Este documento presenta varias identidades trigonométricas importantes como las identidades recíprocas, la relación de Pitágoras, identidades para ángulos complementarios y suplementarios, y para la suma y mitad de ángulos. Incluye ejemplos para verificar algunas de estas identidades. La asignatura es Matemáticas y la docente es la profesora Mariel Nashira Huanaco Alave.

1. ESCUELA SUPERIOR DE FORMACIÓN
DE MAESTROS
“ÁNGEL MENDOZA JUSTINIANO”
Docente: Mariel Nashira Huanaco
Alave
Asignatura: Matemáticas

2. D O C E N TE :
P R O F A . M A R IE L N A S H IR A H U A N A C O
A L AVE
A S IG N A T U R A :
M A T E M Á T IC A S

3. CONTENIDO
• Identidades Trigonométricas
• Identidades Recíprocas
• Teorema de Pitágoras
• Ejemplos
• Identidades que relacionan θ
χον − θ

4. Identidades Trigonométricas
Identidades Recíprocas
1 1 1
senθ = cos θ = tan θ =
csc θ sec θ cot θ
1 1 1
csc θ = sec θ = cot θ =
senθ cos θ tan θ
senθ cos θ
tan θ = cot θ =
cos θ senθ
Estas identidades se cumplen para cualquier ángulo θ para el cual el
denominador no sea cero.

5. Identidades Trigonométricas
Relaciones Pitagóricas
sen 2 θ + cos 2 θ = 1
tan 2 θ + 1 = sec 2 θ
1 + cot 2 θ = csc 2 θ

6. Identidades Trigonométricas
De acuerdo al Teorema de Pitágoras
a 2 + b2 = c2
2
dividiendo entre c
c
a 2 b2 c2
2
+ 2 = 2 a
c c c
de donde
θ
2 2
a b b
  +  =1
c c
por tanto
sen 2 θ + cos 2 θ = 1

7. • Ejemplo 1
Verifica la siguiente identidad: θ sec θ = 1
cos
Solución
Usando las identidades reciprocas
 1 
cos θ sec θ = cos θ  =1
 cos θ 
l Ejemplo 2
1
Verifica la siguiente identidad (1 + senθ)(1 − senθ) =
sec θ
Solución
(1 + senθ)(1 − senθ) = 1 − sen 2 θ
= cos 2 θ
1
=
sec 2 θ

8. Identidades trigonométricas
Identidades que relacionan θ χον − θ
senθ = y
(x,y)
sen (−θ) = − y = −senθ
θ
-θ cos θ = x
(x,-y) cos(−θ) = x = cos θ
sen (−θ) − senθ
tan(−θ) = = = − tan θ
cos(−θ) cos θ

9. Identidades trigonométricas
Identidades de ángulos complementarios y
suplementarios
90+θ 90-θ
(-y, x)
(x,y) (-x,y) (x,y)
θ 180-θ θ
180+θ
senθ = y (-x,-y)
cos θ = x
sen (90 − θ) = cos θ sen (180 − θ) = senθ
cos(90 − θ) = senθ cos(180 − θ) = − cos θ
sen (90 + θ) = cos θ sen (180 + θ) = −senθ
cos(90 + θ) = −senθ cos(180 + θ) = − cos θ

10. Identidades trigonométricas
Identidades para la suma de ángulos
sen (α + β) = senα cos β + cos αsenβ
cos(α + β) = cos α cos β − senαsenβ
tan α + tan β
tan(α + β) =
1 − tan α tan β
Identidades para la mitad de un ángulo
 θ 1 − cos θ  θ 1 + cos θ
sen   = ± cos  = ±
2 2 2 2
θ 1 − cos θ senθ 1 − cos θ
tan  = ± = =
2 1 + cos θ 1 + cos θ senθ

11. Ejemplo 3
Verifica la siguiente identidad
sen 2θ = 2senθ cos θ
Solución
sen 2θ = sen (θ + θ)
= senθ cos θ + cos θsenθ
= 2senθ cos θ
l Ejemplo 4
Verifica la siguiente identidad
cos 2θ = 1 − 2sen 2 θ
Solución
cos 2θ = cos(θ + θ)
= cos θ cos θ − senθsenθ
= cos 2 θ − sen 2 θ
= (1 − sen 2 θ) − sen 2 θ
= 1 − 2sen 2 θ