Este documento explica conceptos básicos de proporcionalidad directa e inversa, la regla de tres y ejemplos de su aplicación. Define proporcionalidad como una relación constante entre variables, y explica que magnitudes directamente proporcionales aumentan juntas mientras que magnitudes inversamente proporcionales se reducen una cuando aumenta la otra. También describe la regla de tres como una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre valores conocidos y una incógnita.

1. ¿Qué es proporcionalidad?
Aquí encontrarás: ¿Cuándo es
proporcionalidad inversa?
¿Qué es la regla de tres?
Si tú puedes… yo también
Ahora hazlo tú
¿Sabías que?

2. ÍNDICE
¿Qué es proporcionalidad? 3
¿Cuándo es proporcionalidad inversa? 6
¿Qué es la regla de tres? 7
¿Ahora hazlo tú? 8
¿Sabías que? 9
Si tú puedes... yo también. 10
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3. ¿Qué es proporcionalidad?
Una relación de proporcionalidad es una relación entre dos variables en las
que el cociente entre las cantidades
que se corresponden es siempre el
mismo y se denomina cociente de
proporcionalidad.
La Constante de proporcionalidad (K)
es el Cociente de las razones de una
proporción. Si dos magnitudes son
directamente proporcionales, el
cociente o razón de dos cantidades
correspondientes es constante
Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el
resultado de dividirlos) entre ellos.
Las razones se pueden escribir en forma de quebrados o separadas las
cantidades por el signo de división.
En matemáticas, una fracción (del vocablo latín frāctus, roto), o quebrado es la
expresión de una cantidad dividida por otra.
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4. Proporción numérica
Cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver
cómo se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción
numérica.
Entonces:
Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b
es la misma que entre c y d.
Es decir
Se lee “a es a b como c es a d”
Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5
es la misma que la razón entre 8 y 20.
Es decir
En la Hay cuatro términos; a y d se llaman
proporción extremos, c y b se llaman medios.
L a propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el
producto de los extremos es igual al de los medios.
Así, en la proporción anterior se cumple que el producto de los
extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40
Magnitudes directamente proporcionales
Hay magnitudes que están relacionadas de tal forma que al aumentar una de
ellas, la otra aumenta. Por ejemplo, si compramos naranjas, cuanto mayor sea
la cantidad que compremos, mayor es el dinero que pagamos.
Pero esta relación entre ambas magnitudes también es muy especial, si
compramos el doble, pagamos el doble, si compramos el triple, pagamos el
triple. Cuando se cumple esta relación, diremos que las dos magnitudes son
directamente proporcionales.
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5. Otro ejemplo
Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán
hacer?
Número de
1 2 3 ... 26 ...
sacos
Peso en kg 20 40 60 ... 520 ...
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa que
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente
proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.
Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo
que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver una gran cantidad
de problemas matemáticos.
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6. ¿Cuándo es proporcionalidad inversa?
Magnitudes inversamente proporcionales
Hay magnitudes que están relacionadas de
tal forma que al aumentar una de ellas, la
otra disminuye. Por ejemplo, si viajamos en
coche, cuanto mayor sea su velocidad
(coche rojo), menor es el tiempo que
tardamos en hacer un recorrido
determinado.
Pero esta relación entre ambas magnitudes también es muy especial, si la
velocidad del vehículo aumenta el doble, el tiempo que tarda disminuye a la
mitad, si aumenta el triple, el tiempo disminuye a la tercera parte. Cuando se
cumple esta relación, diremos que las dos magnitudes son inversamente
proporcionales.
Otro ejemplo:
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán
18 hombres para realizar el mismo trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a
triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por
tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que
son indirectamente proporcionales).
Formamos la tabla:
Hombres 3 6 9 ... 18
Días 24 12 8 ... ?
Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72
Por tanto 18 por x = 72
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene
multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual.
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7. ¿Qué es la regla de tres?
Se llama razón al cociente entre dos números y se llama proporción a la igualdad de dos
razones.
La regla de tres es una forma de resolución de problemas de proporcionalidad entre
tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de
linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.
Regla de tres simple o directa
Se apl i ca po r ci o n ales , hay qu e cal cu l ar l a can t i dad de u n a de est as
m agn i tu des co r cu an do dadas do s can t idades co r r espo n di en t es a
m agn i tu des di r ect am en t e pr o r espon dien t e a u n a can ti dad dada de l a
o t r a m agn i tu d.
12 ------ 72
20 ------ x
Donde x = (72 x 20) / 12.
Mi mama me mando a comprar $20 de naranjas, pero la señora me vende 72
naranjas por $12, ¿Cuántas naranjas me dará con $20?
Le darán 120 naranjas por que se multiplican los valores que están en la diagonal que
no contiene a x y se divide ese resultado por el valor que está en la diagonal que contiene
a x.
Regla de tres inversa
C o n si st e en qu e dadas do s can t i dades co r r espo n di en t es a m agn i tu des
i n ver sam en t e pr o por ci o n al es , cal cu l ar l a can t i dad de u n a de est as
m agn i tu des co r r espo n di ent e a u n a can ti dad dada de l a o t r a m agn i tu d
10 ------ 42
8 ------- x
x = (42 x 10) / 8
12 ------- (42 x 10) / 8
9 -------------------- y
y = (42 x 10 x 12) / (8 x 9)
El dueño de una tejeduría ha calculado que para tejer 630
metros de tela, 8 operarios tardan 7 días. Si 2 tejedores no
pueden trabajar (con lo que quedan sólo 6), ¿cuántos días
tardarán para hacer 810 metros de tela?
Para tejer más tela tardarán más días (DIRECTA), pero
menos obreros tardarán más días (INVERSA). Es, por tanto,
una REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA
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8. Ahora hazlo tú
 Un auto mó v il r e c o r r e 2 4 0
km e n 3 ho r as. ¿ C uánto s
kiló me tr o s habr á r e co r r ido
e n 2 ho r as?
 3 o br e ro s co nstr uye n un m ur o e n 1 2 ho r as, ¿ cuánto
tar dar án e n co ns tr uir lo 6 o br e r o s?
 Ana co mpr a 5 kg de patat as, s i 2 kg cue sta n 0 .8 0 € ,
¿ cuánto pagar á Ana?
 Un gr ifo q ue ma na 1 8 l de agua po r minu to tar da 1 4
ho r as e n lle nar u n de pó sito . ¿ C uánto tar dar ía si s u
caudal fue r a de 7 l po r minu to ?
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9. ¿Sabías que?
Origen del plano cartesiano
Se denominan plano cartesiano en honor a
René Descartes (1596-1650), el célebre
filósofo y matemático francés que quiso
fundamentar su pensamiento filosófico en la
necesidad de tomar un punto de partida
sobre el que edificar todo el conocimiento.
Como creador de la geometría analítica,
también comienza tomando un punto de
partida: el sistema de referencia
cartesiano, para poder representar la
geometría plana con referencia a dos rectas perpendiculares que se
cortan en origen, ideando las denominadas coordenadas cartesianas.
31 de marzo de 1596 a la Haye (ahora Descartes), Touraine 11 de
febrero de 1650, Estocolmo, Suecia.
René Descartes es un filósofo integral cuya
obra Géométrie [Geometría] ha jugado un
papel muy importante tanto en su sistema
filosófico global cuanto en la historia del
pensamiento matemático. Por esta razón es
de gran provecho releerla de nuevo para
comprender la evolución de dicho
pensamiento antes y después de Descartes.
Descartes fue educado en el colegio de los
jesuítas de La Flèche de Anjou. Ingresó a los
nueve o diez años y permaneció en la
institución hasta 1615. Al parecer, por
motivos de salud, se le permitía permanecer
en la cama hasta las once de la mañana, una costumbre que Descartes
mantendría a lo largo de toda su vida
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10. Si tú puedes... yo
también
1.- A un aficionado a los
rompecabezas le preguntaron cuántos
años tenía. La respuesta fue: Tomad
tres veces los años que tendré dentro
de tres años, restadles tres veces los
años que tenía hace tres años y
resultará exactamente los años que
tengo ahora. ¿Cuántos años tengo?
2.- Acomoda los números que faltan de modo que la suma
lineal resulte en 15.
3- Un pastor le dijo a otro: "Si te regalo una de mis ovejas,
tú tendrás el doble de ovejas que tengo yo. Pero si tú me
das una de las tuyas, tendríamos las mismas". ¿Cuántas
ovejas tenía cada uno?
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11. RESPUESTAS de ahora
hazlo tú..
Un auto mó v il r e co r r e 2 40 km e n 3 ho r as.
¿ C uánto s kiló me tr o s habr á r e co rr ido e n 2 ho r as?
So n mag nit ude s dir ec t a m ent e pr o po rc io na les , ya
que a m eno s ho r as r e co rr e r á m eno s kiló me tr o s.
2 4 0 km 3 h
x km 2 h
Ana co m pr a 5 k g de pa tata s, s i 2 kg cue stan 0 .8 0 € ,
¿ cuánto pagar á Ana?
So n magni tude s dir ec t a m ent e pr o po rc io na les , ya que
a m á s kilo s, m á s e ur o s.
2 kg 0 .8 0 €
5 kg x €
Un gr ifo que mana 1 8 l de agua po r minuto t ar da 14
ho r as e n lle nar un de pó sito . ¿ C uánto tar dar í a si s u
caudal fue r a de 7 l po r minu to ?
So n magn itu de s inver sa m ent e pr o po rc io na les , ya
que a m eno s lit r o s po r minuto tar dar á m á s e n lle nar e l
de pó sito .
1 8 l/min 14 h
7 l/m in x h
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12. 3 o bre r o s co nstr uye n un mur o e n 1 2 hor as, ¿ cuánto
tar dar án e n co ns tr uir lo 6 o br e r o s?
So n mag ni tude s inver sa m ent e p r o po r c io na les , ya que
a m á s o br e r o s tar dar án m eno s ho r as .
3 o br e ro s 12 h
6 o br e ro s x h
RESPUESTAS de ¡si tú puedes... yo
también!
1 .- 1 8 año s
2 .-
3.- R= Un pastor tiene 5 ovejas y otro 7
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13. Directorio:
Editoras: Jazmín Melchor Mota
Getsemaní Cuautla Guzmán.
Dirección: 3° año grupo “A”.
Consulta:
Guadalupe Almaguer, et al, Matemáticas II segundo grado,
LIMUSA segunda edición 2008 México, pp. 34-36.
Jesús Manuel Hernández Soto, et al,
Matemáticas II, SEP primera impresión 2009, México pp 45-46.
Baldor A Aritmética, publicaciones CULTURAL, edición 200, pp
495,496.
PROXIMA
EDICION….
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14. BINE LESET
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