidadrosaurymontero
El documento trata sobre conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que un experimento aleatorio es aquel cuyos resultados dependen del azar y no pueden predecirse con certeza. Define el espacio muestral como el conjunto de todos los resultados posibles y un evento como un subconjunto de dicho espacio muestral. Utiliza como ejemplo el lanzamiento de un dado para ilustrar estas definiciones.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad como experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos y operaciones con sucesos. Explica que un experimento aleatorio tiene varios resultados posibles y que el espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. Define qué son los sucesos y presenta ejemplos de operaciones como unión, intersección y diferencia de sucesos.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad, incluyendo: 1) experimentos aleatorios se caracterizan por tener resultados desconocidos pero repetibles, 2) el espacio muestral contiene todos los resultados posibles, 3) los sucesos son subconjuntos de resultados, y 4) las operaciones con sucesos como unión, intersección y diferencia siguen las propiedades del álgebra de Boole.
El documento presenta una introducción a la teoría de probabilidades. Define conceptos básicos como experimento, espacio muestral, suceso, probabilidad y tipos de sucesos. Explica métodos de conteo como la regla de la multiplicación, permutaciones, variaciones y combinaciones. Finalmente, introduce conceptos como probabilidad condicional, eventos independientes, reglas de adición y multiplicación, y teoremas como el de Bayes. El documento provee una visión general de los principales elementos de la teoría de probabilidades.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad. Define probabilidad como la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento al repetir un experimento. Explica que un evento es un subconjunto de resultados posibles de un experimento. Describe reglas para calcular la probabilidad de la unión, intersección y complemento de eventos. Finalmente, introduce la noción de probabilidad condicionada como la probabilidad de un evento dado que otro evento ha ocurrido.
Capítulo 05, Revisión de algunos conceptos de probabilidadAlejandro Ruiz
Este capítulo revisa conceptos clave de probabilidad como experimentos, eventos, definiciones de probabilidad clásica, empírica y subjetiva, reglas de adición y multiplicación, probabilidad condicional y conjunta, diagrama de árbol y teorema de Bayes. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y su cálculo.
El documento habla sobre la probabilidad y sus elementos básicos. Explica que la probabilidad es una medida de la confianza de que ocurra un evento futuro. Define conceptos clave como experimento aleatorio, espacio muestral, evento y regla de Laplace para calcular la probabilidad cuando hay resultados equiprobables.
Este documento presenta conceptos básicos sobre experimentos aleatorios y sucesos. Define un experimento aleatorio como uno que puede dar lugar a varios resultados posibles sin que se pueda predecir con certeza cuál ocurrirá. Introduce los conceptos de espacio muestral, sucesos elementales y sucesos. Explica operaciones con sucesos como unión, intersección y diferencia.
Este documento presenta un tema sobre probabilidad que incluye seis secciones: 1) introducción a experimentos aleatorios y sucesos, 2) concepto de probabilidad, 3) asignación de probabilidades, 4) probabilidad condicionada, 5) independencia de sucesos, y 6) teorema de Bayes. Explica conceptos como espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos, propiedades de la probabilidad, equiprobabilidad, y métodos para calcular probabilidades condicionadas y aplicar el teorema de Bayes.
Este documento introduce el concepto de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios cuyos resultados no son predecibles. Define conceptos clave como espacio muestral, eventos, eventos elementales y compuestos. También describe operaciones básicas con eventos como unión, intersección y diferencia. El objetivo es entender claramente el contexto de la probabilidad y cómo se utiliza para hacer inferencias estadísticas.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad estudia eventos aleatorios y experimentos que tienen resultados inciertos. Define términos como espacio muestral, eventos elementales, eventos compuestos y operaciones entre eventos como unión e intersección. Además, provee ejemplos para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
Este documento define conceptos básicos de probabilidad como experimento aleatorio, espacio muestral, suceso, intersección de sucesos, sucesos disjuntos, unión de sucesos y complemento de sucesos. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto y presenta la definición axiomática de probabilidad a través de tres axiomas y cuatro consecuencias.
La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Existen propiedades como la suma de probabilidades de un suceso y su contrario es 1, y la probabilidad de un suceso imposible es 0. La probabilidad de la unión de sucesos se calcula usando las leyes de probabilidad. Un ejemplo común es la distribución binomial que modela el número de éxitos en ensayos de Bernoulli independientes.
Teoriadeprobabilidad izquiel TRABAJO DE ESTADISTICAizquielar
Este documento presenta un resumen sobre la teoría de probabilidad. Define conceptos clave como experimentos aleatorios y determinísticos, espacio muestral, eventos, reglas de probabilidad como la adición y teoremas. Explica los enfoques frecuentista y clásico para calcular probabilidades y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de probabilidad, incluyendo: experimentos aleatorios, espacio muestral, puntos muestrales, sucesos, reglas de probabilidad como la adición y multiplicación, probabilidad condicional e independencia. También explica métodos de conteo como permutaciones, variaciones y combinaciones.
Las nuevas tecnologias en la sociedad de aprendizaje ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
El documento trata sobre las nuevas tecnologías en la sociedad del aprendizaje. Define la Web como un gran espacio de información universal que permite acceder a casi toda la información existente. Explica algunas de las bases lógicas de la Web como los identificadores URI, el lenguaje HTML y el protocolo HTTP.
Las tecnologias de la informatica y las comunicaciones ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
El documento describe la evolución de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) y su aplicación en la educación a través del aprendizaje virtual. Explica conceptos clave como la Web 2.0, que se refiere a la participación activa de los usuarios en la creación y compartición de contenidos en línea. También analiza herramientas de la Web 2.0 como blogs, wikis y redes sociales, y su potencial uso en la educación.
La Web 2.0 representa la evolución de las aplicaciones tradicionales hacia aplicaciones enfocadas en el usuario final. Se caracteriza por ser dinámica y participativa, donde el usuario es el protagonista que crea y comparte contenido. Algunas aplicaciones clave de la Web 2.0 son blogs, wikis, redes sociales y plataformas de video que facilitan la publicación y distribución de contenidos de manera colaborativa.
Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad, incluyendo fenómenos determinísticos y aleatorios, experimentos aleatorios, sucesos elementales, espacio muestral, sucesos, sucesos seguros, imposibles y complementarios. También cubre operaciones con sucesos como unión, intersección y diferencia. Explica los principios de la adición y la multiplicación para calcular probabilidades. Por último, incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
1. El documento presenta tres temas sobre probabilidades: diagramas de árbol, el triángulo de Pascal y las leyes de probabilidad. 2. Explica cómo usar diagramas de árbol para calcular la probabilidad de eventos múltiples y el triángulo de Pascal como herramienta para contar casos posibles. 3. Detalla las leyes de probabilidad total, condicionada y compuesta y cómo aplicarlas para calcular la probabilidad de eventos individuales o múltiples.
Este documento presenta los conceptos básicos de probabilidad, incluyendo el origen de la probabilidad, los enfoques clásico, de frecuencia relativa y subjetivo. Explica conceptos como espacio muestral, eventos, eventos elementales, seguros e imposibles. También cubre reglas como la adición y multiplicación para eventos dependientes e independientes.
Presentacion experimento aleatorio y probabilidadrosaurymontero
El documento trata sobre conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que un experimento aleatorio es aquel cuyos resultados dependen del azar y no pueden predecirse con certeza. Define el espacio muestral como el conjunto de todos los resultados posibles y un evento como un subconjunto de dicho espacio muestral. Utiliza como ejemplo el lanzamiento de un dado para ilustrar estas definiciones.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad como experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos y operaciones con sucesos. Explica que un experimento aleatorio tiene varios resultados posibles y que el espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. Define qué son los sucesos y presenta ejemplos de operaciones como unión, intersección y diferencia de sucesos.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad, incluyendo: 1) experimentos aleatorios se caracterizan por tener resultados desconocidos pero repetibles, 2) el espacio muestral contiene todos los resultados posibles, 3) los sucesos son subconjuntos de resultados, y 4) las operaciones con sucesos como unión, intersección y diferencia siguen las propiedades del álgebra de Boole.
El documento presenta una introducción a la teoría de probabilidades. Define conceptos básicos como experimento, espacio muestral, suceso, probabilidad y tipos de sucesos. Explica métodos de conteo como la regla de la multiplicación, permutaciones, variaciones y combinaciones. Finalmente, introduce conceptos como probabilidad condicional, eventos independientes, reglas de adición y multiplicación, y teoremas como el de Bayes. El documento provee una visión general de los principales elementos de la teoría de probabilidades.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad. Define probabilidad como la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento al repetir un experimento. Explica que un evento es un subconjunto de resultados posibles de un experimento. Describe reglas para calcular la probabilidad de la unión, intersección y complemento de eventos. Finalmente, introduce la noción de probabilidad condicionada como la probabilidad de un evento dado que otro evento ha ocurrido.
Capítulo 05, Revisión de algunos conceptos de probabilidadAlejandro Ruiz
Este capítulo revisa conceptos clave de probabilidad como experimentos, eventos, definiciones de probabilidad clásica, empírica y subjetiva, reglas de adición y multiplicación, probabilidad condicional y conjunta, diagrama de árbol y teorema de Bayes. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y su cálculo.
El documento habla sobre la probabilidad y sus elementos básicos. Explica que la probabilidad es una medida de la confianza de que ocurra un evento futuro. Define conceptos clave como experimento aleatorio, espacio muestral, evento y regla de Laplace para calcular la probabilidad cuando hay resultados equiprobables.
Este documento presenta conceptos básicos sobre experimentos aleatorios y sucesos. Define un experimento aleatorio como uno que puede dar lugar a varios resultados posibles sin que se pueda predecir con certeza cuál ocurrirá. Introduce los conceptos de espacio muestral, sucesos elementales y sucesos. Explica operaciones con sucesos como unión, intersección y diferencia.
Este documento presenta un tema sobre probabilidad que incluye seis secciones: 1) introducción a experimentos aleatorios y sucesos, 2) concepto de probabilidad, 3) asignación de probabilidades, 4) probabilidad condicionada, 5) independencia de sucesos, y 6) teorema de Bayes. Explica conceptos como espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos, propiedades de la probabilidad, equiprobabilidad, y métodos para calcular probabilidades condicionadas y aplicar el teorema de Bayes.
Este documento introduce el concepto de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios cuyos resultados no son predecibles. Define conceptos clave como espacio muestral, eventos, eventos elementales y compuestos. También describe operaciones básicas con eventos como unión, intersección y diferencia. El objetivo es entender claramente el contexto de la probabilidad y cómo se utiliza para hacer inferencias estadísticas.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad estudia eventos aleatorios y experimentos que tienen resultados inciertos. Define términos como espacio muestral, eventos elementales, eventos compuestos y operaciones entre eventos como unión e intersección. Además, provee ejemplos para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
Este documento define conceptos básicos de probabilidad como experimento aleatorio, espacio muestral, suceso, intersección de sucesos, sucesos disjuntos, unión de sucesos y complemento de sucesos. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto y presenta la definición axiomática de probabilidad a través de tres axiomas y cuatro consecuencias.
La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Existen propiedades como la suma de probabilidades de un suceso y su contrario es 1, y la probabilidad de un suceso imposible es 0. La probabilidad de la unión de sucesos se calcula usando las leyes de probabilidad. Un ejemplo común es la distribución binomial que modela el número de éxitos en ensayos de Bernoulli independientes.
Teoriadeprobabilidad izquiel TRABAJO DE ESTADISTICAizquielar
Este documento presenta un resumen sobre la teoría de probabilidad. Define conceptos clave como experimentos aleatorios y determinísticos, espacio muestral, eventos, reglas de probabilidad como la adición y teoremas. Explica los enfoques frecuentista y clásico para calcular probabilidades y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de probabilidad, incluyendo: experimentos aleatorios, espacio muestral, puntos muestrales, sucesos, reglas de probabilidad como la adición y multiplicación, probabilidad condicional e independencia. También explica métodos de conteo como permutaciones, variaciones y combinaciones.
Las nuevas tecnologias en la sociedad de aprendizaje ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
El documento trata sobre las nuevas tecnologías en la sociedad del aprendizaje. Define la Web como un gran espacio de información universal que permite acceder a casi toda la información existente. Explica algunas de las bases lógicas de la Web como los identificadores URI, el lenguaje HTML y el protocolo HTTP.
Las tecnologias de la informatica y las comunicaciones ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
El documento describe la evolución de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) y su aplicación en la educación a través del aprendizaje virtual. Explica conceptos clave como la Web 2.0, que se refiere a la participación activa de los usuarios en la creación y compartición de contenidos en línea. También analiza herramientas de la Web 2.0 como blogs, wikis y redes sociales, y su potencial uso en la educación.
La Web 2.0 representa la evolución de las aplicaciones tradicionales hacia aplicaciones enfocadas en el usuario final. Se caracteriza por ser dinámica y participativa, donde el usuario es el protagonista que crea y comparte contenido. Algunas aplicaciones clave de la Web 2.0 son blogs, wikis, redes sociales y plataformas de video que facilitan la publicación y distribución de contenidos de manera colaborativa.
El internet como herramienta de enseñanza aprendizaje ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
El documento describe el uso de Internet en educación. Explica que Internet se ha convertido en la red de comunicación más grande e importante, permitiendo la propagación y el intercambio de información entre personas independientemente de su ubicación. También describe cómo Internet puede usarse en el ámbito educativo, incluyendo la preparación de clases, la realización de proyectos y el conocimiento de nuevos recursos didácticos. Resalta tanto las ventajas del uso de Internet en educación como algunos riesgos potenciales.
Este documento presenta una introducción a los temas de estadística inferencial y muestreo estadístico. Explica que la estadística inferencial estudia cómo sacar conclusiones generales sobre una población completa basadas en una muestra, y el grado de fiabilidad de los resultados. Luego describe tres métodos de muestreo: muestreo aleatorio simple, muestreo aleatorio sistemático y muestreo aleatorio estratificado, resaltando sus ventajas como reducción de costos, mayor rapidez y exactitud.
Este documento describe las distribuciones muestrales y cómo se pueden usar para generalizar el comportamiento de una población. Explica que las muestras pueden ser tomadas con o sin reemplazo y que la distribución muestral está relacionada con el comportamiento de un estadístico de la muestra. También define una muestra aleatoria simple como una donde cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado y presenta un ejemplo numérico de cómo calcular la probabilidad de que la media de una muestra esté dentro de un intervalo dado
Este documento habla sobre la estadística inferencial. La estadística inferencial hace referencia a métodos para hacer afirmaciones sobre una población completa a partir de una muestra. Existen dos formas básicas: la estimación, que permite dar el valor aproximado de un parámetro de una población a partir de los datos de una muestra, y el contraste de hipótesis, que compara lo propuesto por una hipótesis con la evidencia empírica de los datos. El objetivo de la estadística inferencial es generalizar las propiedades de
Este documento presenta los conceptos fundamentales del álgebra de Boole. Introduce las expresiones de conmutación, compuertas lógicas, minimización de funciones y leyes y teoremas del álgebra de Boole. Explica cómo representar funciones de conmutación en forma algebraica, tabla de verdad y forma canónica.
Este documento presenta varios ejemplos y ejercicios sobre probabilidad y espacios muestrales. Explica conceptos como espacio muestra, sucesos favorables y casos posibles para calcular probabilidades de eventos al extraer cartas de una baraja o bolas de una caja. Luego resuelve ejercicios calculando probabilidades de obtener ciertas cartas o figuras al extraer de una baraja, o números al lanzar un dado varias veces.
Este documento presenta tres oraciones o menos:
El documento resume la historia del trabajo social de casos, desde sus orígenes en los siglos XVI y XVII hasta su definición formal y objetivos en el siglo XX. Explica brevemente cómo el trabajo social de casos se desarrolló para ayudar a individuos de manera individualizada y cómo se han establecido sus principios fundamentales a lo largo del tiempo.
El documento resume los conceptos clave sobre el bullying. Explica que el bullying incluye conductas de hostigamiento y maltrato verbal o físico que un estudiante recibe de manera reiterada por parte de otros, con el fin de someterlo e intimidarlo. También describe los diferentes tipos de bullying, sus características, participantes y consecuencias. Finalmente, proporciona estrategias a nivel del colegio, el aula, individuos y la comunidad para prevenir e intervenir el bullying.
Este documento trata sobre las cónicas. Explica que las cónicas son las secciones cónicas de un cono y que incluyen la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Para cada una proporciona su definición geométrica, ecuación reducida y algunas propiedades como los ejes, vértices y focos. También explica conceptos como la excentricidad y cómo construir manualmente las elipses.
La Violencia Familiar y sus manifestaciones en la Escuela ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento discute la violencia familiar, incluyendo sus manifestaciones, causas y consecuencias. Define la violencia familiar como una violación de los derechos humanos que puede ocurrir entre cónyuges y otros familiares. Explica que la violencia física, psicológica y sexual se manifiestan comúnmente en el hogar y la escuela. Finalmente, enfatiza la importancia de prevenir la violencia familiar a través de la educación y promoción de valores de respeto e igualdad.
El documento trata sobre estadística inferencial, que estudia cómo sacar conclusiones generales para una población a partir de una muestra. Explica conceptos clave como población, muestra, parámetros, estadísticos e intervalos de confianza. También describe diferentes métodos de muestreo como aleatorio simple, sistemático y estratificado. Por último, cubre hipótesis estadísticas, incluyendo cómo formular hipótesis nulas y alternativas, y los pasos para probar hipótesis.
Este documento trata sobre la integral definida y sus aplicaciones. Explica el método de exhaución desarrollado por Arquímedes para calcular áreas, introduce las funciones escalonadas y define la integral de una función escalonada como el área delimitada. Además, define la integral de Riemann de una función cualquiera y establece la regla de Barrow para calcular integrales definidas. Por último, explica cómo calcular el área delimitada por una función positiva entre dos puntos mediante la integral definida.
Este documento presenta 24 situaciones relacionadas con el desarrollo cognitivo infantil según la teoría de Piaget. Cada situación describe el comportamiento o razonamiento de un niño y ofrece 4 opciones de respuesta relacionadas con conceptos como los estadios del desarrollo cognitivo, el egocentrismo, la conservación, la clasificación y la centralización. El documento evalúa el conocimiento sobre el modelo teórico de Piaget aplicado al análisis del pensamiento infantil.
Este documento describe los conceptos básicos de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica que una integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de una función, y que las primitivas se diferencian solo en una constante. También presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, como integrales inmediatas, integración por partes e integración por sustitución.
El documento trata sobre el tema del liderazgo. Explica que el liderazgo implica tanto capacidades innatas como adquiridas a través de la experiencia. Un líder debe ser capaz de gestionar tareas rutinarias, responder creativamente a demandas imprevistas y planificar escenarios futuros, además de mantener buenas relaciones interpersonales y comunicación. La gestión y el liderazgo son acciones complementarias que se enfocan en áreas como alumnos, docentes y problemas institucionales.
El documento describe los conceptos clave del liderazgo. Explica que el liderazgo se demuestra en momentos difíciles y consiste en permitir que otros alcancen su potencial. También describe las características de un líder efectivo, como la integridad y la habilidad comunicativa. Explica que el estilo de liderazgo depende del nivel de madurez de los seguidores y los roles de estructurador, entrenador, alentador y delegador. Finalmente, ofrece consejos para el liderazgo exitoso como ser humilde,
Una rúbrica es una herramienta de evaluación que describe los diferentes niveles de desempeño de una tarea u objetivo de aprendizaje. Proporciona criterios específicos para medir el progreso de los estudiantes y puede ser holística, evaluando el trabajo como un todo, o analítica, evaluando cada componente por separado. Las rúbricas ofrecen beneficios tanto para docentes como estudiantes al clarificar las expectativas y proporcionar retroalimentación.
Este documento introduce los conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios y cómo medir la probabilidad de que ocurran eventos específicos. También define conceptos clave como espacio muestral, eventos elementales y compuestos, y operaciones entre eventos como unión, intersección y diferencia. El objetivo es entender claramente el contexto de la probabilidad y cómo utilizarla para hacer inferencias.
Este documento introduce los conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios y cómo medir la probabilidad de que ocurran eventos específicos. Define términos clave como espacio muestral, eventos, eventos elementales y operaciones entre eventos. También discute cómo la probabilidad frecuencial se basa en la regularidad estadística y cómo las frecuencias relativas tienden a estabilizarse a medida que aumenta el número de observaciones.
El documento presenta conceptos básicos de probabilidad, incluyendo experimentos determinísticos y aleatorios, espacio muestral, sucesos, reglas de probabilidad como adición y multiplicación, e independencia. Se definen probabilidades a través de interpretaciones frecuentista y clásica, y se presentan ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad y estadística. Introduce las nociones de experiencias deterministas y aleatorias, espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos, frecuencia absoluta y relativa, propiedades y teoremas de probabilidad, ley de Laplace, probabilidad condicionada y sucesos independientes. Finalmente, explica las nociones de pruebas compuestas, experiencias independientes y dependientes.
Este documento trata sobre la probabilidad y estadística. Explica conceptos básicos de probabilidad como experimentos aleatorios y deterministas, espacio muestral, eventos elementales y compuestos. También define operaciones entre eventos como unión, intersección y diferencia. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
Este documento trata sobre la probabilidad y estadística. Explica conceptos básicos de probabilidad como experimentos aleatorios y deterministas, espacio muestral, eventos elementales y compuestos. También define operaciones entre eventos como unión, intersección y diferencia. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
Este documento habla sobre la probabilidad y conceptos estadísticos fundamentales como espacio muestral, eventos, reglas de probabilidad y probabilidad condicional. Explica que la probabilidad cuantifica la creencia de que ocurra un evento y varía entre 0 y 1, y provee ejemplos para ilustrar conceptos como uniones y la suma de probabilidades.
Este documento describe los conceptos básicos de la probabilidad, incluyendo experimentos aleatorios, espacio muestral, eventos, regla de Laplace y tipos de sucesos. Explica que un experimento aleatorio tiene un espacio muestral con resultados posibles y que un evento es cualquier subconjunto de este. También cubre cómo calcular la probabilidad de eventos usando la regla de Laplace cuando los resultados son equiprobables y cómo los sucesos pueden ser seguros, posibles o imposibles.
Elementos de la probabilidad y axiomas de probabilidad EsthelaGarcia5
Este documento trata sobre los elementos y axiomas de la probabilidad. Explica que los primeros estudios de probabilidad se motivaron por los juegos de azar y define conceptos como experimento aleatorio, espacio muestral y eventos. Luego presenta ejemplos como lanzar un dado para ilustrar estos conceptos. Finalmente, introduce los enfoques de probabilidad como experimento aleatorio, espacio muestral y operaciones entre eventos como unión e intersección.
Este documento introduce el concepto de probabilidad y describe los elementos básicos para calcular probabilidades. Define probabilidad como una medida de confianza de que ocurra un evento futuro. Explica los conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral, eventos elementales, compuestos e imposibles. También cubre operaciones básicas con eventos como unión, intersección y diferencia. El objetivo es entender claramente el contexto de probabilidad y cómo se mide y utiliza para hacer inferencias estadísticas.
Este documento trata sobre la probabilidad y la estadística. Explica conceptos básicos como probabilidad, eventos aleatorios y experimentos aleatorios. Define espacio muestral, eventos elementales y compuestos, y operaciones entre eventos como unión, intersección y diferencia. El objetivo es entender claramente el contexto de la probabilidad y cómo se mide y utiliza para hacer inferencias estadísticas.
Este documento presenta una introducción a la probabilidad y los conceptos básicos relacionados. Explica que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios cuyos resultados no son deterministas. Define conceptos clave como espacio muestral, eventos, eventos elementales y compuestos, y operaciones entre eventos como unión, intersección y diferencia. Finalmente, provee ejemplos prácticos para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
Teoria de-probabilidad. TRABAJO DE ESTADISTICAizquielar
Este documento describe los conceptos básicos de la teoría de probabilidad, incluyendo modelos matemáticos, experimentos aleatorios, espacio muestral, eventos y definición de probabilidad. Explica que la probabilidad de un evento puede calcularse como la razón entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles de un experimento aleatorio. También presenta algunos teoremas y reglas como la adición para calcular probabilidades.
Este documento presenta un resumen sobre la teoría de la probabilidad. Introduce conceptos como experimentos aleatorios y determinísticos, espacio muestral, eventos, operaciones con eventos, tablas de contingencia, diagramas de árbol y definiciones de probabilidad desde enfoques frecuentista y clásico. También expone algunos teoremas y la regla de adición para el cálculo de probabilidades.
Este documento presenta los temas y contenidos de un curso sobre probabilidad y estadística. Los temas incluyen análisis estadístico de datos, fundamentos de la teoría de probabilidad, variables aleatorias, modelos probabilísticos comunes, variables aleatorias conjuntas y distribuciones muestrales. Una sección detalla los conceptos básicos de la teoría de probabilidad como experimentos, espacio de eventos, eventos, probabilidad, axiomas y teoremas de probabilidad. Se proveen ejemplos para ilustrar estos
DEBER DE MATEMATICAS TEMA: EXPLICA LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD EN FUNCIÓN DE CADA UNO DE ELLOS, -IDENTIFICA LOS ENFOQUES DE PROBABILIDAD DE ACUERDO A LOS DIFERENTES EXPERIMENTOS ALEATORIOS, -COMPRENDE LA RELACIÓN ENTRE SUCESOS SUS CARACTERÍSTICAS Y TIPOS, -RELACIONA EL CÁLCULO DE PROBABILIDAD, LA REGLA DE LAPLACE, Y LOS DIFERENTES EJERCICIOS QUE SE DESARROLLAN.
El documento define la probabilidad como un número entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra un suceso en un experimento aleatorio. Explica que los experimentos pueden ser deterministas o aleatorios, y que la teoría de probabilidades asigna números a los posibles resultados para cuantificarlos. También introduce conceptos clave como espacio muestral, sucesos, sucesos compatibles e independientes, y explica cómo calcular probabilidades usando la combinatoria.
Esta presentación contiene información sobre los elementos de probabilidades y axiomas de probabilidad, relación entre sucesos características y tipos, regla de Laplace y ejercicios.
El documento presenta tres experimentos en los que se lanzaron monedas de $1, $5 y $10. Cada experimento contabilizó el número de veces que cayó águila o sol y calculó los porcentajes. Los resultados variaron entre monedas debido al peso y fuerza del lanzamiento. También incluye ejemplos de permutaciones y combinaciones con sus definiciones.
Este documento define conceptos básicos de probabilidad como experimento, sucesos simples y compuestos, espacio muestral y evento. Explica la probabilidad como la posibilidad de que ocurra un suceso y cómo se calcula. También cubre temas como probabilidades conjuntas, marginales y condicionales, y define eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes.
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Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
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3. EXPERIENCIAS ALEATORIAS.
Experiencia determinista : su resultado es predecible de antemano.
En idénticas condiciones,se obtiene el mismo resultado.
Experiencia aleatoria : su resultado no se puede predecir,depende del azar,
aunque se repita en idénticas condiciones.
Ej.: lanzar una piedra al vacío y medir su aceleración.
Ej.: lanzar un dado y anotar el número obtenido.
5. Al lanzar un dado se pueden obtener seis resultados diferentes.
Espacio muestral es el conjunto E de todos los posibles resultados de una
experiencia aleatoria.
E =
C =
A = B =
D = H =
Suceso : es cualquier subconjunto del espacio muestral asociado a un
experimento aleatorio.
Sucesos elementales : cada uno de los elementos del espacio muestral.
Sucesos compuestos : formados por dos o más sucesos elementales.
Suceso seguro : es el propio espacio muestral E.
Suceso imposible : es el suceso vacío Ø.
7. La unión de dos sucesos es el suceso formado por los elementos de ambos.
La intersección de dos sucesos es el suceso formado por los elementos
comunes a ambos sucesos.
A = B =
C = D =
F =
B∩D =
BUD =
AUB = CUD = E =
C∩F =
8. Dos sucesos son incompatibles cuando es imposible que ocurran
simultáneamente,es decir, cuando A∩B=Ø.
C = D =
C = F =
Dos sucesos son contrarios cuando entre ambos se reparten todos los
sucesos elementales,es decir, A∩B=Ø y AUB=E.
A = B =
C y D son incompatiblesC∩ D =Ø
C∩ F = ǂ Ø C y F son compatibles
9. UNIÓN: Suceso formado por todos los elementos de A y de B
OPERACIONES CON SUCESOS
AUB se verifica cuando ocurre uno de los dos sucesos A o B,o ambos.
A
AUB
A
INTERSECCIÓN: Suceso formado por los elementos comunes de A y de B.
A A
A∩B
A∩B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.
10. DIFERENCIA:
A-B es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
B-A es el suceso formado por todos los elementos de B que no son de A.
A-B se verifica cuando lo hace A y no lo hace B.
B-A se verifica cuando lo hace B y no lo hace A.
A
A-B
A
A
A
B-A
11. COMPLEMENTARIO O CONTRARIO: Suceso formado por todos los
elementos que no son de A.
E-A = Ā
SUCESOS INCOMPATIBLES: Sucesos que no tienen elementos comunes.
Ā se verifica siempre que no se verifica A.
A y B no se verifican simultáneamente.
A
A
E
A∩B = Ø
12. Ejercicio E={1,2,3,4,5,6}Se lanza un dado
Determina los elementos que componen los sucesos:
A=”salir par”
B=”salir impar”
C=”menor o igual que 4”
D=”mayor o igual que 5”
F=”salir nº primo”
E
6
C F
1
4
2
3
5
Determina :
C∩F
CUF
C-F
F-C
¿Son F y C incompatibles?
¿Y contrarios?
13. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS
DISTRIBUTIVAS: AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC)
A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C)
DE SIMPLIFICACIÓN: AU(B∩A) = A
A∩(BUA) = A
DEL CONTRARIO: (A')' = A
A-B = A∩B'
LEYES DE MORGAN: (AUB)' = A'∩B'
(A∩B)' = A'UB'
14. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD
Si realizamos N veces un experimento aleatorio,y observamos un suceso S
que se verifica n veces,tenemos
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS:
Si realizamos un experimento aleatorio N veces,la frecuencia relativa fr(S)
de un suceso S toma distintos valores.
Dichos valores pueden sufrir grandes oscilaciones, pero si aumentamos
indefinidamente el número N de veces que realizamos el experimento
aleatorio,se observa que las oscilaciones son cada vez menores y que
dicha frecuencia fr (S) tiende a estabilizarse, aproximándose a un valor.
Ese valor es la probabilidad del suceso S y se escribe P(S)
Frecuencia absoluta de S: número de veces que ocurre S.
Frecuencia relativa de S: proporción de veces que ocurre S.
Por tanto,siempre es un nº entre 0 y 1.
fr (S) = n/N
f(S) = n
P(S) = lim
N →+ ∞
f r (S)
15. Ejemplo:
Lanzamos un dado N veces.
Anotamos la frecuencia relativa
del suceso S = ”salir el 3”.
Repetimos este experimento
para otros valores mayores
de N.Se observa que fr(S) toma
distintos valores y con muchas
oscilaciones, si los valores de
N son pequeños.
Pero,para valores muy grandes
de N (muchos lanzamientos),
las oscilaciones disminuyen
hasta que los valores fr(S) se
estabilizan, acercándose a un
número P(S)
PS = lim
N ∞
f r S =
1
6
= 0.17P(S) = lim
N →+ ∞
f r (S) =
1
6
≃ 0,1667
17. PROPIEDADES:
A
A
Ā
B-A
A
P(Ā) = 1 - P(A)T1
T2
P(Ø) = 0
T3
T4
T6
Si A ⊆ B, entonces P(B) = P(A) + P(B-A)
Si A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B)
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
T7
Si E es finito y S = {x1
,x2
,....,xk
},entonces
P(S) = P(x1
) + P(x2
) +.....+ P(xk
)
T5
Si A1
, A2
,...., Ak
son incompatibles dos a dos, entonces
P(A1
U A2
U....U Ak
) = P(A1
) + P(A2
) +.....+ P(Ak
)
B
19. REGLA DE LAPLACE
Si además el espacio muestral E = {x1
,x2
,....,xn
} consta de n sucesos
elementales equiprobables, es decir, P(x1
) = P(x2
) = ...... = P(xn
) = 1/n ,
entonces la probabilidad de un suceso S viene dada por la expresión:
Esta es la ley de Laplace que se expresa:
P(S) = k/n
P(S) =
nº casos favorables a S
nº casos posibles
La propiedad T7
permite calcular la probabilidad de un suceso S,
sumando las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen:
Si E es finito y S = {x1
,x2
,....xk
}, entonces P(S) = P(x1
) + P(x2
) +.....+ P(xk
)
20. Lanzamos un dado correcto.Halla la probabilidad de obtener:
a) impar b) primo c) múltiplo de 3 d) menor que 5
E = {1,2,3,4,5,6 }
Todos los resultados son equiprobables si el dado es correcto.
Aplicamos la ley de Laplace:
P(impar) = P({1,3,5}) = 3/6 = 1/2
P(primo) = P({2,3,5}) = 3/6 = 1/2
P(múltiplo de 3) = P({3,6}) = 2/6 = 1/3
P(menor que 5) = P({1,2,3,4}) = 4/6 = 2/3
P(S) =
nº casos favorables a S
nº casos posibles
21. Se tiene una baraja española.Halla la probabilidad de que al extraer
una carta sea:
a) figura b) as c) 6 o 7 d) copas e) no figura
figura es
sota,caballo
o rey
12/40 = 3/10 = 0,3
4/40 = 1/10 = 0,1
10/40 = 1/4 = 0,25
P(figura) =
P(as) =
P(copas) =
P(no figura) =1 - P(figura) = 1 – 0,3 = 0,7
hay 10 cartas
de copas
no figura es lo
contrario de
figura
P(6 o 7) = 8/40 = 1/5 = 0,2
Regla
de
Laplace
22. + 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
P(suma par) = 18/36 = 1/2
Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos.
Calcula la probabilidad de que la suma sea:
a) par b)múltiplo de 3 c)múltiplo de 5 d)mayor que 6
P(múltiplo de 3) = 12/36 =1/3
P(múltiplo de 5) = 7/36
P(mayor que 6) = 21/36 = 7/12
E = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Pero estos 11 sucesos no son equiprobables.
E´= {(1,1),(1,2),...........(6,6)}
Nuevo enfoque del experimento aleatorio:
Son 36 sucesos equiprobables ⇒ ley de Laplace:
23. + 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
P(suma 7)= 6/36
P(suma 6)=5/36
Dos amigos juegan con dos dados.Uno apuesta a obtener suma igual a
6 y el otro apuesta a obtener suma igual a 7.¿Te parece el juego justo?
Conclusión: el juego no es justo pues el segundo jugador tiene mayor
probabilidad de ganar.
25. Dados dos sucesos A y B,se llama probabilidad de B condicionada a A
a la proporción de veces que ocurre B de entre las que ocurre A .
P(A∩B) = P(A)·P(B|A)
Por tanto:
la probabilidad de la intersección de dos sucesos A y B es el producto
de la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicionada
del otro a éste.
E
B
A
A∩B
P(B|A) =
PROBABILIDAD CONDICIONADA
26. Los resultados de una encuesta sociológica acerca de la actitud política
progresista o conservadora, realizada sobre 375 universitarios de
ambos sexos están registrados en la siguiente tabla de contingencia:
Varones Mujeres
Actitud progresista 150 75 225
Actitud conservadora 50 100 150
200 175 375
P(varón) = 200/375
P(mujer) = 175/375
P(progresista) = 225/375
P(conservador) = 150/375
P(varón∩progresista) = 150/375
P(progresista|varón) = 150/200
P(varón∩progresista)
P(varón)
150/375
200/375
=
P(B|A) =
28. Dos sucesos A y B,se dice que son independientes cuando se cumple que:
P(B|A) = P(B) P(A|B) = P(A)y
Cuando dos sucesos son independientes la probabilidad de su intersección
es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos.
A y B independientes ⇒ P(A∩B) = P(A)·P(B)
SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
En caso contrario se dice que son dependientes y, entonces,la probabilidad
de su intersección es igual al producto de la probabilidad de uno por la
probabilidad del otro condicionada a éste:
A y B dependientes ⇒ P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)
29. Los resultados de una encuesta sociológica acerca de la actitud política
progresista o conservadora,realizada sobre 375 universitarios de ambos
sexos están registrados en la siguiente tabla de contingencia:
La actitud progresista y el hecho de ser varón,¿son independientes?
Varones Mujeres
Actitud progresista 150 75 225
Actitud conservadora 50 100 150
200 175 375
P(progresista) = 225/375 = 3/5
P(progresista|varón) = 150/200 = 3/4
P(progresista|varón) ≠ P(progresista)
Por tanto,las características tener actitud progresista y ser varón son
sucesos dependientes
30. 1 2 3 4 5 6 7 8 P(B|A) =
P(par | verde) =
P(par | rojo) =
P(par | negro) =
P(par ∩ verde)
P(verde)
P(par ∩ rojo)
P(rojo)
P(par ∩ negro)
P(negro)
=
=
=
1
3
2
4
=
1
2
1
1
= 1
P(par) =
4
8
=
1
2
P(par|rojo) = P(par)
par y rojo son sucesos
independientes
proporción de pares
entre las bolas rojas =
proporción de pares
en el conjunto total
P(par|verde) ≠ P(par)
par y verde son dependientes
P(par|negro) ≠ P(par)
par y negro son dependientes
32. ● Experiencias independientes:
Cuando el resultado de cada
experiencia,no influye en el de la
siguiente.
● Experiencias dependientes:
Cuando el resultado de cada
experiencia, sí influye en el de la
siguiente.
P(S1
∩ S2
) = P(S1
)·P(S2
) P(S1
∩ S2
) = P(S1
)·P(S2
IS1
)
Extracción de dos cartas sucesiva-
mente con reemplazamiento:
P(As1
∩ As2
) = P(As1
).P(As2
)=
4/40 4/40•=
Extracción de dos cartas sucesiva-
mente sin reemplazamiento:
P(As1
∩ As2
) = P(As1
).P(As2
IAs1
)=
4/40 3/39•=
Observa la diferencia en la segunda extracción
EXPERIENCIAS COMPUESTAS
Se llaman experiencias compuestas a aquellas en las que se distinguen
dos o más etapas. Se distinguen dos casos:
33. De una baraja española se extraen dos cartas sucesivamente y sin
reemplazamiento.La primera carta extraída es el as de oros.
Calcula la probabilidad de que la segunda carta extraída sea:
1) oros 2) as 3) figura
Primera carta Segunda carta
1) P(oros) = P(O2
| A1
) = 9/39 = 3/13
2) P(as) = P(A2
| A1
) = 3/39 = 1/13
3) P(figura) = P(F2
| A1
) = 12/39 = 4/13
34. CASO I : EXPERIENCIAS INDEPENDIENTES
Lanzamos dos dados.¿Cuál es la probabilidad de obtener “PAR”
en el primer dado y “MAYOR QUE 2” en el segundo?
{3,4,5,6}
{1,2}
{1,2}
{3,4,5,6}
1/2
1/2
4/6
4/6
2/6
2/6
Primer dado
PAR
IMPAR
Segundo dado
NO MAYOR QUE 2
MAYOR QUE 2
MAYOR QUE 2
NO MAYOR QUE 2
35. {3,4,5,6}
{1,2}
{1,2}
{3,4,5,6}
4/6
4/6
2/6
2/6
Experiencia 1ª:
Ahora determinamos las probabilidades de cada suceso de la
experiencia compuesta:
P(PAR y MAYOR QUE 2) =
P(PAR y NO MAYOR QUE 2) =
P(IMPAR y MAYOR QUE 2) =
P(IMPAR y NO MAYOR QUE 2)=
Experiencia 2ª:
IMPAR
1/2
1/2
PAR
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
4/6
2/6
4/6
2/6
..
.
.
.
Para obtener la probabilidad de un suceso
compuesto,se multiplican las probabilidades
de los sucesos simples que lo componen ya
que las experiencias son independientes:
P(PAR ∩ MAYOR QUE 2) = P(PAR) · P(MAYOR QUE 2) = 1/2 · 4/6
experiencias independientes:
36. CASO II : EXPERIENCIAS DEPENDIENTES
Tenemos una urna con 3 bolas verdes y 2 bolas rojas.
Extraemos dos bolas sucesivamente y sin reemplazamiento.
¿Cuál es la probabilidad de que “AMBAS SEAN VERDES”?
Primera extracción Segunda extracción
3/5
2/5
2/4
2/4
1/4
3/4
P( ) =
P( ) =
P( ) =
P( ) =
2/5
2/5
3/5
3/53/5
1/4
3/4
2/4
2/4••
•
•
•
experiencias dependientes: la probabilidad de la 2ª extracción es condicionada
P(VERDE1 ∩ VERDE2) = P(VERDE1)·P(VERDE2 | VERDE1) = 3/5 · 2/4
37. EJERCICIO:
Extraemos simultáneamente 3 cartas de una baraja.
¿Cuál es la probabilidad de obtener “3 ASES” ?
Simultáneamente
=
sucesivamente sin
reemplazamiento
Es una
experiencia
compuesta,
formada por
experiencias
dependientes
Haré un
diagrama de
árbol
para ayudarme
NOTA:
Hay ocasiones en los que las pruebas no son sucesivas,sino simultáneas.
Pero puede ser más fácil pensar en ellas como si se sucedieran en el tiempo.
38. 1ª extracción 2ª extracción 3ª extracción
4/40
36/40
As
No As
35/39
4/39
3/39
36/39
2/38
36/38
4/38
34/38
3/38
35/38
3/38
35/38
••
•
•
•
•
•
•
•
39. 1ª extracción
4/40
36/40
As
No As
2ª extracción
35/39
4/39
3/39
36/39
3ª extracción
2/38
36/38
4/38
34/38
3/38
35/38
3/38
35/38
••
•
•
•
•
•
•
•
P(AXX)=
P(XAX)=
P(XXA)=
P(XXX)=
P(AAA)=
P(AAX)=
P(AXA)=
P(XAA)=
4/40 3/39 2/38• •
36/40 35/39 34/38• •
4/40 3/39 36/38• •
4/40 36/39 3/38• •
4/40 36/39 35/38• •
4/40 36/39 3/38• •
36/40 4/39 3/38• •
36/40 4/39 35/38• •
36/40 35/39 4/38• •
Ahora determinamos las probabilidades de cada suceso de la
experiencia compuesta:
40. 1/2
1/2
Se tiene una urna con 4 bolas rojas y 2 verdes.
Se lanza una moneda.Si sale cara se saca una bola de la urna,y si
sale cruz se sacan dos bolas sucesivamente y sin reemplazamiento.
Halla la probabilidad de:
a) sacar 2 bolas verdes b) ninguna verde
4/6
4/6
2/6
2/6
P( )=
P( )= 1/2
1/2 4/6
2/6
•
•
P( )=
P( )=
P( )=
P( )=
1/2
1/2
1/2
1/2
4/6
4/6
2/6
2/6
3/5
2/5
4/5
1/5
•
•
•
• •
•
•
•
cara
cruz
1ª bola
3/5
2/5
4/5
1/5
moneda 2ª bola
42. A1
A2
A3
A4
A5
S
E
A1
∩ S
A2
∩ S
A3
∩ S
A4
∩ S
A5
∩ S
Cualquier suceso S se puede expresar
como unión de sucesos incompatibles:
S = (A1
∩ S) U (A2
∩ S) U..... U (An
∩ S)
P(S) = P(A1
∩ S) + P (A2
∩ S) +..... + P (An
∩ S) =
= P(A1
)·P(S| A1
)+P(A2
)·P(S| A2
)+....+P(An
)·P(S| An
)
por lo tanto,la probabilidad total de S es:
Si el espacio E se descompone como
unión de sucesos incompatibles:
E = A1
U A2
U....U An
siendo
Ø = A1
∩ A2
= A1
∩ A3
=......= Ai
∩ Aj
PROBABILIDAD TOTAL
43. A1
A2
A3
An
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
P(S| A1
)
P(S| A2
)
P(S| An
)
A1
∩ S
A2
∩ S
An
∩ S
P(S)
.
.
.
.
P(A1
∩ S)
P(A2
∩ S)
P(An
∩ S)
P(A1
)
P(A2
)
P(An
)
P(S) = P(A1
∩ S) + P (A2
∩ S) +..... + P (An
∩ S) =
= P(A1
)·P(S| A1
) + P(A2
)·P(S| A2
) + .... + P(An
)·P(S| An
)
La probabilidad total
del suceso S es:
PROBABILIDAD TOTAL
44. La probabilidad de que un autobús que va de Madrid a Burgos sufra
un accidente en un día lluvioso es del 9% y en día seco del 5‰.
Durante un período de 10 días ha habido 7 días secos y 3 lluviosos.
¿Cuál será la probabilidad de que se produzca un accidente?
A
A
Ᾱ
Ᾱ
L
S
0,3
0,7
0,09
0,91
0,005
0,995
Lluvioso L
Seco S
A ∩ L
A ∩ S
A ∩ L
A ∩ S
E
A ∩ L
A ∩ S
A
P(A) = P(A ∩ L) + P(A ∩ S) = P(L)·P(A| L) + P(S)·P(A| S) =
La probabilidad total de tener accidente es:
= 0,0305 O sea,ligeramente superior a un 3%. 0,09 + 0,7 . 0,0050,3
45. Un gato persigue a un ratón.Este puede entrar en uno de los tres
callejones A,B o C. La probabilidad de que elija cada uno de ellos es del
30%, 50% y 20%, respectivamente.Y de que sea cazado en cada uno de
ellos del 40%, 60% y 10% respectivamente.
Calcula la probabilidad de que el gato finalmente cace al ratón.
A
B
C
0,3
0,5
0,2
P(A∩cazado)
P(B∩cazado)
P(C∩cazado)
P(A∩no cazado)
P(B∩no cazado)
P(C∩no cazado)
P(A)·P(cazadoIA) + P(B)·P(cazadoIB) + P(C)·P(cazadoIC) =
0,4
0,6
0,6
0,4
0,1
0,9
0,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,4
= 0,4• • •0,6 0,1+ +0,3 0,5 0,2 = 0,44
P(cazado) =
P(cazado)
La probabilidad total de que
el ratón sea cazado es:
46. urna A
Tenemos dos urnas A y B. Se extrae una bola de A , y se introduce
en B, se remueve y se extrae finalmente una bola de la urna B.
Halla la probabilidad de que la segunda bola extraída sea:
a) roja b) verde c) negra
urna A urna B
urna B
P(R)
P(R)P(V)
P(N)
2/6
3/6
1/6
2/5
1/5
2/5
1/5
2/5
2/5
1/5
1/5
3/5
P(R)=P(R1)·P(R2|R1) + P(V1)·P(R2|V1) + P(N1)·P(R2|N1) =
= 2/6 2/5. + 3/6 1/5. + 1/6 1/5. = 8/30
P(V)=P(R1)·P(V2|R1) + P(V1)·P(V2|V1) + P(N1)·P(V2|N1) =
= 2/6 1/5. + 3/6 2/5. + 1/6 1/5. = 9/30
P(N)=P(R1)·P(N2|R1) + P(V1)·P(N2|V1) + P(N1)·P(N2|N1) =
= 2/6 2/5. + 3/6 2/5. + 1/6 3/5. = 13/30
48. PROBABILIDADES “A POSTERIORI”: TEOREMA DE BAYES.
En una experiencia compuesta,si A es una suceso de la primera experiencia y
S un suceso de la segunda,¿tiene sentido la probabilidad condicionada P(A|S)?
Se puede llegar al suceso S habiendo pasado primero por A, o bien por otros
sucesos (B, C,....) de la primera experiencia:
Si sabemos que finalmente ha ocurrido el suceso S,¿cuál es la probabilidad de
que haya ocurrido así, pasando previamente por el suceso A?
O sea,de las distintas causas que han podido provocar como efecto el suceso S,
¿en qué proporción del total de veces que sucede S,la causa ha sido A?
Este es el significado de P(A|S), llamada probabilidad “a posteriori” de A,
sabiendo que ha ocurrido S. (También llamada probabilidad de las causas)
Intuitivamente,dicha proporción es:
B
A
C
S
S
S
50. La probabilidad de que un autobús que va de Madrid a Burgos sufra
un accidente en un día lluvioso es del 9% y en día seco del 5‰.
Durante un período de 10 días ha habido 7 días secos y 3 lluviosos.
Sabiendo que se ha producido un accidente en esos días,¿cuál será la
probabilidad de que haya ocurrido:
a) en día lluvioso? b) en día soleado?
A
A
Ᾱ
Ᾱ
L
S
0,3
0,7
0,09
0,91
0,005
0,995
Lluvioso L
Seco S
A ∩ L
A ∩ S
A ∩ L
A ∩ S
EA ∩ L
A ∩ S
A
P(L | A) =
P(A ∩ L)
P(A)
P(S | A) =
P(A ∩ S)
P(A)
=
=
. 0,090,3
0,0305
0,0305
0,7 . 0,005
=
=
. 0,09 + 0,7 . 0,0050,3
. 0,09 + 0,7 . 0,0050,3
. 0,090,3
.0,7 0,005
51. Supongamos,siguiendo con el ejercicio anterior,que vemos al gato
perseguir al ratón.Al poco rato llega con él en la boca.
¿En cuál de los tres caminos es más probable que lo haya cazado?
Calculamos la probabilidad de que el ratón estuviera en cada uno de los caminos,
sabiendo que ha sido cazado,aplicando el teorema de Bayes:
P(A)·P(cazadoIA)+P(B)·P(cazadoIB)+P(C)·P(cazadoIC) =
= 0,4• • •0,6 0,1+ +0,3 0,5 0,2 = 0,44
Según el ejercicio anterior:
P(cazado) =
6
22
=
15
22
=
1
22
=
P(AIcazado)=P(AIcazado)=
P(A∩cazado)
P(cazado)
P(AIcazado)=P(BIcazado)=
P(B∩cazado)
P(cazado)
P(cazado)
P(AIcazado)=P(CIcazado)=
P(C∩cazado)
P(cazado)
=
0,4•
• •0,6 0,1+ +
0,3
0,5 0,20,4•0,3
0,6•
• •0,6 0,1+ +
0,5
0,5 0,20,4•0,3
0,1•
• •0,6 0,1+ +
0,2
0,5 0,20,4•0,3
=
=
53. E = 39
F = 16
I = 27
F∩ I=9
F
E
97
18
5
P(F) = 16/39
P(I) = 27/39
P(F∩ I) = 9/39
P(FU I) = P(F) + P(I) - P(F∩ I) = 34/39
P(F - I) = 7/39
P(I - F) = 18/39
P(F∩ I) = P(FUI) = 1 - P(FU I) = 5/39
P[(I - F)U(F - I) ] = P(I - F) + P(F – I) = 18/39 +7/39 = 25/39
De los 39 alumnos de una clase,16 escogieron francés y 27 inglés,
9 alumnos eligieron ambos idiomas y el resto no escogió ninguno de ellos.
Elegido un alumno al azar, halla la probabilidad de que escogiera:
a)francés b)inglés c)ambos d)alguno de los dos idiomas
e)francés pero no inglés f)inglés pero no francés g)sólo un idioma
h)ninguno de ellos
54. Sean A y B tales que: P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,5 ; P(A∩B) = 0,3.
Halla P(AUB) y P(A∩B).
A B
P(A∩B) = 0,3
Por las leyes de Morgan:
P(AUB) = 1 - P( AUB) = 1 - 0,3 = 0,7
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
0,7 = 0,4 + 0,5 – P(A∩B)
0,2
0,2
0,3
0,3
A∩B = AUB
Por T1.,hallamos la probabilidad del suceso contrario:
Por T6. tenemos que:
⇒ P(A∩B) = 0,2
⇒ P(A∩B) = P(AUB) = 0,3
Partimos de:
55. Sabemos que P(A) = 0,4 , P(B) = 0,3 y P(A∩B) = 0,1 .
Halla razonadamente :
P(AUB) P(AUB) P(A|B) P(A∩B)
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,4 + 0,3 – 0,1 = 0,6
Por las leyes de Morgan: AUB = A∩B ⇒ P(AUB) = P(A∩B) =
Y usando la probabilidad del
suceso contrario: = 1 - P(A∩B) = 1 - 0,1 = 0,9
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0,1 / 0,3 = 1/3 = 0,3333....
usando la otra ley de Morgan: A∩B = AUB
⇒ P(A∩B) = P(AUB) =
= 1 - P(AUB) = 1 - 0,6 = 0,4
A B
0,1 0,20,3
0,4
56. En una empresa hay 200 empleados:100 hombres y 100 mujeres.
Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres.Haz la tabla de contingencia
correspondiente y determina sobre ella probabilidades.
Hombres Mujeres
Fumadores 40 35 75
No Fumadores 60 65 125
100 100 200
P(M) = P(H) = 100/200 = 0,5
P(H∩NF) = 60/200 = 0,3
P(M∩F) = 35/200 = 0,175
P(M|F) = 35/75 = 0,467
P(F|M) = 35/100 = 0,35
ser mujer y ser fumador
son sucesos dependientes
P(M) ≠ P(M|F)
57. El 20 % de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20 %
son economistas.El 75 % de los ingenieros ocupan un puesto directivo
y el 50 % de los economistas también,mientras que de los no ingenieros
y no economistas solamente el 20 % ocupan un puesto directivo.
¿Cuál es la probabilidad de que un directivo elegido al azar sea ingeniero?
0,2
0,2
0,6
Ingenieros
Economistas
Sin titulación
0,75
0,25
0,5
0,5
0,8
IngenierosIngenierosIngenierosIngenierosIngenierosDirectivos
No Directivos
IngenierosIngenierosIngenierosIngenierosIngenierosDirectivos
No Directivos
IngenierosIngenierosIngenierosIngenierosIngenierosDirectivos
No Directivos
0,2
P(D)
0,405
0,2·0,75
0,2·0,75+0,2·0,5+0,6·0,2
= =
Teorema de Bayes:
58. Un jugador de baloncesto suele acertar el 75 % de sus tiros desde el punto
de lanzamiento de personales.Si acierta el primer tiro,puede tirar de nuevo
a canasta.Calcula la probabilidad de que:
a) haga dos puntos
b) haga un punto
c) no haga ningún punto
ACERTAR
FALLAR
0,75
0,25
ACERTAR
FALLAR
0,75
0,25
P(dos puntos) = P(A1∩A2) = P(A1).P(A2|A1) = 0,75 . 0,75 = 0,56
P(un punto) = P(A1∩F2) = P(A1).P(F2|A1) = 0,75 . 0,25 = 0,19
P(ningún punto) = P(F1) = 0,25