Este documento presenta las identidades trigonométricas fundamentales y algunas propiedades relacionadas. Se clasifican las identidades en: 1) identidades recíprocas, 2) identidades por división, 3) identidades pitagóricas y 4) identidades auxiliares. También se explican los tipos de ejercicios que involucran identidades trigonométricas y algunos ejemplos de problemas resueltos.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Sen 2 x  1  Cos 2 x

Sen 2 x  Cos 2 x  1 ; x  R 
Cos 2 x  1  Sen 2 x


Ciclo 2013-II
2 2
  Sec x  Tan x  1
Sec 2 x  Tan 2 x  1 ; x  R  (2n  1)  ; n  Z 
 2  Tan 2 x  Sec 2 x  1

TRIGONOMETRÍA
C sc 2 x  Cot 2 x  1

Csc 2 x  Cot 2 x  1 ; x  R  n  ; n  Z 
Cot 2 x  Csc 2 x  1

“Identidades Trigonométricas” Semana Nº 7
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS  Si:
Son aquellas igualdades que relacionan funciones 1
csc x  ctgx  m  csc x  ctgx 
trigonométricas de una cierta variable, las cuales se m
verifican para todo admisible, clasificándose de la
 senx 1  cos x cos x 1  senx
siguiente manera:  ; 
1  cos x senx 1  senx cos x
1.- IDENTIDADES RECIPROCAS
 Sen  . Cosec  = 1   R - n  (senx  cosx)2 = 1  2senx.cosx
 Cos  . Sec  = 1 R–(2n+1)
 Tan  . Cotan = 1   R – n /2 RECORDAR
Verso de “x” : ver x = 1 – cosx
2. IDENTIDADES POR DIVISION Converso de “x” : cov = 1 – senx
 Tan  = Sen  / Cos  R–(2n+1)/2 Ex secante de “x” : ex sec = secx – 1
 Cotan  = Cos  / Sen  R – n
PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de
3. IDENTIDADES PITAGORICAS una identidad trigonométrica por un factor
 Sen2  + Cos2  = 1 R
numérico cualquiera, la identidad sigue
 1 + Tan2  = Sec2  R–(2n+1)/2
 1 + Ctg2  = Csc2  R – n cumpliéndose.
 Sen 2 2x + cos 2 2x = 1
 1+ tg 2 x/2 = sec 2 x/2
4. IDENTIDADES AUXILIARES
 Sen 5x . csc 5x = 1
 sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x
 tg 10x  sen 10x
cos 10x
 sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x
 tg x + cotg x = sec x . cosec x 5. TIPOS
A continuación te proponemos algunas guías o
sugerencias que te servirán para desarrollar
 sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x
ejercicios, estas son:
 Escoger el miembro más complicado de la
 (1  senx  cosx)2 =2 (1  senx)(1  cosx) identidad.
 Colocar el miembro escogido en términos
 Si: de senos y cosenos.
 Hacer uso de identidades algebraicas,
asenx +bcosx = C c  a 2  b2 según sea el caso.
Entonces:  Cuando haya potencias puede ser útiles
a b hacer factorizaciones
senx   cos x 
c c  De las identidades fundamentales se
podrán deducir otras.
 Si:
1 Los ejercicios sobre IDENTIDADES
sec x  tgx  n  sec x  tgx  TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos:
n  Demostraciones
 Simplificaciones
1
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 Condicionales
K
1  senx 1  senx  1  senx 
 Eliminación del ángulo
2 senx cos x
PROBLEMA DE CLASE K
1  senx 2 senx  k 
1  senx
2 senx cos x cos x
1. Simplifique:
3. Eliminar “x” si:
E
1  cov x  1  vers x  cov x 
1 vers x  cov x  2  sec2 x  atgx
A) vers x B) cov x C) 2 -vers x 2  csc2 x  ctgx
D)2-cov x E) 2 + cov x A) a2  b B) a2  b2  0 C) ab 0
E
1  cov x  1  vers x  cov x  D) a  b  0 E) a  2 b
1  vers x  cov x  2  sec2 x  atgx  2  1  tg2x  
1  1  senx  1  1  cos x   1  senx 
E     atgx  1  tg x  atgx ………(*)
2
1  1  cos x   1  senx 
senx 1  senx  cos x  senx  cos x  1

2  csc2 x  b ctgx  2  1  ctg2x 
 
E
cos x  senx  1 senx  cos x  1
   
 b ctgx  1  ctg2x  b ctgx
sen x 1  cos x   sen2x 
2 tg2 x  1 b
  
E tg2 x tg x
2 sen x cos x
tg2 x  1  b tgx …………….…(*)(*)
1  cos x   1  cos x  1  cos x 
2
E (*) + (*) (*)
2 cos x
1  cos x 1  cos x  1  cos x  0  (a  b)tgx  a  b  0
E
2 cos x
E  1  cos x 4. Si: tg2 x  sen 2 x
 A tgB x
E  1  1  vers x ctg2 x  cos2 x
E  2  vers x Halle: (A + B)
A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
2  2 cos x sen2 x
2. Simplifique: k  1   sen x
 
2
cos2 x sen2 x sec2 x  1
sen x  cos x  1 
A) cos x B) 1  sen x C) 1- sen x
cos 2 x
 cos2 x 
cos2 x csc2 x  1 
1  sen x cos x sen x
2
D) 1 + sen x cos xE)  sen2 x 1  tg2 x  1
  tg2 x tg2 x
1  sen x   tg6 x
cos x 1  ctg x  1
2

2

1
2  2 cos x tg2 x
K 1
sen x  cos x  1  1 tg6 x  A tg B x A = 1; B = 6 A + B =7
senx  cos x  1  2  2 cos x
K
sen x  cos x  1 PROBLEMA DE CLASE
K
senx  cos x  1 senx  cos x  1
senx  cos x  1 senx  cos x  1 1) Determinar A +B, si la siguiente igualdad:
senx  1  cos x
2 2
K 2sen 2 x cos 2 x  cos4 x
 Asec 2 x  B
2 senx cos x cos4 x
1  senx   1  senx 1  senx 
2
Represente una identidad
K
2 senx cos x A) 3 B)1 C) – 2 D) 2 E) – 3
2
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2) Si ctg +csc = a. Halle sen; sabiendo que 1 1

es agudo D) a2 – b2 E) a b
a a2 1 2a 1  a2 1
a2 
A) 1  a2 B) C) 1  a D) E) 10) Si  es un ángulo agudo, y se cumple que
2
a 2a a
sec + tg = 8/3, entonces al reducir
3) Reducir: F=73sen  +48tg , se obtiene:
 1  2senx.cos x  A) 0 B)44 C) 55 D)88 E) 110
E  cos x  csc x
 senx  cos x 
11) Calcule el valor de m para que E sea
A) cscx B)senx C)1 D) 0 E)– 1
independiente de x , si:
4) Reducir la siguiente expresión:
E=(1 + senx + cosx)2 + (1 + senx – cosx)2+ m senx
sen10 x  cos10 x  sen 8  cos8 x
E A) 1 B) – 3 C)– 2 D) 3 E) – 4
sen 6 x  cos6 x
12) Si: 1 ,
sen 2 2x sen 2 2x sen2x sen4 x a .Cos 4  bSen 4 
A) B) C) sen 2x D) 2 E) 1 1

2
4 2 4
a b
 5  4  4 , tal que a  0 y b  0 ,
5) Si sen  cos =ktg , simplifique:
Calcular Sec
P=(k+sen2  )(k +cos2 ) – k
a)  a  b b)  a  b c) a
A) k sen2  B) k cos2 
a b b
C) k2 sen2  D) k2 tg2  E) k2 sec2  a b a b
d) e)
b a
6) Si 5senx =1 – cosx; entonces al reducir
F= 10 + 10 cosx, se obtiene: 13) Si: Sen 3x  Senx  Cos 2x ; calcular
A) senx B) 2senx C) 4senx F  Cscx  Sen 3x
D) sen(2x) E) 2sen(2x) a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
7) Reducir: 14) Si: p q t , determinar la relación que
 
H =(sec2x + csc2x).tg2x(1 – cos2x)ctg4x senx cos x tgx
elimina el arco “x”
A) csc2 x B) sen5 x C) cos6 x
  
a) q 2 p 2  t 2  p 2q 2 b) t 2 p 2  q 2  p 2t 2 
D) cos5 x E) csc4 x
  
c) p 2 p 2  q 2  q 2t 2 d) q 2 p 2  t 2  q 2 p 2 
8) Si: sec = m + n, tg  =m – n, entonces el valor
e) p 2 p 2
q  q t
2 2 2
1 15) Calcular “k”, para que la siguiente igualdad sea
R
de 8mn , es: una identidad.
A) 1/8 B)1/6 C)1/4 D) 1/2 E) 1 sen k x  1 sen k x  1
  6sen 2 x  2 cos 4 x
senx  1 senx  1
9) Si: Sec + tg = a a) 2 b) 4 c) 6 d)8 e) 10
csc + ctg= b
16) Si la siguiente expresión es una identidad:
halle w =sec  – tg  + csc – ctg
1  cos x 1  cos x
1 1

1 1
  senx  k
A) a b B) a + b C) b a senx . cos x k
Calcular el valor de “k”
3
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a) senx b) cosx c) tgx a) m – n = p – q b) m + n = p + q
d) senx.cosx e) Cscx.Tgx c) m2 + n2 = p2 + q2 d) m 2 – n2 = p2 – q 2
e) m 3 – n2 = p2 – q 3
8. Hallar A2 en la siguiente identidad:
PROBLEMAS DE REPASO
1  Senx  A
3 3 1  Senx Cscx  1
H 
1. Simplificar: 1  senx csc x  1 2
2 2
a) Sen x b) Cos x c) Tg x
A) 3 + 6tg2x B) 6 + 3tg2x 2 2
d) Ctg x e) Sec x
C) 3 + 6ctg2x D) 6+ 3ctg2x E) 3 + 6tg2x
9. Reducir la expresión
2. Hallara una relación entre a y b a partir de: cos   sec 
k= 3
a senx = bsenx +cosx sen  c sec
b cosx = senx – a cosx a) Senα b) cosα c) tagα d) ctagα e) 1
A) a2 + b2 B) a – b =1
10. Si: tg  + ctg  = 25/12 Calcular el valor
C) ab = 1 D) a2– b2=1 E) a + b =1
de: sen  + cos 
a) 7/5 b) 5/7 c) 4/3 d) -3/4
3. Si se cumple que sec +tg  = 6, entonces el
1  sen  11. Si: tg 2x  2 2 y  1 ; calcular
tg
w ,es
valor de: cos  F  2Cos 2x  Cos 2 y
A) ½ B) 1/3 C) 1/6 D) 5/6 E) 7/6 a) Cosx b) Cosy c) tgx d) 0 e) 1
2
12. Si:  Tga Tgb  ,
4. Si: Secx Tgx  a ; csc x  Ctgx  b     tg a Tg b
2 2
Determinar la relación que elimina el arco “x”  Senx Tgx 
de “x” determinar Cosx en función de tg a y tg b.
   
a) 4a .b  a 2  1 b 2  1 b) 2a .b  a 2  1 b 2  1   a) tgb b) tga c) tga + tgb
c) a .b  a  2b  2 d) 2a .b  a tga tgb
2 2 2
 1b 2
 1
e) 4a .b  a  1b  1
2 2 d) tga  1 e) 2tga
tgb  1 tgb
5. Calcular el valor k para que la expresión F
sea independiente de x, si:
13. Si: m  tg  ctg  32
F  tg 4 x  3 2x  k sec 4 x  sec 2 x 
tg n  Sec  .Csc  12
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 Determinar la relación que elimina el arco
de “”
6. Reducir: a) m  n  1 b) m  n  2
sen 8x  cos 8 x c) n  m 4 d) 2 m  n  3
F   cos 2 x
1  2sen 2 x . cos 2 x e) n m4
a)  Sen 2 x b)  Cos 2 x c) Sen 2 x
d) Cos 2 x e) Sen 4 x 14. Al simplificar la expresión:
p q sen 4  cos4 x
7. Si: m   q .tgx ; n  p .tgx  F  cos x
cos x cos x senx  cos x
Determinar la relación que elimina el arco se obtiene.
de “x” A) 0 B)1 C)senx D) cosx E)tgx
4
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5. 5
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