Este documento explica conceptos básicos sobre raíces. Define una raíz como una expresión que consta de un índice, un símbolo de raíz y un subradical. Explica los elementos de una raíz como el índice, símbolo de raíz y subradical. Luego, presenta propiedades como que el índice es igual al exponente de la cantidad subradical, la multiplicación y división de raíces de igual índice, y ejemplos de raíces cuadradas y cúbicas.
El documento habla sobre la potenciación y cómo permite expresar un producto de factores iguales de forma simplificada. Explica conceptos como potencias con exponentes racionales y cómo se multiplican los signos en el exponente del denominador. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento habla sobre la etimología e información básica de la informática. Explica que la palabra "informática" proviene del francés "informatique" y se refiere al estudio de métodos para almacenar, procesar y transmitir datos digitales usando computadoras. También define conceptos clave como datos, programas, información, software y hardware, y describe las principales categorías de estos últimos como sistemas operativos, programación, aplicaciones y compresión.
La topología estudia las propiedades geométricas de figuras que permanecen inalteradas bajo deformaciones continuas como doblar o estirar. Algunas propiedades topológicas incluyen el número de agujeros, conectividad y tipo de superficie. La topología ha desarrollado teorías sobre nudos, grafos y clasificaciones de superficies.
Este documento explica conceptos básicos sobre raíces. Define una raíz como una expresión que consta de un índice, un símbolo de raíz y un subradical. Explica los elementos de una raíz como el índice, símbolo de raíz y subradical. Luego, describe diferentes tipos de raíces como la raíz cuadrada, raíz cúbica y propiedades de las raíces como la multiplicación y división de raíces del mismo índice. Finalmente, discute las condiciones de existencia para raí
Este documento describe las raíces y sus elementos. Explica que una raíz consta de un índice, un símbolo de raíz y un subradical. Luego, define una raíz como una potencia con exponente fraccionario. Finalmente, presenta tres propiedades de las raíces: 1) el índice es igual al exponente, 2) la multiplicación de raíces de igual índice es igual a la raíz de la multiplicación de los subradicales, y 3) la división de raíces de igual índice es igual a la raí
1) El documento es una guía de estudio de geometría analítica que incluye 17 preguntas sobre cálculos y conceptos geométricos como perímetros, funciones, rectas, elipses, circunferencias e hipérbolas.
2) Se piden calcular perímetros, dominios, rangos e intersecciones de funciones dadas. También identificar si son funciones.
3) Se explican condiciones para intersecciones con ejes y asíntotas, y aplicarlas a ecuaciones dadas.
Fracciones: Números Mixtos y Fracciones Impropias - Suma y Resta de Números ...Computer Learning Centers
Este documento proporciona instrucciones sobre cómo sumar y restar fracciones mixtas y convertir entre fracciones mixtas y fracciones impropias. Explica cómo sumar fracciones mixtas homogéneas agregando los enteros y fracciones por separado, y cómo manejar fracciones heterogéneas encontrando un mínimo común múltiplo para convertirlas en homogéneas. También cubre cómo restar fracciones mixtas homogéneas restando enteros y fracciones, y cómo puede ser necesario reagrupar antes de restar. Pro
Este documento describe las funciones definidas a trozos y la función valor absoluto. Explica que una función definida a trozos se compone de "trozos" de otras funciones y muestra ejemplos de cómo dividir el eje x en regiones para graficar cada trozo. También explica que la función valor absoluto mantiene los signos positivos e invierte los negativos, lo que efectivamente la convierte en una función definida a trozos. Muestra ejemplos gráficos de ambos tipos de funciones.
El documento habla sobre la potenciación y cómo permite expresar un producto de factores iguales de forma simplificada. Explica conceptos como potencias con exponentes racionales y cómo se multiplican los signos en el exponente del denominador. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento habla sobre la etimología e información básica de la informática. Explica que la palabra "informática" proviene del francés "informatique" y se refiere al estudio de métodos para almacenar, procesar y transmitir datos digitales usando computadoras. También define conceptos clave como datos, programas, información, software y hardware, y describe las principales categorías de estos últimos como sistemas operativos, programación, aplicaciones y compresión.
La topología estudia las propiedades geométricas de figuras que permanecen inalteradas bajo deformaciones continuas como doblar o estirar. Algunas propiedades topológicas incluyen el número de agujeros, conectividad y tipo de superficie. La topología ha desarrollado teorías sobre nudos, grafos y clasificaciones de superficies.
Este documento explica conceptos básicos sobre raíces. Define una raíz como una expresión que consta de un índice, un símbolo de raíz y un subradical. Explica los elementos de una raíz como el índice, símbolo de raíz y subradical. Luego, describe diferentes tipos de raíces como la raíz cuadrada, raíz cúbica y propiedades de las raíces como la multiplicación y división de raíces del mismo índice. Finalmente, discute las condiciones de existencia para raí
Este documento describe las raíces y sus elementos. Explica que una raíz consta de un índice, un símbolo de raíz y un subradical. Luego, define una raíz como una potencia con exponente fraccionario. Finalmente, presenta tres propiedades de las raíces: 1) el índice es igual al exponente, 2) la multiplicación de raíces de igual índice es igual a la raíz de la multiplicación de los subradicales, y 3) la división de raíces de igual índice es igual a la raí
1) El documento es una guía de estudio de geometría analítica que incluye 17 preguntas sobre cálculos y conceptos geométricos como perímetros, funciones, rectas, elipses, circunferencias e hipérbolas.
2) Se piden calcular perímetros, dominios, rangos e intersecciones de funciones dadas. También identificar si son funciones.
3) Se explican condiciones para intersecciones con ejes y asíntotas, y aplicarlas a ecuaciones dadas.
Fracciones: Números Mixtos y Fracciones Impropias - Suma y Resta de Números ...Computer Learning Centers
Este documento proporciona instrucciones sobre cómo sumar y restar fracciones mixtas y convertir entre fracciones mixtas y fracciones impropias. Explica cómo sumar fracciones mixtas homogéneas agregando los enteros y fracciones por separado, y cómo manejar fracciones heterogéneas encontrando un mínimo común múltiplo para convertirlas en homogéneas. También cubre cómo restar fracciones mixtas homogéneas restando enteros y fracciones, y cómo puede ser necesario reagrupar antes de restar. Pro
Este documento describe las funciones definidas a trozos y la función valor absoluto. Explica que una función definida a trozos se compone de "trozos" de otras funciones y muestra ejemplos de cómo dividir el eje x en regiones para graficar cada trozo. También explica que la función valor absoluto mantiene los signos positivos e invierte los negativos, lo que efectivamente la convierte en una función definida a trozos. Muestra ejemplos gráficos de ambos tipos de funciones.
Este documento presenta un taller de matemáticas para el grado octavo con nueve problemas que involucran operaciones con números enteros, fracciones y expresiones algebraicas. Los estudiantes deben resolver los problemas mostrando los procedimientos en su cuaderno.
Este documento presenta una serie de ejercicios prácticos relacionados con funciones lineales. Incluye emparejar gráficas con ecuaciones, graficar ecuaciones, determinar dominios y campos de valores, evaluar funciones, identificar si puntos son soluciones de ecuaciones, y hallar pendientes e interceptos. El documento fue preparado por la profesora Carmen Batiz para su clase de funciones lineales.
Este documento es un examen de álgebra que consta de 8 partes. El examen incluye gráficas de puntos en el plano cartesiano, encontrar ecuaciones de rectas dadas puntos y pendientes, factorización de expresiones algebraicas, y operaciones con polinomios. El examen pide mostrar trabajo y respuestas simplificadas.
Este documento presenta una introducción a los exponentes y radicales matemáticos. Explica que un exponente indica cuántas veces se usa una base como factor en una potencia abreviada. Luego proporciona ejemplos numéricos que ilustran cómo aplicar las reglas de los exponentes y radicales, como simplificar términos con la misma base o usar potencias fraccionarias. Finalmente, resuelve un problema sobre calcular cuántos planetas Plutón cabrían dentro del planeta Júpiter.
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre raíces para estudiantes de tercer medio. Incluye 15 ejercicios para calcular valores de expresiones utilizando propiedades de raíces y potencias, así como 13 ejercicios adicionales para expresar términos en su forma más simple usando estas mismas propiedades. Finalmente, propone resolver una ecuación exponencial. El objetivo es que los estudiantes practiquen el cálculo y simplificación de expresiones con raíces y potencias.
Este documento contiene ejercicios sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Incluye problemas para completar tablas, expresar ecuaciones en diferentes formas y graficar funciones. También contiene ejercicios sobre aplicaciones como la temperatura, la escala Richter de terremotos y la presión atmosférica. El documento prepara al estudiante para una evaluación sobre funciones exponenciales y logarítmicas.
Este documento presenta una guía sobre cálculo diferencial para un examen semestral. Incluye instrucciones generales como mostrar claramente los procedimientos y no tener borrones. Luego, la unidad uno contiene ejercicios de límites para funciones cúbicas, cuadráticas y lineales, así como información sobre límites indeterminados y en el infinito. Finalmente, cubre reglas de exponentes y derivación de funciones.
Este documento contiene un handout de matemáticas sobre potencias y notación científica para estudiantes de los grados 11 y 12 del Arica College en Chile. El handout incluye 9 ejercicios para calcular valores de potencias, expresiones con potencias y convertir números a notación científica y notación de potencia de base 10.
Este documento describe la función de dominio partido para el cargo mensual de servicio de Internet. La función consta de tres ecuaciones que determinan el cargo según el número de horas de consumo: hasta 50 horas es gratis, de 50 a 100 horas cuesta $0.25 por hora, y a partir de 100 horas cuesta $1 por hora. Al consumir 135 horas en un mes, el cargo sería $65.50.
El documento define las raíces y explica sus propiedades fundamentales. Las raíces son expresiones que constan de un índice, el símbolo de raíz y un subradical. Se explican las raíces cuadradas, cúbicas y de otros grados, así como propiedades como que el índice es igual al exponente del subradical, la multiplicación y división de raíces del mismo índice, tomar raíces de raíces y descomponer raíces.
Este documento presenta una guía de estudio sobre conjuntos numéricos. Contiene 17 actividades que cubren temas como clasificación de números, operaciones con potencias y raíces, simplificación de expresiones, y resolución de problemas relacionados con números reales. El objetivo es que los estudiantes reconozcan los conjuntos numéricos y sus propiedades, y puedan realizar operaciones y resolver situaciones problema utilizando números reales.
El documento presenta una serie de ejercicios sobre la transformación de expresiones algebraicas entre formas radicales y exponenciales. También incluye ejercicios para sumar, multiplicar, dividir radicales y extraer raíces cuadradas de números.
Este documento presenta una guía sobre raíces. Define las raíces, sus propiedades y ejemplos. Las raíces se definen como la cantidad subradical elevada al índice de la raíz. Las propiedades incluyen la igualdad de raíces de la misma base y exponente, las operaciones con raíces como suma, resta, multiplicación y división, y la racionalización para eliminar raíces en el denominador. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento presenta una guía sobre raíces. Define las raíces, sus propiedades y ejemplos. Las raíces se definen como la cantidad subradical elevada al índice de la raíz. Las propiedades incluyen operaciones con raíces como sumar, restar, multiplicar y dividir raíces, así como racionalizar denominadores. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada propiedad.
Este documento presenta un acróstico y crucigrama relacionados con diferentes nombres y títulos que se le daban a Jesucristo en la Biblia. Proporciona claves para resolver el acróstico y crucigrama a través de citas bíblicas. Anima a los estudiantes a participar en la actividad.
El documento define los radicales, incluyendo raíces n-ésimas, potencias con exponente fraccionario y números radicales. Explica cómo expresar los radicales en forma típica, reducirlos a un índice común, y realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división de radicales. También cubre la racionalización de radicales en forma de fracciones.
Este documento contiene un examen de operaciones con radicales y logaritmos dividido en 8 secciones que abarcan temas como simplificar radicales, expresar radicales como un solo radical, sumar y restar radicales, racionalizar expresiones, aplicar propiedades de logaritmos para calcular valores, y calcular logaritmos sin usar calculadora.
(1) Para racionalizar expresiones donde el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2, se debe aplicar el producto de una suma de dos términos por su diferencia: (a+b)(a-b)=a2-b2. (2) Esto se ilustra en un ejemplo donde se racionaliza la expresión 4.5√3/4.5√3 + 5√3/4.5√3 simplificando el 4 con el 2 para obtener el resultado 5√3/2.5√2.
Este documento explica cómo calcular potencias de fracciones. Indica que para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y denominador a esa potencia. También cubre propiedades como sumar exponentes al multiplicar potencias de la misma base y restar exponentes al dividir potencias de la misma base. Además, explica que una potencia negativa de una fracción es igual a la fracción invertida con el exponente positivo.
Este documento presenta un taller de matemáticas para reforzar conceptos vistos durante el segundo periodo. El taller contiene 9 ejercicios sobre potencias, multiplicaciones, divisiones, raíces y problemas de proporcionalidad. El taller tiene un valor del 5% de la calificación y debe realizarse a mano en hojas examen con buena presentación.
Este documento presenta una lista de obras de arte que representan al matemático y físico griego Arquímedes, incluyendo pinturas de Dirck van Baburen, Charlotte María Yonge, Honoré Daumier, Sebastiano Ricci, Eugène Delacroix, Giovanni Battista Langetti, Niccolo Barabino, y Thomas Degeorge; mosaicos del siglo XVIII; grabados de Giovanni Maria Mazzuchelli y Gustave Courtois; ilustraciones de Jost Ammon y de un cuadro de Vimont; y representaciones de Arquímedes en obras
Un eclipse híbrido de Sol ocurrió el 3 de Noviembre de 2013 y fue visible en partes de Colombia, España, Estados Unidos, Emiratos Árabes Unidos, Kenia, Nigeria y Sudán. El documento lista las ciudades y países donde el eclipse pudo ser observado.
Este documento presenta un taller de matemáticas para el grado octavo con nueve problemas que involucran operaciones con números enteros, fracciones y expresiones algebraicas. Los estudiantes deben resolver los problemas mostrando los procedimientos en su cuaderno.
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Este documento presenta una guía sobre cálculo diferencial para un examen semestral. Incluye instrucciones generales como mostrar claramente los procedimientos y no tener borrones. Luego, la unidad uno contiene ejercicios de límites para funciones cúbicas, cuadráticas y lineales, así como información sobre límites indeterminados y en el infinito. Finalmente, cubre reglas de exponentes y derivación de funciones.
Este documento contiene un handout de matemáticas sobre potencias y notación científica para estudiantes de los grados 11 y 12 del Arica College en Chile. El handout incluye 9 ejercicios para calcular valores de potencias, expresiones con potencias y convertir números a notación científica y notación de potencia de base 10.
Este documento describe la función de dominio partido para el cargo mensual de servicio de Internet. La función consta de tres ecuaciones que determinan el cargo según el número de horas de consumo: hasta 50 horas es gratis, de 50 a 100 horas cuesta $0.25 por hora, y a partir de 100 horas cuesta $1 por hora. Al consumir 135 horas en un mes, el cargo sería $65.50.
El documento define las raíces y explica sus propiedades fundamentales. Las raíces son expresiones que constan de un índice, el símbolo de raíz y un subradical. Se explican las raíces cuadradas, cúbicas y de otros grados, así como propiedades como que el índice es igual al exponente del subradical, la multiplicación y división de raíces del mismo índice, tomar raíces de raíces y descomponer raíces.
Este documento presenta una guía de estudio sobre conjuntos numéricos. Contiene 17 actividades que cubren temas como clasificación de números, operaciones con potencias y raíces, simplificación de expresiones, y resolución de problemas relacionados con números reales. El objetivo es que los estudiantes reconozcan los conjuntos numéricos y sus propiedades, y puedan realizar operaciones y resolver situaciones problema utilizando números reales.
El documento presenta una serie de ejercicios sobre la transformación de expresiones algebraicas entre formas radicales y exponenciales. También incluye ejercicios para sumar, multiplicar, dividir radicales y extraer raíces cuadradas de números.
Este documento presenta una guía sobre raíces. Define las raíces, sus propiedades y ejemplos. Las raíces se definen como la cantidad subradical elevada al índice de la raíz. Las propiedades incluyen la igualdad de raíces de la misma base y exponente, las operaciones con raíces como suma, resta, multiplicación y división, y la racionalización para eliminar raíces en el denominador. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento presenta una guía sobre raíces. Define las raíces, sus propiedades y ejemplos. Las raíces se definen como la cantidad subradical elevada al índice de la raíz. Las propiedades incluyen operaciones con raíces como sumar, restar, multiplicar y dividir raíces, así como racionalizar denominadores. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada propiedad.
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Este documento contiene un examen de operaciones con radicales y logaritmos dividido en 8 secciones que abarcan temas como simplificar radicales, expresar radicales como un solo radical, sumar y restar radicales, racionalizar expresiones, aplicar propiedades de logaritmos para calcular valores, y calcular logaritmos sin usar calculadora.
(1) Para racionalizar expresiones donde el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2, se debe aplicar el producto de una suma de dos términos por su diferencia: (a+b)(a-b)=a2-b2. (2) Esto se ilustra en un ejemplo donde se racionaliza la expresión 4.5√3/4.5√3 + 5√3/4.5√3 simplificando el 4 con el 2 para obtener el resultado 5√3/2.5√2.
Este documento explica cómo calcular potencias de fracciones. Indica que para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y denominador a esa potencia. También cubre propiedades como sumar exponentes al multiplicar potencias de la misma base y restar exponentes al dividir potencias de la misma base. Además, explica que una potencia negativa de una fracción es igual a la fracción invertida con el exponente positivo.
Este documento presenta un taller de matemáticas para reforzar conceptos vistos durante el segundo periodo. El taller contiene 9 ejercicios sobre potencias, multiplicaciones, divisiones, raíces y problemas de proporcionalidad. El taller tiene un valor del 5% de la calificación y debe realizarse a mano en hojas examen con buena presentación.
Este documento presenta una lista de obras de arte que representan al matemático y físico griego Arquímedes, incluyendo pinturas de Dirck van Baburen, Charlotte María Yonge, Honoré Daumier, Sebastiano Ricci, Eugène Delacroix, Giovanni Battista Langetti, Niccolo Barabino, y Thomas Degeorge; mosaicos del siglo XVIII; grabados de Giovanni Maria Mazzuchelli y Gustave Courtois; ilustraciones de Jost Ammon y de un cuadro de Vimont; y representaciones de Arquímedes en obras
Un eclipse híbrido de Sol ocurrió el 3 de Noviembre de 2013 y fue visible en partes de Colombia, España, Estados Unidos, Emiratos Árabes Unidos, Kenia, Nigeria y Sudán. El documento lista las ciudades y países donde el eclipse pudo ser observado.
Este documento presenta imágenes de la superluna de junio de 2013 tomadas desde varias ubicaciones alrededor del mundo, incluyendo Italia, España, Reino Unido, Estados Unidos, Singapur, Rusia, Jordania, Bielorrusia, Egipto y Canadá.
Este documento presenta las soluciones a cuatro ejercicios de una prueba de selectividad de matemáticas. El primer ejercicio involucra matrices y su multiplicación. El segundo analiza la monotonía y extremos de una función cúbica que modela los beneficios de una empresa. El tercero calcula probabilidades condicionadas sobre formas de transporte de estudiantes. El cuarto construye un intervalo de confianza para la proporción de hembras entre peces de una granja acuícola.
Este documento presenta dos opciones (A y B) de ejercicios de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales. La Opción A contiene 4 ejercicios sobre matrices, funciones, probabilidad y estimación de proporciones. La Opción B también tiene 4 ejercicios sobre máximos beneficios, funciones derivadas, probabilidad condicionada e intervalos de confianza. El documento proporciona instrucciones generales para la prueba y detalles sobre cada ejercicio.
El documento presenta la solución de 4 ejercicios de un examen de matemáticas. El primer ejercicio involucra calcular un límite y aplicar la regla de L'Hôpital. El segundo ejercicio pide graficar funciones y calcular un área. El tercer ejercicio trata sobre la independencia lineal de vectores fila y el rango de una matriz. El cuarto ejercicio involucra calcular la distancia entre dos rectas.
Vicente Escudero fue un bailarín flamenco español que renovó el baile flamenco con movimientos más elevados y elegantes. La exposición presenta 50 dibujos originales de Escudero que muestran sus interpretaciones del baile flamenco. Se celebra el 30 aniversario de la muerte de Escudero y rinde homenaje a su contribución al arte del baile flamenco.
Los exámenes de matemáticas de la selectividad andaluza de junio de 2011 abarcaron temas como números reales y complejos, funciones, geometría y estadística. Los estudiantes tuvieron que resolver ejercicios y problemas relacionados con estos temas para superar con éxito la prueba.
Este documento presenta 5 problemas de contraste de hipótesis. El primero contrasta si los dados están bien hechos mediante un contraste bilateral y unilateral. El segundo contrasta si la duración media de las bombillas es de 1680 horas. El tercero contrasta si la media poblacional de los tubos es de 43 mm. El cuarto contrasta si al menos el 95% de las viviendas cumplen la certificación. El quinto contrasta si la media de memoria de los estudiantes es de 195 puntos.
Este documento presenta 14 ejercicios de contrastes de hipótesis. Los ejercicios involucran variables aleatorias normales y pruebas estadísticas para determinar si los datos apoyan o rechazan hipótesis nulas sobre medias poblacionales y proporciones, a diferentes niveles de significación.
Este documento describe la distribución normal y su curva en forma de campana. Explica que la distribución normal está caracterizada por su media y desviación estándar. También cubre cómo tipificar una distribución normal para convertirla a una distribución normal estándar con media 0 y desviación estándar 1. Incluye ejemplos de cómo calcular probabilidades usando tablas de la distribución normal estándar.
Los ejercicios presentan problemas relacionados con la estimación de parámetros poblacionales a partir de muestras aleatorias, cuando las variables siguen distribuciones normales. Se piden calcular intervalos de confianza, probabilidades y tamaños muestrales mínimos para estimar medias y varianzas poblacionales con diferentes niveles de confianza y errores máximos.
Este documento presenta 12 ejercicios de probabilidad y probabilidad condicionada relacionados con diferentes experimentos aleatorios como extraer tornillos de una caja, lanzar dados, elegir películas de un cineclub, extraer monedas de cofres, entre otros. Cada ejercicio contiene varias preguntas sobre calcular probabilidades, determinar la independencia de sucesos y el espacio muestral.
Este documento presenta una serie de 16 problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Los problemas incluyen calcular números dados sus partes y operaciones matemáticas simples, hallar números dados relaciones de edades, distribuir cantidades entre personas, y resolver ecuaciones algebraicas de primer grado.
Este documento presenta 18 problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Los problemas incluyen calcular números dados sus operaciones y relaciones, hallar números dados sus sumas y operaciones, y resolver ecuaciones de primer grado.
Los sistemas de ecuaciones son conjuntos de ecuaciones que se resuelven simultáneamente para encontrar los valores de las variables desconocidas. Estos sistemas se utilizan para modelar problemas de la vida real que involucran varias cantidades relacionadas entre sí.
Este documento presenta 20 ecuaciones y problemas matemáticos para resolver, incluyendo ecuaciones de segundo grado, problemas de áreas y lados de figuras geométricas, y problemas que involucran números consecutivos y sus sumas y productos.
1. ¿Qué es una Raíz?
RAICES
La Definición de Raíz como Potencia
Raíz Cuadrada
Raíz Cúbica
El Indice Igual al Exponente
Multiplicación de Raíces de Igual Indice
División de Raíces de Igual Indice
Raíz de una Raíz.
Descomponer una Raíz
Racionalización
Condiciones de Existencia para las Raíces de Indice Par
Condiciones de Existencia para las Raíces de Indice Impar
Ecuaciones Irracionales
Curiosidades
Lugares en donde buscar más Información H.L.M.
2. ¿Qué es una Raíz?
Una Raíz es una expresión que consta de un
INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL.
¿Indice, raíz, cantidad subradical?
Símbolo Cantidad
Indice de Raíz Subradical
4 4
2
8
(-5,3)
4
2
5
3. Elementos de una Raíz
Exponente del
INDICE Subradical
m n
a
Símbolo
de Raíz SUBRADICAL
4. ¿Qué significa la Raíz?
Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción.
Raíz = Potencia
5
_ 3
_
4 5 4 2
2 = 2 2
= (-0,6)
3
_
3 2
Ojo: El Indice 2
(-5,3) = (-5,3) no se escribe.
7
_
_
6
4 7 2
6 = =
5 7
5. Transforma las siguientes raíces a Potencia
3 2
2
1
4
3
4 2
3
5 5 3
4 2
4 3
3 7 7 3
73 7 2 1 5
1
3
5 5 3
m5 m 2
3 3 2 4 n
5 5
3
7 4
7 3 m
dn d m
Transforma las siguientes Potencia a Raíces
9 1
9 6 6
1 2 2 2 7 7 7
6 2 6 7
5 5 53 53
5 2 c
5
0,3 2 0,3 4 3 3
42 a b b
ac
6. En General
a b
_
b= a a≥2
n n
Importante:
a b a b
0 =0 1 = 1
Lectura de una Raíz.
5
-Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej. 6
3 7
-Indice 3, Raíz Cúbica. Ej. 6
4 7
-Indice 4, Raíz Cuarta. Ej. 6
7. Raíz Cuadrada
4 2 ya que 2 2 4
9 3 ya que 33 9
16 4 ya que 4 4 16
25 5 ya que 5 5 25
2 1,4142135623730950488016887242...
Pero es solo una aproximación decimal de la
Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor
forma de representar a 2 es como 2 .
Esto sucede con muchas raíces cuadradas que
no entregan un resultado exacto
8. Raíz Cúbica
3
8 2 ya que 2 2 2 8
3
27 3 ya que 3 3 3 27
3
64 4 ya que 4 4 4 64
3
125 5 ya que 5 5 5 125
3
3 1,4422495703074083823216383107796...
Pero, al igual que el anterior es solo una aproximación
decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor
forma de representar a 3 3 es como 3 3 .
Esto sucede con muchas raíces Cúbicas que
no entregan un resultado exacto.
9. 1 - Propiedad:
El Indice Igual al Exponente.
3
_
7 3 7
Sabiendo que: 2 = 2
¿Cuál será el resultado de?
5
_
5 5 5 1
2 = 2 = 2 =2
a a
_
a a
En General: n = n =n
10. 2 - Propiedad:
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
3
_
7
Sabiendo que: 2 = 2
3 7
¿Cuál será el resultado de?
9
2 •
7 9 7
5 = 2 •5
9
_ 7
_ 1
_ 1
_ 1
_
9 7 2 9 7
2 • 5 = (2 ) • (5 ) = (2 • 5 )
2 2 2 2
a x a y a x y
En General: n • m = n •m
11. 2 - Propiedad:
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
3 3 5 3
a) 6 36 6 f) 1,2 1,2 1,2
24 22 4
b) 8 2 4 g) 3 3
35 3 9
3 9 3
c) 3 3 h) 3
m5 3
m4 m3
4 16 4
d) 3 5 3 3
6 5 3 30 15
i) n 7
n 5
n6
e) 3 3 3
4 3
2 3
9 6 j) a 3n 3
b 2n
a 5n 3
b 7n
a 2 n b 3n
12. 3 - Propiedad:
División de Raíces de Igual Indice.
3
_
7
Sabiendo que: 2 = 2
3 7
¿Cuál será el resultado de?
75 5 = 7
7 5 5 7
5
_ 7
_ 1
_ 1
_ 1
_
2 2 5 7 2 5 7 2
2
7 5 = (7 ) (5 ) = (7 5 )
a x a y a x y
En General: n m = n m
13. 3 - Propiedad:
División de Raíces de Igual Indice.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
8 0,08
a) 4 e) 0,2
2 0,02
3 4
b) 81 3 f) 3
256 3
4
3
3 3 81 3
3
5 7 3
m5 3
n8
c) 5 g) mn3
3
5 4 3
m2 3
n2
3
3 b d4 a5 a
d) 81 2 h) 3
3
3 8 2 3
a2 b3 d6 b
14. 4 - Propiedad:
Raíz de una Raíz.
3
_ 2 3 6
Sabiendo que:
7 3
2 = 2 7
y (3 ) 3 =
¿Cuál será el resultado de?
75 = 4
7 5 3
75 = 6
75
5 1
_ _ 5 1
_ _ 5
_ 5 1
_ _ 5 1
_ _ 5
_
(7 )2 2 2 2 • 4
(7 )3 2 •
3 2 6
= 7 = 7 = 7 = 7
b a n b•a n
En General: m = m
15. 4 - Propiedad:
Raíz de una Raíz.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
8 4 2 4
a) 16 2 d) mn mn
e) x12 x2
3
b) 3
7 6
7 y6 y
12 3
c) 3 4
5 5 x 24
f) x2
3 3
x18
16. Descomponer una Raíz
Sabiendo que: m n m n
Resolver lo siguiente
50x 7 32x 7
25 2 x x6 16 2 x x6
25 2 x x 6 16 2 x x6
5 2 x x3 4 2 x x 3
3
5x 2 x 4 x3 2 x Son términos semejantes
3
9x 2x
18. Racionalización
Racionalizar es amplificar una fracción donde el
denominador presenta una Raíz, con el fin de
que ésta no aparezca.
Ejemplos:
1 2 a n 3
9n
3 a
2 2 a 3
3n 2 3
¿Qué es lo que hay que saber?
7 4 28 n n
n
n
Amplificar: Propiedad de Raíces: x x x
2 4 8
Multiplicar Raíces 2 8 2 8 16 4
Raíz como Potencia
Potencias
x3 x5 x3 x5 x8 x4
19. p
Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma
q a
1) 7 7 3 7 3 7 3 7 3
3 3 3 3 3 32 3
n n x n x n x n x
2)
m x m x x m x x m x2 mx
2 5 2 5 7 2 5 7 2 7 5 7 2 7 35
3)
7 7 7 7 7 72 7
7 7 7 7 n 7 n 7 n
4)
n 5
n 4 n1 n4 n n2 n n n2n n3
p p a p a p a p a
En General
q a q a a q a a q a2 qa
20. Racionaliza las siguientes Expresiones
7 7 7 7
i) v)
11 11 49 49
15ax 15ax ab
ii) vi)
2 5a 2 5a b a
40a 2b 40a 2b 8 2
iii) vii)
10a 10a 2
a a a a y x x y
iv) viii)
a3 a3 xy xy
21. p
Racionalizar Raíces Cuadradas de la Forma
q n
ak
3
1) 7 7 42 73 4 73 4 74 4
3 3
4 4 3
42 3
4 42 3
43 4
n n 4
x n 4
x n 4
x n4 x
2)
4 mx
m4 x3 m 4
x 3
x m 4
x3 x m 4
x4
3
a a 3
a a 3
a 3
a a 3
a 3
a2 a 3
a 3
a a3 a
3)
3
3
a2 33 a 2 a 33 a 2 a 33 a 3 3a
3
4)
7 7 7 7 7 42
3 7 3 6 3 6 3 2 3 2 3
.....
4 4 4 4 4 4 4 4 4 3
42
p p n
an k
p n
an k
p n
an k
p n
an k
En General
q n
ak q n
ak n
an k
q n
ak an k
q n
an q a
22. Racionaliza las siguientes Expresiones
7 7 7 7
i) v) 3 3
3
11 3
11 49 49
15ax 15ax ab
ii) vi)
2 5a3 2 3
2 5a 2 b3 a 5
40a b 2
40a b 2 4
211 4
27
iii) vii)
3
10 a 2 3
10 a 2 4
23
ab a 3
ab a 3
3
x 7
x2 y6
iv) viii)
3
ab 2 3
ab 2 7
x9 y 6
23. Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradas
e Indice Par
Como, por ejemplo, 4 2 ya que 2 2 4
y así para todas las Raíces Cuadradas
de Números Positivos
entonces
NO SE PUEDE OBTENER LA RAÍZ
CUADRADA DE NÚMEROS
NEGATIVOS
Es decir: En General, Esta condición es propia
de todas las Raíces de INDICE PAR.
4 No Existe
4
0,2 No Existe 0,12 No Existe
25 No Existe 8
25 No Existe
36 36
24. Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas e
Indice Impar
Las Raíces que tienen INDICE IMPAR
NO tienen restricción
Es decir:
3
8 2 ya que 2 2 2 8
3
27 3 ya que 3 3 3 27
8 2 2 2 2 8
3 ya que
27 3 3 3 3 27
7
128 2 ya que 2 2 2 2 2 2 2 128
25. Ecuaciones con Irracionales.
Una Ecuación Irracional es determinar el valor de
la incógnita que se encuentra bajo raíces.
Ejemplo de Ecuaciones Irracionales:
Para resolverlas hay que seguir
x 3 7 dos pasos muy sencillos:
i) Si hay más de una raíz, se
x 3 1 2x debe aislar en uno de los lados
de la ecuación.
ii) Elevar al cuadrado ambos
x 3 4 x 7 3x 1 lados de la ecuación.
3
2 x 1 5 7 3x 1
26. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aislada
2x 4 6 en uno de los dos lados de la ecuación.
2
2x 4 6 / Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos
lados de la igualdad a 2.
2 2
2x 4 6 El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen.
Se resuelve como una ecuación de primer
2x 4 36 grado con una incógnita.
x 20 OJO. En estricto rigor la solución de la
ecuación debe estar en el siguiente
conjunto: 2,
27. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
Paso i) Aislar una de las raíces en uno de los dos
x 8 3 x 1 lados de la ecuación.
2 Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos
x 8 1 3 x / lados de la igualdad a 2.
2 2
x 8 1 3 x El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen y en el otro
lado de la igualdad tengamos que realizar el
x 8 1 2 3 x 3 x cuadrado de un binomio.
2
4 2 3 x / Debemos volver al paso i), raíz aislada y
elevamos al cuadrado ambos lados de la
2 2
4 2 3 x igualdad.
Aquí en adelante la Ecuación Irracional se
16 43 x
transforma en una Ecuación de Primer Grado
con una Incógnita
16 12 4x
1 x
28. Curiosidades
2) Algoritmo para determinar una raíz.
1) 1
2 1
1
2
1
2
1
2
2 ...