Este documento aplica el método de Newton-Raphson para resolver la relación entre la humedad óptima y la densidad seca máxima de un suelo a partir de datos de un ensayo de compactación. Se presenta el marco teórico sobre funciones no lineales, ensayos de compactación y el método de Newton-Raphson. Luego, se resuelve el problema de manera manual y con software, obteniendo dos soluciones aproximadas. Finalmente, se interpretan los resultados y se concluye que el método es efectivo para este tipo de problemas.

1. MÉTODOS NUMÉRICOS
RESOLUCIÓN DE LA RELACIÓN HUMEDAD ÓPTIMA VS DENSIDAD SECA MÁXIMA DE UN
SUELO APLICANDO EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
"Año del Bicentenario del Perú: 200 años de Independencia"
UNIVERSIDAD
NACIONAL
HERMILIO
VALDIZAN

2. UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
» CURSO:
» DOCENTE: MAG. HELI MARIANO SANTIAGO
» ALUMNO:
♦ BETETA VILLADOMA , JERSY JORDY
♦ MARCOS PARDO , PERCY ENRIQUE
RESOLUCIÓN DE LA RELACIÓN HUMEDAD ÓPTIMA VS DENSIDAD SECA MÁXIMA DE UN SUELO
APLICANDO EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

3. I. INTRODUCCIÓN
El presente trabajo de investigación tiene por finalidad desarrollar y dar a conocer el método de
Newton Raphson aplicada a la ingeniería civil por ello planteamos objetivos generales y
específicos con el fin de aplicar a la Geotecnia concerniente a la mecánica de suelos y
específicamente al ensayo de Compactación de Suelos, es decir compactar el suelo de un
determinado volumen conocido variando la humedad de este para poder obtener la curva de
relación entre la humedad y la densidad seca máxima.
El ensayo planteado fue estudiado y desarrollado por alumnos de la Universidad Nacional
Hermilio Valdizan, del curso Geotecnia 1. La aplicación del método de Newton Raphson será de
forma manual y mediante el lenguaje de cálculo técnico de programación en software Matlab
(MATrix LABoratory) el cual pertenece al marco práctico del presente trabajo.
Por tanto, cumple con la condición de aplicar el método de Newton Raphson hallando las raíces
de la derivada de la función no lineal de la curva “Densidad seca vs % Humedad”, dicha grafica de
curva se obtendrá de los datos conseguidos en el ensayo mencionado en el marco teórico.
Finalmente en las conclusiones y recomendaciones mencionaremos el fin para el cual se hace
estos cálculos y como aplica en un caso real , así como recomendar en que casos es mejor
utilizar Newton-Raphson ya que tiene ventajas y desventajas en la aplicación de mecánica de
suelos.

4. I. INTRODUCCIÓN
1.1 OBJETIVOS:
Se tiene por objetivos específico lo siguiente:
- Aplicar detalladamente el método de Newton Raphson para la compactación de suelos.
- Determinar soluciones aproximadas al derivar la ecuación de la curva densidad seca vs %humedad
con el método de Newton Raphson.
- Dar a conocer ventajas y desventajas de usar el método Newton Raphson para un ensayo de
compactación de suelos.
Se tiene por objetivos general lo siguiente:
- Comprender la necesidad que tiene un ensayo de compactación de suelos en la carrera de ingeniería
civil usando el método de aproximación de raíces de Newton Raphson.
- Desarrollar de manera correcta el procedimiento del método de aproximación de raíces Newton
Raphson (Newton – Fourier).

5. II. MARCO TEÓRICO
1.1. Funciones no lineales
Las principales características de una función no lineal es que es de grado n si solo si n ≥ 2 y su
representación gráfica es una línea que se dibuja de distintas formas pudiendo ser cuadrática,
cubica, hipérbola, etc. a excepción de una línea recta.
Sus fórmulas pueden ser: F(x)= a𝑥2+bx+c, F(x)= 𝑎𝑥n , F(x)=𝒍𝒐𝒈𝑎 𝑥, etc.
2.2. Ensayo de compactación (Densidad seca vs % Humedad)
Cuando se habla de compactación se habla de mejorar las propiedades mecánicas del suelo,
para obtener una compactación optima de suelo se hallan valores como la densidad máxima seca
y contenido óptimo de humedad.
Los procesos mecánicos involucrados son la excavación de una calicata obteniendo la muestra
principal y una muestra representativa. La aplicación esta requerido en la construcción de
represas terrestres, terraplenes de canales, autopistas y carreteras de distintas categorías, pistas
de aterrizaje entre otras estructuras

6. II. MARCO TEÓRICO
2.3. Método de Newton-Raphson
El método de Newton Raphson es un algoritmo utilizado para encontrar aproximaciones sucesivas
de las raíces o soluciones de una función no lineal por lo tanto se realiza a conveniencia un
determinado número de iteraciones como sean necesarias para lograr una exactitud dentro de la
tolerancia especificada. Esto siempre y cuando se parta inicie de una correcta estimación inicial.
2.4. Algoritmo para el Método de Newton-Raphson
Se tiene tres formas tradicionales de obtener el algoritmo de Newton- Raphson.
i. Analizar la función f(x) de la cual se quiere obtener su raíz y hallar su derivada f(x).
ii. Establecer un punto de inicio 𝑥0 para comenzar las interacciones
iii. Si f(x0) = 0 entonces la raíz es 𝑥0, pero Si no, calcular 𝑥1 mediante la expresión
𝒙𝒏+𝟏 =𝒙𝒏-
𝒇(𝒙𝒏)
𝒇´ 𝒙𝒏

7. III. MARCO PRÁCTICO
3.1. Planteamiento del problema
Tenemos que hallar la relación entre la humedad óptima y la densidad seca máxima aplicando el
método de Newton – Raphson. En la compactación de suelo se busca hallar la relación que existe
entre la densidad máxima seca de un suelo y el contenido óptimo de humedad, que son la base
para lograr la eficiencia en los trabajos de compactación, datos que ayudarán a aumentar la
resistencia y disminuir la comprensibilidad al momento de compactar un suelo. Según las normas
MTC115-2000 y ASTM (Asociación Americana de Ensayo de Materiales) D1557..
Humedad óptima: El contenido de humedad es importante en la compactación, ya que depende
de la cantidad de agua en la masa del suelo para que las partículas y grupo de partículas
minerales puedan reordenarse bajo una determinada energía de compactación.
Densidad seca: está considerada como la relación entre la masa de las partículas sólidas y el
volumen total del suelo. El caso planteado tenemos que la ecuación es:
y= -0.1106𝑿 𝟑 +1.1216𝑿 𝟐 -3.5922x+5.7199
X: humedad (%)
Y: densidad seca (gr/cm3)

8. III. MARCO PRÁCTICO
3.2. Cálculo de la solución manual sin software
Ecuación inicial: y= -0.1106𝑿 𝟑 +1.1216𝑿 𝟐 -3.5922x+5.7199 Para proceder con la solución
aplicando el método de Newton Raphson primero tenemos que conocer la definición que es la
siguiente:
𝒙𝒏: Es la primera aproximación
𝒙 𝒏+𝟏: Es una mejor aproximación
𝒇 (x): Es una función igualada a cero
𝒇´(𝒙) , : Es la derivada de la función
Pasos:
1. Debemos calcular la derivada de la función antes de usar la fórmula planteada.
2. Sustituir un valor para x de modo que la función nos dé un resultado aproximado a cero.
3. El valor obtenido se vuelve a reemplazar en la formula, sucesivamente hasta llegar a una
solución.
4. Restringir valores para la tolerancia de cifras decimales.
𝒙𝒏+𝟏 =𝒙𝒏-
𝒇(𝒙𝒏)
𝒇´ 𝒙𝒏

9. III. MARCO PRÁCTICO
Solución:
Tenemos: f (x)= y’= -0.3318𝑋2 2+2.2432x-3.5922 = 0
f(x)= y’= -0.3318𝑋2 2+2.2432x-3.5922 → tiene dos raíces o soluciones
Derivada de la función: f’’(x) = -0.6636x+2.243
La ecuación lo tomaremos con una precisión de 4 cifras por decimales, por tanto, empezamos
sustituyendo algunos valores a X para hallar una solución aproximada.
Observamos para x=2 y x=3 esta la primera solución y para los valores x=4 y x=5 está la segunda
solución.
Cuadro N°01: Fuente propia

10. III. MARCO PRÁCTICO
Hallamos la primera solución:
La primera solución está entre [2,3] para 𝑥1= 2 es la 1ra. aproximación, reemplazando a la
fórmula:
Vemos que 𝑥5= 𝑥6 con un error mínimo, por tanto el valor de 2.6054 es una solución más exacta.
Cuadro N°02: Aproximación de raíces- Fuente propia

11. III. MARCO PRÁCTICO
Hallamos la segundo solución:
La segunda solución está entre [4,5] para 𝑥1= 4 es la 1ra. aproximación, reemplazando a la
fórmula:
Vemos que 𝑥4= 𝑥5 con un error mínimo, por tanto el valor de 41553 es una solución más exacta
Resultados:
Las dos soluciones son 𝑥1= 2.6054 y 𝑥2= 4.1553
Cuadro N°03: Aproximación de raíces- Fuente propia

12. III. MARCO PRÁCTICO
3.3. Cálculo de la solución con software
El método de newton Raphson es un método que muchas veces se vuelve laborioso pero el Matlab facilita
este cálculo.
Solución:
Tenemos la función no lineal: y= -0.1106𝑿 𝟑 +1.1216𝑿 𝟐 -3.5922x+5.7199
Derivando se tiene: y’= -0.3318𝑋2 +2.2432x-3.5922
Para hallar la primera aproximación usamos GEOGEBRA y graficamos:
y’= -0.3318𝑋2+2.2432x-3.5922
Imagen 01.
Gráfica de la función no lineal. Él intervalo de solución según la gráfica es [2,3] y [4,5] Fuente propia

13. III. MARCO PRÁCTICO
Primera raíz intervalo [2,3] cálculo de raíces en Matlab.
Imagen 2: cálculo de raíces en Matlab. Fuente: propia
REDOND 2.61
Cuadro N°04: Cálculo de raíces con software- Fuente propia

14. III. MARCO PRÁCTICO
Segunda raíz intervalo [4,5] cálculo de raíces en Matlab.
Imagen 3: cálculo de raíces en Matlab. Fuente: propia
REDOND 4.16
Resultados:
Las dos soluciones son: 𝑥1= 2.6055 y 𝑥2= 4.1554
Cuadro N°05: Cálculo de raíces con software- Fuente propia

15. III. MARCO PRÁCTICO
Interpretación de los resultados:
Luego de realizar los cálculos es importante analizar los datos obtenidos, para poder interpretar.
y= -0.1106𝑋 3 +1.1216𝑋 2 -3.5922x+5.7199
𝑥1= 2.6054
y’= -0.3318𝑿𝟐+2.2432x-3.5922
𝑥2= 4.1553
X: humedad (%)
Y: densidad seca (gr/cm3)
redondeo: 𝑥1= 2.61 𝑥2= 4.16
Tomamos el valor de 4.16%, ahora tenemos que reemplazar este valor en la ecuación y obtenemos el valor de
2.22 gr/cm3. Y se determinó que la humedad optima fue de 4.16%.
Suponiendo que la humedad inicial es 1.42%, y de acuerdo a los cálculos se obtuvo un valor de 4.16%,
entonces con estos datos podemos decir que al momento de compactar el suelo tenemos que agregar 2.74%
de agua para aumentar la resistencia y disminuir la comprensibilidad al momento de compactar un suelo.
Procedemos a graficar la curva de compactación, la cual es una gráfica del % de humedad vs densidad seca

16. III. MARCO PRÁCTICO
Imagen 4: Modelo de gráfica, ensayo de compactación de suelo.
Imagen 5: curva de compactación Fuente: trabajo n° 04: informe
de compactación de suelos- facultad de ingeniería civil y
arquitectura.

17. III. MARCO PRÁCTICO
3.4. Diagrama de flujo NEWTHON-RHAPSON:

18. IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
4.1. Conclusiones:
- Se concluye que los datos de humedad óptima y densidad máxima seca, cuyos cálculos son
importantes para el ensayo de Compactación de Suelos, pueden ser obtenidos por el método de
Newton Raphson verificando su efectividad y uso.
- Al entender que una función matemática relaciona dos variables una dependiente de la otra y al
asignarle valores estamos iterando para hallar los posibles resultados por ello usamos dos métodos
uno manual y otro con software para poder determinar dicho resultado.
- El método de newton Raphson solo requiere un valor inicial, cercano a la raíz, para obtener un valor
más aproximado a la raíz de la ecuación f(x) = 0.
- El método de newton Raphson es el que presenta mejores características debido a que casi siempre
converge a la solución y lo hace en un número reducido de iteraciones.
- Al evaluar la derivada en un determinado punto el cual tendrá una gráfica recta y se intersectará con la
gráfica de la función, logramos trazar una tangente al punto intersectado y usando newton Raphson
logramos dar un nuevo valor que se aproxime a la raíz de la función si seguimos el mismo
procedimiento logramos con este método una mayor proximidad a la raíz o solución de la función
analizada.

19. 4.2. Recomendaciones:
- Escoger un tema donde se pueda aplicar y verificar la efectividad del método de newton Raphson para
eso se deberá analizar y comprender dicho tema.
- La desventaja de usar el método de Newton Raphson radicará en la hallar su derivada de la función
siendo la función sencilla no hay mayor dificultad, pero si se trata de funciones más complicadas
también se complicará el método.
- En este método se debe usar un programa o un software que ayuda a la rápida ubicación de las raíces
ya que resulta muy engorroso resolverlo manualmente.
- Es recomendable ayudarse de un graficador de funciones como GEOGEBRA para poder facilitar el
cálculo con el método de Newton - Raphson.
IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

20. - Juan Manuel Rodríguez López Y Higinio Ramos Calle. (2017). métodos numéricos para la
aproximación de raíces múltiples de funciones no lineales.
https://gredos.usal.es/bitstream/handle/10366/137629/TG_RORIGUEZ%20
- Rosa H, Llique Mondragón. Y Ana M, Guerrero Padilla. (2014). Influencia de la humedad de
compactación en el comportamiento volumétrico de los suelos arcillosos.
https://revistas.unitru.edu.pe/index.php/PGM/article/viewFile/795/722.
- Sergio Plaza Salinas Y José Manuel Gutiérrez Jiménez. (2013). Dinámica del método de newton.
https://dialnet.unirioja.es/descarga/libro/529750.pdf
- TRABAJO N° 04: INFORME DE COMPACTACIÓN DE SUELOSUNIVERSIDAD NACIONAL
HERMILIO VALDIZÁN FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA - Pillco Marca, Perú
2019- Clinton Ramón Silva Misael Olivares Quispe Raywen Anthony Cisneros Ambrosio Jhon Sixto
Herrera Santiesteban Olmer Jara Elguera Eliseo Rojas Muñoz Cristian David Ponce Valerio Anthony
López Bernardo Briayan Ricapa C.
V. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

21. video de la solución de la raíz de la función no lineal utilizando Matlab.
VI. ANEXO
Video N°01: Video de elaboración en Matlab Fuente propia.