1. TEMA 8
Variables aleatorias multidimensionales
Probabilidades y Estadística I

2. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
Probabilidades y Estadística I

3. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
Probabilidades y Estadística I

4. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (1/5)
OBJETIVOS
• Describir los resultados de un experimento aleatorio en forma
de una variable real multidimensional
( X 1 , X 2 ,....., X m ) ∈ R m
• Describir la incertidumbre asociada mediante una función real
que describa las probabilidades subyacentes (modelos de
probabilidad)
Probabilidades y Estadística I

5. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (2/5)
Variable aleatoria bidimensional discreta
a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x,y)
i) p(x ,y) ≥0 ∀x ,y
ii) ∑∑ p( x, y) = 1
x y
RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA
 P[{ X = x} ∩ {Y = y}] si (x, y) ∈ Rg X

p ( x, y ) = 
0
 si (x, y) ∉ Rg X
P[{ X = x} ∩ {Y = y}] = P[ X = x, Y = y ]
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6. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (3/5)
Variable aleatoria bidimensional discreta
b) Representación integral: función de distribución, F(x,y)
F ( x, y ) P [ X ≤ x, Y ≤ y =
= ] ∑ ∑ p( x , y ) i j
xi ≤ x y j ≤ y
Probabilidades y Estadística I

7. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (4/5)
Variable aleatoria bidimensional continua
a) Representación diferencial: función de probabilidad, f(x,y)
i) f ( x, y ) ≥ 0 ∀x, y
+∞ +∞
ii) ∫∫
−∞ −∞
f ( x, y ) dx dy = 1
RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA
b d
P [ a < X < b, c < Y < d ] = f ( x, y ) dy dx
∫∫ a c
P [ X a, Y b= 0
= = ] P [ X = a , c ≤ Y ≤ d ] = P [ a ≤ X ≤ b, Y = c ] = 0
Probabilidades y Estadística I

8. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (5/5)
Variable aleatoria bidimensional continua
b) Representación integral: función de distribución, F(x,y)
x y
F ( x, y ) P [ X ≤ x, Y ≤ y =
= ] ∫∫ f (u , v) dv du
−∞ −∞
PROPIEDADES
iii) F es monótona no decreciente en cada una de sus componentes
iv) F es continua en cada una de las componentes.
∂ 2 F ( x, y )
v) = f ( x, y )
∂x∂y
Probabilidades y Estadística I

9. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
Probabilidades y Estadística I

10. 2. Distribuciones marginales (1/2)
Variable aleatoria bidimensional discreta
a) Representación diferencial: funciones de probabilidad, p1(x) y p2(y)
p1 ( x) = ∑ p ( x, y ) p2 ( y ) = ∑ p ( x, y )
y x
b) Representación integral: función de distribución, F1(x) y F2(y) (escalonadas)
F1=
( xi ) ∑ ∑ p( x, y) ∑ p=
= ( x) 1 P [ X ≤ xi ]
x ≤ xi y x ≤ xi
=
F2 ( y j ) ∑ ∑ p( x= ∑ p =
x
, y) ( y)
y≤ y j y≤ y j
2 P Y ≤ y j 
 
Probabilidades y Estadística I

11. 2. Distribuciones marginales (2/2)
Variable aleatoria bidimensional continua
a) Representación diferencial: funciones de densidad, f1(x) y f2(y)
+∞ +∞
f1 ( x) = ∫
−∞
f ( x, y ) dy f2 ( y) = ∫
−∞
f ( x, y ) dx
b) Representación integral: función de distribución, F1(x) y F2(y) (continuas)
x x +∞
F1 ( x= P [ X ≤ x=
) ] ∫ =
f1 ( x) dx ∫∫ f (u , v) dv du
−∞ −∞ −∞
y +∞ y
F2 ( y )= P [Y ≤ y ]= ∫ f 2 ( y ) dy= ∫∫ f (u , v) dv du
−∞ −∞ −∞
Probabilidades y Estadística I

12. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
Probabilidades y Estadística I

13. 3. Distribuciones condicionadas (1/6)
EJEMPLO
La variable X representa la proporción de errores tipo A que existen en un documento,
mientras que la variable Y representa la proporción de errores tipo B. En ese documento
existen otros tipos de errores como el C, el D etc...La falta de información sobre el estudio nos
lleva a que la distribución conjunta del vector (X, Y) sigue una distribución uniforme.
El 75% de los errores son de tipo B Y=0.75
X | Y=0.75
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14. 3. Distribuciones condicionadas (2/6)
Variable aleatoria bidimensional discreta
Sea y0 un número real tal que p2 ( y0 ) > 0 . Se denomina función de probabilidad de X
condicionada al Y = y0 , y se denota por p ( x | y0 ) , a la siguiente función real de variable real.
p ( x, y0 )
p ( x | y0 ) =
p2 ( y0 )
p ( x0 , y )
p ( y | x0 ) =
p1 ( x0 )
FAMILIAS { p( x | y0 )} y ∈Rg Y
0
{ p( y | x0 )}x ∈Rg X
0
Probabilidades y Estadística I

15. 3. Distribuciones condicionadas (3/6)
Variable aleatoria bidimensional continua
Sea y0 un número real tal que f 2 ( y0 ) > 0 . Se denomina función de densidad de X
condicionada al Y = y0 , y se denota por f ( x | y0 ) , a la siguiente función real de variable real.
f ( x, y0 )
f ( x | y0 ) =
f 2 ( y0 )
f ( x0 , y )
f ( y | x0 ) =
f1 ( x0 )
FAMILIAS { f ( x | y0 )} y ∈Rg Y
0
{ f ( y | x0 )}x ∈Rg X
0
Probabilidades y Estadística I

16. 3. Distribuciones condicionadas (5/6)
Relaciones entre los tres tipos de distribuciones asociadas a un vector aleatorio
bidimensional
CONJUNTA = MARGINAL × CONDICIONADA
Esta clase de relación se obtiene en los tres escenarios en donde se desarrolla el contenido de
esta asignatura:
• Estadística Descriptiva: fij = fi • × f ji = f • j × f i j
• Probabilidades con Álgebra de Boole: P ( A ∩ B )= P( A) × P( B | A)= P ( B ) × P ( A | B )
• Variables aleatorias: = f= f 2 ( y ) f ( x | y )
f ( x, y ) 1 ( x ) f ( y | x )
Probabilidades y Estadística I

17. 3. Distribuciones condicionadas (6/6)
Variable aleatoria bidimensional mixta
( X ,Y ) ∈ R2
X es discreta y Y es continua
DISTRIBUCUÓN CONJUNTA
p1 ( x) × f ( y | x) f 2 ( y) × p( x | y)
Probabilidades y Estadística I

18. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
Probabilidades y Estadística I

19. 4. V. aleatorias independientes
DEFINICIÓN 1
f ( x | y ) = f1 ( x) ∀y ⇔ f ( y | x) = f 2 ( y ) ∀x
DEFINICIÓN 2
f ( x, y ) f1 ( x) × f 2 ( y )
= F ( x, y ) F1 ( x) × F2 ( y )
=
• Estadística Descriptiva: f= fi • × f • j
ij
• Probabilidades con Álgebra de Boole: P ( A ∩ B )= P( A) × P( B)
Probabilidades y Estadística I

20. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
Probabilidades y Estadística I

21. 5. Momentos (1/3)
Caso discreto E [ g ( x, y ) ] = ∑∑ g ( x, y ) p ( x, y )
x y
+∞ +∞
Caso continuo E [ g ( x, y ) ] = ∫ ∫ g ( x, y) f ( x, y) dx dy
−∞ −∞
Momentos centrados en el origen α k , l = E[ x k y l ]
Momentos centrados en la media µ k ,l =
E  ( x − α ) k ( y − α )l 
0, 1 
 1, 0

Probabilidades y Estadística I

22. 5. Momentos (2/3)
Momentos destacados
= E[ X ] µ X
α1,0 = = E[Y ] µY
α 0,1 =
= Var [ X ] σ X
µ2, 0 = 2 = Var [Y ] σ Y
µ0, 2 = 2
cov( X , Y )
µ1,1 = Cov( X , Y ) ρ=
σ Xσ y
Probabilidades y Estadística I

23. 5. Momentos (3/3)
Propiedades
a) E [ aX + bY= aE [ X ] + bE [Y ]
]
b) Var (aX + = a 2Var ( X ) + b 2Var (Y ) + 2ab cov( X , Y )
bY )
c) cov( X , Y ) E [ XY ] − E [ X ] E [Y ]
=
BAJO INDEPENDENCIA
d) E [ XY ] = E [ X ] E [Y ]
cov( X , Y ) = 0 Var (aX + = a 2Var ( X ) + b 2Var (Y )
bY )
Probabilidades y Estadística I

24. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
Probabilidades y Estadística I

25. 6. Teorema de Bayes
p ( y x) p1 ( x)
p( x y ) =
a) Caso 1: X e Y discretas
∑ p( y x) p1 ( x)
x
f ( y x) f1 ( x)
b) Caso 2: X e Y continuas f ( x y) =
∫ f ( y x) f ( x) dx
1
f ( y x) p1 ( x)
p( x y ) =
c) Caso 3: X discreta e Y continua
∑ f ( y x) p1 ( x)
x
p ( y x) f1 ( x)
d) Caso 4: X continua e Y discreta f ( x y) =
∫ p( y x) f ( x) dx
1
Probabilidades y Estadística I

26. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
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27. 7. Reproductividad (1/3)
BAJO INDEPENDENCIA
Caso 1: Binomial X ∼ β (n1 , p ) Y ∼ β (n2 , p )
X + Y ∼ β (n1 + n2 , p )
Caso 2: Binomial negativa X ∼ β N (n1 , p ) Y ∼ β N (n2 , p )
X + Y ∼ β N (n1 + n2 , p )
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28. 7. Reproductividad (2/3)
BAJO INDEPENDENCIA
Caso 3: Poisson X ∼ P (λ1 ) Y ∼ P (λ2 )
X + Y ∼ P (λ1 + λ2 )
Caso 4: Normal X ∼ N ( µ1 , σ 1 ) Y ∼ N ( µ2 , σ 2 )
X + Y ∼ N ( µ1 + µ2 , σ 12 + σ 2 )
2
Probabilidades y Estadística I

29. 7. Reproductividad (3/3)
BAJO INDEPENDENCIA
Caso 5: Erlang X ∼ Erlang (k1 , λ ) Y ∼ Erlang (k2 , λ )
X + Y ∼ Erlang (k1 + k2 , λ )
Probabilidades y Estadística I