Este documento introduce el concepto de medida exterior como una generalización de la longitud de intervalos. Define la medida exterior de un conjunto como el infimo de las sumas de longitudes de intervalos abiertos que lo cubren. Demuestra propiedades como que la medida exterior de un intervalo es su longitud, y que la medida exterior de la unión de conjuntos numerables es menor o igual a la suma de sus medidas exteriores individuales. Finalmente, introduce el concepto de conjunto medible.

1. Universidad Nacional de la Patagonia – Facultad de Ingeniería 1
Medida Exterior
Ms. Ana María Teresa Lucca
Medida exterior by Ana María Teresa Lucca is licensed under a Creative Commons
Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 2.5 Argentina License. Based on a
work at matematics.wordpress.com.
1. Introducción
La integral Riemann de una función ƒ sobre un intervalo [a,b] puede aproximarse por
sumas de la forma
n
∑ f (t i ) l ( I i )
i =1
donde I1 , I2, ..., I son intervalos disjuntos cuya unión es [a,b] , l(Ii) denota la longitud del
n
intervalo Ii , y t i ∈ Ii para 1 ≤ i ≤ n. Lebesgue descubrió que se obtiene una teoría de
integración completamente satisfactoria si en la suma anterior se permite que los conjuntos
Ii pertenezcan a una clase más amplia de subconjuntos de la recta real, los llamados
conjuntos medibles, y si la clase de las funciones a considerar se amplía a la clase de las que
él llamó funciones medibles.
El concepto de medida m(E) de un conjunto E de números reales constituye la
generalización natural del concepto de longitud l(I) de un intervalo I.
Consideremos el conjunto de todos los intervalos de números reales (a,b) = I, con
a, b ∈ R arbitrarios. Partiendo de la noción de longitud de geometría elemental, definiremos
la medida de cada intervalo de la siguiente forma:
• La medida del conjunto vacío es igual a 0.
( El conjunto vacío se da cuando a = b )

2. 2 Ms. Ana María Teresa Lucca
• La medida de un intervalo no vacío es igual a b - a.
Así, hemos asignado a todo intervalo I un número m(I) que es su medida, de manera
que se cumplen las siguientes condiciones:
1. m : { I : I ⊂ R intervalo } → R + .
0
∞ ∞
2. Si J = U I ( disjunta ) entonces m( J ) =
i ∑ m(Ii ).
i =1 i =1
3. Si I + x = (a + x , b + x ) , m(I + x) = m(I) = b - a.
(I),
Nuestra tarea ahora será extender la medida m definida para intervalos, a una clase
más general de conjuntos conservando (2) y (3). Tratemos entonces de asignarle una medida a
todos los subconjuntos de R.
Parece natural, por ejemplo, asignar Σ (bi - ai) como la medida de un conjunto abierto
O ⊂ R cuando (ai , bi) con i = 1, 2, ... son los intervalos componentes de O. A un conjunto
cerrado F ⊂ (a , b) le podemos asignar la medida (b - a ) - Σ ( bi - ai ) donde (ai , bi) con
i = 1, 2, ... son los intervalos componentes de (a, b) - F abierto.
Si el subconjunto es una semirrecta no podemos asignarle un número real positivo,
entonces debemos extender el conjunto de valores que puede tomar la función a
R + ∪ { ∞ }.
0
Deseamos entonces una función que cumpla las siguientes condiciones1 :
1. m : P(R) → R + ∪ { ∞ };
0
2. m(I) = l(I) , para todo intervalo I ;
∞ ∞
3. Si A = U Ai ( disjunta ) entonces m( A) = ∑ m(Ai ). ;
i =1 i =1
4. m(A + x) = m(A), donde A + x = { y + x : y ∈ A }.
La propiedad (3) es llamada σ-aditividad (σ por tratarse de uniones numerables); la
propiedad (4) se conoce como invarianza por traslación.
Lamentablemente una tal función no existe, por lo cual debemos debilitar una de estas
hipótesis. Una posibilidad sería no pretender medir todos los subconjuntos de R; esto es,
restringir P(R). Definiríamos entonces la medida sobre un conjunto M ⊂ P(R). Ahora, este
1
P(R) denota al conjunto de partes de R.

3. Universidad Nacional de la Patagonia – Facultad de Ingeniería 3
M no debe ser una colección arbitraria sino que debería tener cierta estructura y ser lo más
grande posible. Como en (3) es necesario que M sea cerrado para uniones numerables, lo más
razonable es decir que M debe ser una σ-álgebra de subconjuntos de R.
Así, diremos que m es una medida aditiva numerable si es una función a valor real
extendido no negativo cuyo dominio de definición es una σ-álgebra M de conjuntos de
números reales, y tal que m(∪ En ) = Σ m(En ), para cualquier sucesión 〈 En 〉 de conjuntos
disjuntos de M.
La solución a la posibilidad planteada es lo que se conoce como medida de Lebesgue ,
y será analizada en próximos Artículos.
Otra posibilidad es la de mantener intacta la propiedad (1) y debilitar la (3) como
sigue: en lugar de pedir que m(A) = Σ m(An ) exigiremos que m(A) ≤ Σ m(An ). A esta
propiedad la llamaremos σ-subaditividad. Una función tal verificará también las propiedades
(2) y (4), y se llamará medida exterior de Lebesgue .
En la próxima sección de este artículo comenzaremos a profundizar el tratamiento de
esta segunda posibilidad, siguiendo estrictamente el desarrollo histórico.
2. Medida Exterior
Consideremos un conjunto A de números reales y la colección de cubrimientos
numerables de A por intervalos abiertos; esto es, el conjunto de las colecciones abiertas
∞
{I n }∞=1 tal que A ⊂ U I n .
n
n =1
En cada una de estas colecciones, consideremos la suma de las longitudes de los intervalos
que las componen. Como estas longitudes son números positivos esta suma es única,
independientemente del orden de los términos.
La medida exterior de A se define por
m*(A) = inf { Σ l(In ) : A ⊂ ∪ In }.
Observaciones:
1. m*(∅) = 0, pues cualquier intervalo de R cubre al conjunto ∅ y por ello
podemos tomar un intervalo tan pequeño como se quiera.

4. 4 Ms. Ana María Teresa Lucca
2. Si A ⊂ B entonces m*(A) ≤ m*(B). (Demostración a cargo del lector.)
Esta propiedad es llamada monotonía.
En lo que sigue trataremos de probar que esta función verifica las restantes
propiedades exigidas ( 3, 4 y 2 de la Sección 3.1. ).
Proposición 2.1: La medida exterior de un intervalo es su longitud.
Dem :
i) Sea I = [ a, b ] cerrado y finito.
Sea ε > 0. Entonces [ a, b ] ⊂ ( a - ε, b + ε ). Luego, ( a - ε, b + ε ) es un
cubrimiento abierto de [ a, b ] y, por definición de medida exterior,
m*( [ a, b ] ) ≤ l(( a - ε, b + ε )) = b - a + 2 ε .
Como esto vale para ε > 0 arbitrario, resulta
m*( [ a, b ] ) ≤ b - a. (A)
Por otro lado, sea { In } un cubrimiento abierto de I. Como I es cerrado y
acotado, por el Teorema de Heine-Borel, I posee un subcubrimiento finito,
digamos
m
a , b ⊂ U I nk .
k =1
Como este subcubrimiento es finito puede reenumerarse de forma tal que
m
[a , b] ⊂ U I nk
k =1
con I nk = ( ak , bk ) , ak ≤ ak+1 < bk para 1 ≤ k ≤ m.
Luego,
∞ m
∑ l ( I n ) ≥ ∑ l ( I nk )
n =1 k =1
> bm - a1 > b - a = l( [ a, b ] )
Como esto vale para cualquier cubrimiento abierto de [ a, b ], resulta que
l( [ a, b ] ) es una cota inferior del conjunto { Σ l(In ) : [ a, b ] ⊂ ∪ In }.
Entonces
m*( [ a, b] ) ≥ l( [ a, b ] ). (B)
De (A) y de (B) resulta que m*( [ a, b ] ) = l( [ a, b ] ).

5. Universidad Nacional de la Patagonia – Facultad de Ingeniería 5
ii) Sea I = ( a, b ) abierto finito.
Como I es abierto, él mismo es un cubrimiento abierto y, por definición de
medida exterior,
m*(I) ≤ l(I) . (C)
Por otro lado, sea ε > 0. Existe un intervalo cerrado J ⊂ I con
J = [ a + ε/2, b - ε/2 ].
l(I) - ε = l(J) = m*(J) (por lo anterior)
≤ m*(I) (por monotonía)
Así, l(I) ≤ m*(I) + ε, para todo ε > 0. Luego
l(I) ≤ m*(I) (D)
De (C) y (D) resulta que m*(I) = l(I) .
iii) Sea I un intervalo infinito. Entonces, dado ∆ > 0 existe un intervalo
J cerrado tal que J ⊂ I y l(J) = ∆. Como J ⊂ I , m*(J) ≤ m*(I) (por monotonía).
Entonces
∆ = l(J) = m*(J) ≤ m*(I);
esto es, ∆ ≤ m*(I). Como esto vale para todo ∆, resulta que
m*(I) = l(I) = ∞.
cqd.
Proposición 2.2: Sea {An } una colección numerable de conjuntos de números reales.
Entonces m*( ∪ An ) ≤ Σ m*( An )
Dem : Si uno de los An tiene medida exterior infinita, la desigualdad es trivial.
Consideremos entonces que m*( An ) < ∞, para todo n.
Por definición de medida exterior, dado ε > 0 existe una colección numerable de
intervalos abiertos {I n k }∞=1 que cubren a An tal que
k
∞ 
( ) ε
m * An + ≥ ∑ l  I n


 , ∀n.

k =1  k 
2

6. 6 Ms. Ana María Teresa Lucca
∞ ∞ ∞ ∞ 
Como An ⊂ U I n k ∀n , entonces U An ⊂ UU  In
 k 
{ }k , n es un
 Luego I n
k
k =1 n =1 n =1  k =1 
cubrimiento abierto numerable de ∪ An . Por ende,
∞  ∞  ∞ 
m *  An  ≤
 U   ∑ ∑ ( )
 l In
k 
(por definición de medida exterior)
 n=1  n =1  k =1 
∞
 ε 
≤ ∑  m * ( An ) + 2 n 
 
n =1
∞
= ∑ m * ( An ) + ε
n =1
Como esto vale para todo ε > 0, resulta lo pedido.
c.q.d.
Corolario 2.3: Si A es numerable, m*(A) = 0.
Dem: Sea A numerable. Existe x : N → A tal que x(n) = x n ∈ A. Entonces
A = { x 1, x 2, ... }.
ε ε 
Sean ε > 0, e I i =  x i −
 i +1
, xi + , ∀i ∈ N . Entonces {I i }i =1 es un
i +1
∞
 2 2 
cubrimiento numerable por intervalos abiertos de A. Por definición de medida
exterior,
∞
0 ≤ m * ( A) ≤ ∑ l ( I i )
i =1
∞
ε
=∑ = ε.
i =1 2i
Como esto vale para todo ε > 0 arbitrario, resulta que m*(A) = 0.
c.q.d.
Corolario 2.4: El intervalo [ 0, 1 ] es no numerable.
Dem : Supongamos que [ 0, 1 ] es numerable. Entonces, por corolario anterior,
m*([0,1] ) = 0.
Pero, por Proposición 2.1., m*( [ 0, 1 ] ) = 1. Luego [ 0, 1 ] es no numerable.
c.q.d.

7. Universidad Nacional de la Patagonia – Facultad de Ingeniería 7
Proposición 2.5: Dados un conjunto A y ε > 0, existe un conjunto abierto O tal que
A ⊂ O y m*(O) ≤ m*(A) + ε .
Existe también un G ∈ Gδ tal que A ⊂ G y m*(A) = m*(G).
La demostración de esta proposición se deja como ejercicio.
Bibliografía:
• Royden, H. L. (1968) Real Analysis. Second Edition, The Macmillan Company,
New York.