Este documento describe la proporcionalidad directa e inversa y proporciona ejemplos de problemas resueltos utilizando estas relaciones. Explica que la proporcionalidad directa ocurre cuando dos magnitudes varían en la misma proporción, mientras que la proporcionalidad inversa ocurre cuando una magnitud aumenta a medida que la otra disminuye. También introduce la regla de tres inversa como un método para resolver problemas de proporcionalidad inversa.

1. Proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa
Las magnitudes proporcionales pueden ser directamente proporcionales o inversamente
proporcionales.
¿Cuándo son directamente proporcionales? Cuando al aumentar una de las magnitudes
aumenta proporcionalmente la otra. Es decir, si al multiplicar o dividir una de ellas por un
número, la otra también se multiplica o divide por ese mismo número.
Sin embargo, son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de las magnitudes
disminuye proporcionalmente la otra. Es decir, si al multiplicar una de ellas por un número la
otra queda dividida por ese mismo número, o viceversa: si al dividir una de ellas entre un
número la otra queda multiplicada por este número.
Problemas de proporcionalidad
Ahora vamos a ver algunos problemas de proporcionalidad, pensaremos si son de
proporcionalidad directa o inversa y los resolveremos.
Primer problema de proporcionalidad:
Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos dijeron
que 5 centímetros del mapa representaban 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un
parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se
encuentra este parque?
Para resolver este problema, debemos pensar en primer lugar si cumple una proporcionalidad
directa o inversa. Para ello, pensamos…
Si en lugar de 5 centímetros hablásemos del doble de centímetros en el mapa (10
centímetros), ¿en la realidad serían más metros o menos metros?
Serían más metros: justo el doble de metros en la realidad.
Si al duplicar una magnitud (centímetros) también se duplica la otra (metros) estamos
hablando de una proporcionalidad directa.
Por lo tanto, vamos a resolver el problema:
Como 5 centímetros representan 600 metros, 1 centímetro representará…..
600 : 5 = 120 metros
Como 1 centímetro representa 120 metros, 8 centímetros representarán…
120 x 8 = 960 metros
Solución: El parque se encuentra a 960 metros del hotel.
Segundo problema de proporcionalidad:
Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el puerto hasta el almacén. Hoy 3
camiones, iguales a los de ayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportar la misma cantidad
de mercancía del almacén al centro comercial. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los
camiones?
Nos preguntamos si cumple una proporcionalidad directa o inversa. Para ello, pensamos…

2. Si en lugar de 3 camiones hablásemos del doble de camiones (6 camiones), ¿tendrían que
hacer más o menos viajes?
Cuantos más camiones carguen mercancía, en menos viajes se cargará toda: necesitarían justo
la mitad de viajes.
Si al duplicar una magnitud (camiones) se divide entre dos la otra (viajes necesarios) estamos
hablando de una proporcionalidad inversa.
Por lo tanto, vamos a resolver el problema:
Como 3 camiones necesitan hacer 6 viajes, 1 solo camión necesitaría hacer…
3 x 6 = 18 viajes
Como 1 solo camión necesitaría hacer 18 viajes, los 2 camiones tuvieron que hacer…
18 : 2 = 9 viajes
Solución: Ayer los 2 camiones hicieron 9 viajes cada uno.
Valores inversamente proporcionales. Proporcionalidad inversa.
Dos valores son inversamente proporcionales cuando:
Al aumentar un valor, el otro disminuye en la misma proporción
Al disminuir un valor, el otro aumenta en la misma proporción
Siempre que ocurra esto, hablamos de proporcionalidad inversa.
La proporción con la que aumenta o disminuye el valor es constante. A esta constante se le llama
razón de proporcionalidad inversa
Veamos algunos ejemplos de proporcionalidad inversa:
3 obreros tardan 4 horas para abrir una zanja. Si quieren abrirla en menos tiempo, se necesitarán
más obreros
La cantidad de obreros y el tiempo de abrir la zanja son dos magnitudes inversamente
proporcionales, porque si aumenta el número de obreros disminuye el tiempo y si disminuye el
número de obreros, aumenta el tiempo
Un autobús tarda 1 hora en acabar su trayecto a una velocidad de 80 km/h. Si aumenta la
velocidad a 100 km/h, tardará menos tiempo tardado
El tiempo que tarda el autobús y la velocidad son dos magnitudes inversamente proporcionales,
porque si aumenta la velocidad disminuye el tiempo tardado y si disminuye la velocidad,
aumenta el tiempo que tarda.
Qué es y cuándo se utiliza la regla de tres inversa
La regla de tres inversa es un método para calcular un valor desconocido que es inversamente
proporcional a otro valor que conocemos.
Se utiliza cuando las magnitudes que estamos tratando son inversamente proporcionales, es
decir, que guardan la siguiente relación:

3. Si una magnitud aumenta, la otra disminuye en la misma proporción
Si una magnitud disminuye, la otra aumenta en la misma proporción
Cómo hacer una regla de tres inversa paso a paso
Si para un valor A de una magnitud, tenemos un valor B de la otra magnitud, para un valor de C
de la primera magnitud, a la segunda magnitud le corresponderá un valor de X:
¿Cuánto vale esa X?
En una regla de tres inversa, la X se calcula multiplicando los dos valores que están en la línea
donde no está la X, divididos entre el valor que se encuentre en la misma línea que la X. Para
acordarnos, se dice que la X se resuelve en línea (a diferencia de la regla tres directa que es en
cruz):
Ejercicios resueltos de regla de tres inversa
Para resolver problemas de regla de tres, tenemos que trabajar siempre con las mismas
unidades entre las dos magnitudes. Una de las dificultades que puede haber es pasar todo a la
misma unidad
10 obreros tardan 2 meses en construir una casa. ¿Cuántos días tardarían 15 obreros?
A más obreros menos tiempo tardarán, luego hay que usar una regla de tres inversa
En primer lugar hay que pasar los meses a días, mediante una regla de tres directa:

4. EJEMPLO
1 grifo con un determinado caudal tarda 30 minutos en llenar un depósito. ¿Cuántos minutos
tardaría en llenarse el depósito con 3 grifos con el mismo caudal?
A más grifos (o más caudal) menos tiempo, luego hay que usar una regla de tres inversa:
Si queremos saber el tiempo en minutos, utilizamos una regla de tres directa: