Este documento presenta los conceptos básicos de las proposiciones y las tablas de verdad en lógica. Explica que una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez. Define las operaciones lógicas de negación, conjunción y disyunción y sus propiedades. Además, introduce la noción de equivalencia entre proposiciones y las propiedades de esta relación.

1. Nota 1.4
Obsérvese que la proposición condicional
p −→ q, se enunciaba
Si p, entonces q
siendo una formulaci´on equivalente,
Una condici´on necesaria para p es q
y la proposici´on condicional q −→ p, se
enunciaba
Si q, entonces p
siendo una formulaci´on equivalente,
Una condici´on suficiente para p es q
Por tanto, una formulaci´on equivalente
de la proposici´on bicondicional en estos
t´erminos, ser´ıa:
Una condici´on necesaria y suficiente para
p es q
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Integrantes:
- Jonathan Negrón Valladares
-Percy Arellano Yenque
-Alex Alaya Luna
- Mario Pablo Chávez Salas
-Vladimir Prieto Contreras
Área:
Matemática
Profesora:
Paola Reaño Salas
Grado: 3ro Sección:
“A”
Año:

2. Proposiciones Equivalentes
So aquellas que tienen laso mismos valores de verdad. para simbolizar
la equivalencia entre dos o mas proposiciones se utiliza el símbolo ≡
que se lee "equivalente a...."
Aplicaciones de las proposiciones equivalentes
El hecho de que unas proposiciones sean equivalentes a otras permite:
 Reducir el numero de operaciones con el que es
necesario trabajar una operación puedes ser sustituida por
otra u otras con las que obtengan los mismos valores.
 Simplificar proposiciones compuestas siempre que
sea posible sustituirlas por otra mas simple con los mismo
valores de verdad
 Demostrar que una proposición es equivalente a
otra y puede ser sustituida por ella.
Definición de las operaciones en términos de negación, conjunción y
disyunción
Propiedades de ۷ y ۸
Conmutativa: p ۸ q ≡ q ۸ p / p ۷ q ≡ q ۷ p
Asociativa: p ۸ (q ۸ r) ≡ (p ۸ q) ۸ r ≡ (p ۸ q ۸ r) / p ۷ (q ۷ r) ≡ (p ۷ q)
۷ r ≡ (p ۷ q ۷ r)
Distributiva: p ۸ (q ۷ r) ≡ (p ۸ q) ۷ (p ۸ r) / p ۷ (q ۸ r) ≡ (p ۷ q) ۸ (p
۷ r)
Idempotencia: p ۸ p ≡ p / p ۷ p ≡ p
Absorción: p ۸ (p ۷ q) ≡ p / p ۷ (p ۸ q) ≡ p
Propiedades de la negación
Doble negación o involución: --p ≡ p
Complementariedad: p ۸ -p ≡ C / p ۷ -p ≡ T
Dualidad (Leyes Morgan) -(p ۸ q) ≡ (-p ۷ -q) / -(p ۷ q) ≡ (-p ۸ -q)
Propiedades de ≡
Son tres, la reflexiva, la simétrica y la transitiva. La reflexiva una
proposición es equivalente a si misma. La simétrica si p es equivalente
a q, entonces q es equivalente a p. La transitiva si p es equivalente a
q, y q es equivalente a r, p es equivalente a r.
Tautología y contradicción
T ۸ p ≡ p
Ejercicio :
[(p → q) ۸ p] → q
-[(-p ۷ q) ۸ p] ۷ q (rediciendo las condicionales a
conjunciones)
-(-p ۷ q) ۷ -p ۷ q (por la ley de Morgan)
--p ۸ -q ۷ -p ۷ q (por la ley de Morgan)
p ۸ -q ۷ p ۷ q (por la doble negación)
(p ۷ -p ۷ q) ۸ (-q ۷ q ۷ -p) (por la distributiva)
(T ۷ q) ۸ (T ۷ -p) (por la definición de
tautológica)
T ۸ T (por las propiedades de T)
T (por idempotencia)
1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad
En el desarrollo de cualquier teor´ıa matem´atica se hacen
afirmaciones en forma de frases y que tienen
un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las
denominaremos enunciados o proposiciones.
1.1.1 Proposici´on
Llamaremos de esta forma a cualquier afirmaci´on que sea
verdadera o falsa, pero no ambas cosas a
la vez.
Ejemplo 1.1 Las siguientes afirmaciones son proposiciones.
(a) Gabriel Garc´ıa M´arquez escribi´o Cien a˜nos de
soledad.
(b) 6 es un n´umero primo.
(c) 3+2=6
(d) 1 es un n´umero entero, pero 2 no lo es.
Nota 1.1 Las proposiciones se notan con letras min´usculas,
p, q, r . . . . . . La notaci´on p :Tres m´as
cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la
proposici´on “tres m´as cuatro es igual a siete”.
Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no
pueden descomponerse en otras.
Ejemplo 1.2 Las siguientes no son proposiciones.
(a) x + y > 5
(b) ¿Te vas?
(c) Compra cinco azules y cuatro rojas.
(d) x = 2
Soluci´on
En efecto, (a) es una afirmaci´on pero no es una proposici´on
ya que ser´a verdadera o falsa dependiendo
de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmaci´on (d).
Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones,
por lo tanto no son proposiciones.
Desde el punto de vista l´ogico carece de importancia cual
sea el contenido material de los enunciados,
solamente interesa su valor de verdad.