El documento describe los conceptos básicos de los grafos dirigidos y no dirigidos, incluidas sus definiciones, terminología y representaciones. Explica el primer nivel transversal de un grafo, el cual visita los nodos siguiendo los arcos que apuntan a nodos no visitados previamente para formar un árbol. También presenta la implementación de un grafo en Java usando vértices, lados y una matriz de adyacencia.

1. Estructuras de Datos
Tema: 4 Estructura de datos dinámicas
tipo Árboles
Docente: Mg. Luis Fernando Aguas B

2. Los éxitos más importantes se consiguen cuando
existe la posibilidad de fracasar
– Mark Zuckerberg

3. Objetivo
1. Adquirir los conceptos
básicos relacionados con
las EDD
2. Reconocer las
características de las
EDD
● 4.2 Aplicaciones de árboles en
informática
Contenido

4. 4.2 Aplicaciones de árboles en
informática

5. Grafos en cualquier parte

6. Grafos en computación
● Interés típico en vértices y lados como objetos
(ej. Redes de comunicación)
objetos con
propiedades

7. Grafos en computación
● Gran interés en grafos dirigidos para aplicaciones
○ Redes para comunicaciones
○ Sistemas de transporte
○ Computación distribuida
○ Java: Jerarquías, instancias, mensajes

8. Grafo Dirigido
Definición
Un Grafo Dirigido, o diGrafo , es uno o varios pares
G = (V, E) con las siguientes propiedades:
1. El primer componente, V, es un finito, conjunto no-vacio. Los
elementos de V son llamados vértices de G.
2. El segundo componente, E, es un conjunto finito uno o varios
pares de vértices. Esto es, E  V x V . Los elementos son
llamados los arcos de G.
Ejemplo
G = (V, E)
V = {a, b, c, d}
E = { (a,b), (a,c), (b,c), (c,a), (c,d), (d,d) }
Recuerde
E no puede tener mas de una instancia de un arco. (a,b) es diferente
de (b,a).
Ej. Considere un paso a desnivel (a,b). Aunque la distancia es la
misma, el tiempo para atravesar del a2b y b2a puede ser diferente.

9. Grafo Dirigido...
Head, Tail, Adyacente
Terminología
Considere un Grafo Dirigido G = (V, E).
• cada elemento de V es llamado un vértice o un
nodo de G. Así, V es el conjunto de vértices (o
nodos) de G.
• cada elemento de E es llamado un arco de G. Así, E
es el conjunto de arcos de G.
• Un arco (v,w)  E puede ser representado como vw
. Una flecha apunta desde v a w es conocido como un
arco dirigido. El vértice w es llamado la cabeza (head)
del arco porque es el inicio de la flecha.
Convencionalmente, v es llamado la cola (tail) del arco.
Finalmente, vértice w es llamado Adyacente al vértice
v.

10. Grafo Dirigido...
Out-degree, In-degree
Terminología
Considere un Grafo Dirigido G = (V, E).
• Un arco e=(v,w) se dice que emana desde el vértice v.
Usamos la notación A(v) el conjunto de arcos que
emanan desde el vértice v. Así, A(v) = {(a,b)  E : a=v}
• El grado de salida (out-degree) de un nodo es el
número de arcos que salen desde el nodo. Sin
embargo, el grado de salida de v es |A(v)|
• Un arco e=(v,w) se dice incidente en vértice w. usamos
la notación I(w) para denotar el conjunto de arcos
incidentes en vértice w. Tal que, I(w) = {(a,b)  E : b=w}
• El grado de entrada (in-degree) de un nodo es el
número de arcos incidentes en aquel nodo. Sin
embargo, el in-degree de w es |I(v)|

11. Grafo Dirigido...
camino
Definición
Un camino en un Grafo Dirigido G = (V, E) es una
secuencia no vacía de vértices
P = {v1, v2, ..., vk}
donde vi  V para 1  i  k tal que (vi, vi+1)  E para 1  i 
k.
La longitud (longitud) del camino P es k-1.
Ejemplo
P1 = (a)
P2 = (b, c)
P3 = (a, b, c)
P4 = (a, c, a, c, a, c, a, c, a, c, a, c, a)
Pregunta
Cual es la máxima longitud del camino?

12. Grafo Dirigido...
Sucesor , Predecesor
Terminología
Considere el camino P = {v1, v2, ..., vk} en Grafo Dirigido G = (V,
E).
• vértice vi+1 es el Sucesor de vértice vi para 1  i < k.
cada elemento vi del camino P (excepto el ultimo) tiene un
Sucesor .
• vértice vi-1 es el Predecesor del vértice vi para 1 < i  k.
cada elemento vi del camino P (excepto el primero) tiene un
Predecesor.
Ejemplo
{a, b, c, d}

13. Grafo Dirigido...
Camino simple, ciclo, Lazo
Terminología
Considere el camino P = {v1, v2, ..., vk} en Grafo Dirigido G = (V,
E).
• A camino P es llamado un Camino simple si y solo si
vi  vj para todo i y j tal que 1  i < j  k.
Sin embargo, esto es permitido para v1 = vk.
• Un ciclo es un camino P de longitud no-cero en donde v1 =
vk. La longitud de un ciclo es justo la longitud del camino P.
• Un Lazo es un ciclo de longitud uno.
Así, este es un camino de la forma {v, v}.
• Un simple ciclo es un camino que es ambos un ciclo y
simple.
Ejemplo
{a, b, c, d} {c, a, c, d}
{a, b, c, a} {a, c, a, c, a}

14. Grafo Dirigido...
Grafo Dirigido Acíclico
Definición
Un Grafo Dirigido Acíclico (DAG) es un Grafo Dirigido que no contiene ciclos.
Recuerde
árboles  DAG.
DAG  árbol

15. Grafo No Dirigido
Definición
Un Grafo No Dirigido es un par ordenado G = (V, E) con
las siguientes propiedades:
1. El primer componente, V, es un conjunto finito, no
vacío. Los elementos de V son llamados los vértices de
G.
2. El segundo componente, E, es un conjunto finito. cada
elemento de E es un conjunto que esta compuesto
exactamente de dos (distintos) vértices. los elementos
de E son llamados los arcos de G.
Ejemplo
G = ( V, E)
V = {a, b, c, d}
E = { {a,b}, {a,c}, {b,c}, {c,d} }
Recuerde
• {a,b} = {b,c}  No Dirigido *ej. Comunicación full duplex.

16. Grafo No Dirigido...
Incide
Terminología
Considere un Grafo No Dirigido G = (V, E).
• Un arco e={v,w}  E se dice que emana desde y
incide en ambos vértices v y w.
• El conjunto de arcos que emanan desde un
vértice v es el conjunto
A(v) = {(v0,v1)  E : v0 = v  v1 = v}
• El conjunto de arcos incidentes en un vértice w
es
I(w) = A(w)

17. Grafo etiquetados
Definición
Un Grafo que ha sido anotado en alguna forma es llamado un Grafo
etiquetado.
Recuerde
ambos arcos y vértices puede ser etiquetados

18. Representación
Considere un Grafo Dirigido G = (V, E).
● Si E  V  V, Grafo G contiene al menos |V|2 arcos.
● Existe posibles conjuntos de arcos para un conjunto dado de vértices.
2
2
V

19. Representación ...
Matriz Adyacente para DAG
Considere a Grafo Dirigido G = (V, E) con V = {v1, v2, ...,
vn}.
● La representación simple del Grafo usa una matriz n
x n de ceros o unos dados por
● La matriz A es llamada matriz adyacente.

20. Representación ...
Matriz adyacente para DAG ...
Ejemplo
Recuerde
● El número de unos en la matriz adyacente es igual al número de arcos
en el Grafo
● Cada uno en la ith fila corresponde a un arco que emana desde vértice
vi.
● Cada uno en la ith columna corresponde a un arco que incide en vértice
vi.

21. Representación ...
Matriz adyacente para No Dirigido
Representa un Grafo No Dirigido G = (V, E) con
V = {v1, v2, ..., vn},
usando una matriz n x n A de ceros y unos dado por

22. Representación ...
Matriz adyacente para No Dirigido ...
Ejemplo
Recuerde
● Sea {vi, vj} = {vj, vi}, matriz A es simétrica cerca de la diagonal.
Esto es, aij = aji
● Todas las entradas en la diagonal son cero.
Esto es, aii = 0 para 1  i  n

23. Representación ...
Matriz adyacente para No Dirigido ...
Ejemplo
Recuerde
● Sea {vi, vj} = {vj, vi}, matriz A es simétrica cerca de la diagonal.
Esto es, aij = aji
● Todas las entradas en la diagonal son cero.
Esto es, aii = 0 para 1  i  n

24. Representación > matriz adyacente...
Complejidad
● Sea la matriz adyacente tiene |V|2 entradas,
la cantidad de espacio necesaria para representar los arcos de un
Grafo es
O( |V|2 )
depende del número actual de arcos en el Grafo.
● Si |E| << |V|2 entonces muchas de entradas son 0
● Excelente Representación !

25. Representación > Matriz adyacente ...
Grafos dispersos y densos
Definición
Un Grafo disperso es un Grafo G = (V, E) en donde |E| = O( |V| )
Definición
Un Grafo denso es un Grafo G = (V, E) en donde |E| = ( |V|2 )

26. Representación > Matriz adyacente...
Listas Adyacentes

27. Representación
Comparación de Representaciones
operación Matriz adyacente Lista adyacente
Buscar arco (v,w) O(1) O( |A(v)| )
Enumerar todos
los arcos
O( |V|2 ) O( |V| + |E| )
enumerar arcos
que emanan de v
O( |V| ) O( |A(v)| )
enumerar arcos
inciden en w
O( |V| ) O( |V| + |E| )

28. Implementación

29. Grafo en JAVA - vértice
class Vertex
{
public String name; // Vertex name
public LinkedList<Edge> adj; // edges from vertex
public double dist; // Cost
public Vertex prev; // Previous vertex on shortest path
public int scratch; // Extra variable used in algorithm
public Vertex( String nm )
{ name = nm;
adj = new LinkedList<Edge>( );
reset( );
}
public void reset( ) // clears values used in algorithms
{ dist = Graph.INFINITY;
prev = null;
scratch = 0;
}
}

30. Grafo en JAVA - lado
class Edge
{
public Vertex dest; // Second vertex in Edge
public double cost; // Edge cost
public double temp; // used in algorithms
public Edge( Vertex d, double c )
{
dest = d;
cost = c;
}
}

31. Grafo en JAVA
public class Graph
{
public static final double INFINITY = Double.MAX_VALUE;
private HashMap<String,Vertex> vertexMap = new HashMap();
// maps String to Vertex
public void addEdge( String sourceName,
String destName,
double cost )
{
Vertex v = getVertex( sourceName );
Vertex w = getVertex( destName );
v.adj.add( new Edge( w, cost ) );
}

32. Grafo Transversal
Primer nivel Transversal
● Similar a árbol Primer nivel Transversal
● Porque no existe raíz,
debemos especificar un nodo inicial
● Porque un Grafo puede ser cíclico,
debemos prevenir la recursion infinita

33. Grafo Transversal
Primer nivel Transversal ...
El Primer nivel Transversal visita los nodos en el orden c, a, b,
d
Recuerde
● Un Primer nivel Transversal solo sigue arcos que dirige a
vértices no visitados.
● Si omitimos los arcos que no son seguidos, los arcos
remanentes forman un árbol.
● El Primer nivel Transversal de este árbol es equivalente a
el Primer nivel Transversal del Grafo .

34. Grafo Primer nivel Transversal
Implementaciónpublic abstract class AbstractGrafo
extends AbstractContainer
implements Grafo {
...
public void depthprimerTransversal(PrePostVisito prepostvisito , int i) {
boolean aflag[] = new boolean[númeroOfVertices];
fo (int j = 0; j < númeroOfVertices; j++)
aflag[j] = false;
depthprimerTransversal(prepostvisito , vértice[i], aflag);
}
private void depthprimerTransversal(
PrePostVisito prepostvisito ,
vértice vértice1,
boolean aflag[]) {
if (prepostvisito .isDone())
return;
prepostvisito .preVisit(vértice1);
aflag[vértice1.getnúmero()] = true;
fo (Enumeration enumeration = vértice1.getSucesor s();
enumeration.hasMo eelementos();
) {
vértice vértice2 = (vértice) enumeration.nextelemento();
if (!aflag[vértice2.getnúmero()])
depthprimerTransversal(prepostvisito , vértice2, aflag);
}
prepostvisito .postVisit(vértice1);
}
}

35. Grafo Transversal
Primer hondo Transversal
● Similar a árbol Primer hondo Transversal
● Utiliza una cola de vértices
● Debido a que no existe raíz,
debemos especificar un nodo de partida
● Porque un Grafo puede ser cíclico,
debemos asegurarnos que un vértice este encolado solamente una vez

36. Grafo Transversal
Primer hondo Transversal ...
El Primer hondo Transversal visita los nodos en el
orden
a, b, c, d

37. Grafo Primer hondo Transversal ...
Implementación
public abstract class AbstractGrafo
extends AbstractContainer
implements Grafo {
...
public void breadthprimerTransversal(Visito visito , int i) {
boolean aflag[] = new boolean[númeroOfVertices];
fo (int j = 0; j < númeroOfVertices; j++)
aflag[j] = false;
QueueAsLinkedList queueaslinkedlist = new QueueAsLinkedList();
aflag[i] = true;
queueaslinkedlist.enqueue(vértice[i]);
while (!queueaslinkedlist.isvacio() && !visito .isDone()) {
vértice vértice1 = (vértice) queueaslinkedlist.dequeue();
visito .visit(vértice1);
fo (Enumeration enumeration = vértice1.getSucesor s();
enumeration.hasMo eelementos();
) {
vértice vértice2 = (vértice) enumeration.nextelemento();
if (!aflag[vértice2.getnúmero()]) {
aflag[vértice2.getnúmero()] = true;
queueaslinkedlist.enqueue(vértice2);
}
}
}
}
...
}

38. Grafo Transversal
Orden Topológico
● Definición
Considere a Dirigido aciclico Grafo G = (V, E).
Un Orden Topológico de los vértices de G es
una secuencia S = { v1, v2, ..., v|V| } en donde
cada elemento de V aparece exactamente una
vez.
Para cada par de distintos vértices vi y vj en la
secuencia S, si vi  vj es un arco en G, i.e., (vi ,
v)  E, entonces i < j.

39. Grafo Transversal
Orden Topológico Transversal● Un Transversal que visita
los vértices de un DAG en
el orden dado por el Orden
Topológico
● Calcula el grado interno de
los vértices
● Repetidamente selecciona
el vértice con cero grado,
visita y entonces
“remuévelo del Grafo”
S1 = { a, b, c, d, e, f, g, h, i }
S2 = { a, c, b, f, e, d, h, g, i }
S3 = { a, b, d, e, g, c, f, h, i }
...
Existe muchos

40. ● Esta conectado
● Existe algún ciclo
Grafo Transversal
Aplicaciones
1 0
2
3
9
4
8
7
5
6
7

41. Grafo Transversal > Aplicaciones
conexión
Definición
Un Grafo No Dirigido G = (V, E) esta conectado si
existe un camino en G entre cada par de vértices in V.
Los sub-Grafos conectados de un Grafo son llamados
componentes conectados.

42. Grafo Transversal > Aplicaciones
conexión
Definición
Un Grafo Dirigido G = (V, E)
esta fuertemente conectado si
existe un camino en G entre
cada par de vértices en V.
Definición
Un Grafo Dirigido G = (V, E)
esta débilmente conectado si el
Grafo subrayado No Dirigido Ğ
esta conectado.

43. Grafo Transversal > Aplicaciones
conexión
Algoritmo
1. Para todos los vértices
2. Partir de cada vértice
3. Atravesar el Grafo
4. Marque cada vértice visitado
5. Si existe un vértice no visitado, no conectado
6. Aplique topológico o der Transversal

44. Camino mas corto
Distancia
● Distancia entre dos vértices
○ 2-9
○ 3-9
○ 7-4
1 0
2
3
9
4
8
7
5
6
7

45. Camino mas corto
peso de camino
Definición
Considere el peso de un arco Grafo G = (V, E) . Sea
C(vi,vj) el peso del arco que conecta vi a vj. Un camino
en G es una secuencia no vacía de vértices P = {v1, v2,
..., vk}. El peso del camino P esta dado por




1
1
1),(
k
i
ii vvc

46. Camino mas corto
Fuente simpleDefinición
Fuente simple - Camino mas corto problema
Dado un peso-arco Grafo G = (V, E) y un vértice vs
 V, buscar el menor peso del camino desde vs a
otro vértice en V.
Recuerde
si todos los pesos son positivos, esta bien definido.

47. ● Si el Grafo es aciclico, el problema es fácil
○ Haga un Orden Topológico Transversal
● Si todos los pesos-arcos no son negativos el
problema de camino corto esta bien definido
○ Un Algoritmo trabaja bien
■ (Ej. Algoritmo Dijkstra)
Camino mas corto
Caso especial: pesos no negativos

48. ● Si el Grafo tiene pesos negativos (pero no ciclos
de costo negativo) una solución existe pero el
Algoritmo greddy no trabaja.
● Si el Grafo tiene un ciclo de costo negativo, No
existe solución.
Camino mas corto
Casos especiales: pesos negativos

49. Camino mas corto
Algoritmo Dijkstra
1. Desde el conjunto de vértices para kv= false, seleccione el vértice v tome la
tentativa distancia dv.
2. Ponga kv= true
3. Para cada vértice w adyacente a v para cada kvtrue, pruebe el peso
tentativo de dv si es mayor que dv+ c(v,w). Si es así, ponga dv  dv+ c(v,w) y
ponga pv  v.
4. En cada paso exactamente un vértice tiene este kv ponga a true. El Algoritmo
termina después |V| pasos son completados cuando todos los caminos mas
cortos son conocidos

50. Camino mas corto
Algoritmo Dijkstra
1. kv indica que el Camino mas corto de vértice v es
conocido. Inicialmente falso
2. dv la longitud del camino corto conocido desde vs a v.
Inicialmente .
3. pv el Predecesor de vértice v en el Camino mas corto
desde vs a v. Inicialmente desconocido.

51. Camino mas corto :Dijkstra

52. Análisis del camino critico
● ANALISIS
○ Actividad de nodos
○ Caminos críticos
○ Eventos en nodos
○ Tiempos de eventos tempranos o tardíos
○ Actividad critica
● EJERCICIO BASADO EN GRAFO SIGUIENTE:
○ Determine un camino entre e y f; f y a
○ Determine si tiene ciclo d, f

53. EJERCICIO - GRAFO
a
b
c
e
f
g
d
15
5
6
4
7
6
5
12
37

54. Gracias
Responsabilidad con pensamiento positivo