Este documento presenta varios problemas de trigonometría. 1) Resuelve una ecuación que involucra sen(2x) y determina que la respuesta es D. 2) Reduce un término que involucra tangente y coseno y determina que la respuesta es D. 3) Resuelve una ecuación que involucra sen(4x) y determina que la respuesta es B.

1. Trigonometría
SEMANA 11 1
3. Si: sen x cos3 x  sen3x cos x 
ÁNGULO DOBLE 8
Halle: H  sen2 4x  1
1
1. Si: sen x  cos x 
5 1 5 5
Halle: H  sen 2x A) B) C)
4 4 8
3 2
1 2 3 D) E)
A)  B)  C)  4 5
5 5 5
4 5
D)  E) RESOLUCIÒN
5 8
1
sen x cos3 x  sen3x cos x 
RESOLUCIÒN 8
1
 sen x  cos x 
2  1 

2

sen x cos x cos2 x  sen2x   8

 5 1
1 2 sen x cos x cos 2x  .2
1+sen2 x  8
5 1
4 2 sen2 x cos 2x  2
 sen2x   4
5 1
RPTA.: D sen 4x 
2
2
E  sen 4x  1
1
2. Si: tg   1 5
3 E   1 E 
Halle: “ c os2 ” 4 4
RPTA.: B
1 2 3
A) B) C) 4. Calcule:
5 5 5
4 5 M  cos12 cos24 cos 48 cos 96
D) E)
5 12
A) 0,125 B) 0,625
RESOLUCIÒN C) -0,125 D) -0,625
1 E) -0,0625
tg  
3
RESOLUCIÒN
1  tg2 
c os 2  sen2 a
1  tg2  Como: cos a 
2
2 sen a
1 1 8 sen24º sen 48º sen96º sen192º
1  1 M
c os 2  3  9  9 2 sen12º 2 sen24º 2 sen 48 2 sen96º
1
2
1 10
1  1 1 sen 180º 12º 1  sen12º 1
 3 9 9 M  
8 sen12º 8 sen12º 8
4  M  0,125
c os 2  
5 RPTA.: C
RPTA.: D
Página 1

2. Trigonometría

5. Si:   7. Reducir
6
H  16 sen  cos  cos2  cos 4  G  tg10  2 tg20  4 ctg40
A) tg 50º B) ctg 10º C) tg 20º
1
A) 1 B) 2 C)  D) ctg 20º E) 1
2
3 RESOLUCIÒN
D)  3 E) 
2 G  tg10º 2 tg20º 2 2 ctg40º
 
G  tg10º 2 tg20º 2 ctg20º  tg20º
 
RESOLUCIÒN
G  tg10º 2 tg20º  2 ctg20º  2 tg20º
H  2 222 sen  cos  cos 2 cos 4
G  tg10º 2 tg20º
H  2 2 2 sen2  cos2  cos 4 G  tg10º  ctg10º tg10º
H  2 2 sen4  cos 4 G  ctg10º
H  2  sen8  RPTA.: B
H  2 sen8 
cos 2  sen 4 
H  2 sen  8 30º  2 sen240º 8. Reducir: H 
  1  cos 2  1  cos 4 
 3
H  2   sen60º   2  
 2  A) tg  B) tg2 C) ctg 
 
2
D) 1 E) tg 
H 3
RPTA.: D
RESOLUCIÒN
1  cos 4   sen 4 cos 2 sen 4 
6. Reducir: A  E
1  cos 4   sen 4  1  cos 2 1  cos 4 
E
cos 2 2 sen2  cos 2 
2 cos 2 cos 
2
A) tg  B) tg  C) tg2 2 2
2
2
D) ctg2 E) ctg 2 
sen2 2 sen  cos 
E 2

2 cos  2 cos  cos 
RESOLUCIÒN
E  tg 
1  cos 4   sen 4
A RPTA.: A
1  cos 4   sen 4 
2 c os2 2   2 sen2  cos 2 9. Halle “x”
A 
2 sen2 2  2 sen2 cos 2 x
2 cos 2   cos 2  sen2 

2 sen2  sen2  cos 2   1

cos 2
A 17 8
4
1
sen2  A) B) C)
A  ctg2 15 15 15
4 5
D) E)
RPTA.: D 15 18
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3. Trigonometría
11. Siendo: tan2x  8 cos2 x  cot x
RESOLUCIÒN Halle: M  2 sen4x  1
x 1 3
A) B) 1 C)
2 2
D) 2 E) -1
 1

4 RESOLUCIÒN
2 tg  tan2x  cot x  8 cos2 x
 tg2 
1  tg2  sen2x cos x cos 2x  x 
  8 cos2 x   8 cos2 x
1 cos2x senx cos2x senx
2 
tg2  4
1
2  1  4  2 senx cos x cos2x 
1 
4 1
1 1
8 sen 4 x=
tg2  2  tg2  2
15 15
1
16 luego: M= 2   1  2
8 x 1 32 2
    x 1 RPTA.: D
15 4 15
17
x  
15 12. Si: tg     9
RPTA.: A 4 
Halle E = ctg 2
10. Si : tg  a  b   tg3b , halle tg 2b
9 5 1
A) ctg a B) 4 tg a C) 2 tg a A) - B)  C) 
D) 2 ctg a E) tg a 40 18 40
11 1
D) E)
RESOLUCIÒN 40 25
tga  tgb
 tg3 b RESOLUCIÒN
1  tga tgb
 
tga 1  tg4 b  tgb(tg2b  1)  
tg      tg x  9
4 
  
tga 1  tg2 b 1  tg2 b  tgb(tg2b  1)
 
tgb x   x
tga  4 4
1  tg2 b   
2 tga  tg2b M  ctg2  ctg 2   x  
 4 
RPTA.: C
 
M  ctg   2x   tg2x
2 
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4. Trigonometría
2 tg x 2 9 18 1 1
M   D) E)
1  tg x 1  9
2 2
1  81 12 18
18 RESOLUCIÒN
M
80
9
M  1  4 cos2 x 1  cos2x  2 cos2 2x  
 M
40  
M  1  4 cos2 x 2 sen2 x 2 cos2 2x 
 
RPTA.: A 2 2
M  1  4 sen 2x cos 2x
  M  1  sen2 4x 
 
13. Si x ; además : 2
8 4 M  cos 4x
2
1 1
sen x  cos x 
4 M  M
3 3 9
RPTA.: C
Halle: sen 4 x
15. Hallar el máximo valor de:
56 2 17 2 13 2
 
2
A) B) C) E = 6  sen2xc os2 x  2 senx  cos x
243 243 243
16 2 56 2
D) E) 9 13 25
243 243 A) B) C)
4 4 4
RESOLUCIÒN 19 15
D) E)
4 4 4
sen x  cos x 
3
Elevando al : RESOLUCIÒN
7 E  6  sen2x cos2 x  2(1  2senx cos x)
sen2x  
9
9 E  4  sen2x cos2 x  4 senx cos x
7
  E  2  senx cos x 
2
 2x  2x
4 2 4 2 1 1
Se pide: Pero:   senx cos x 
sen4x  2 sen2x cos2x 2 2
9 25
  senx cos x  2 
2
56 2
sen 4x  4 4
81
25
RPTA.: B Se pide EMÁX 
4
1 RPTA.: C
14. Si cos 4 x 
3
1 3
16. M= 
E = 1  4 cos 2 x1  cos 2 x 1  cos 4 x  sen10º cos10º
1 1 1 3 1
A) B) C) A) B)  C) -2
3 6 9 2 4
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5. Trigonometría
1 E) sen2 4 
D) E) 4
2
RESOLUCIÒN
4 tg  1  tg2 1  tg2 
  
RESOLUCIÒN G
1  sec4  2  sec2 
 
3
2  cos10º  sen10º 
2 2  4 tg  1  tg2 1  tg2 
M   G   
1  tg   
2
sen10º cos10º 2  1  tg2  
2
 
2 cos10º cos 60º sen60º sen10º
 
M  2. 4 tg  1  tg  1  tg 

2

2

2.sen10º cos10º G
4 cos 60  10º 4 sen20º 1  tg 1  tg 1  tg 
2 2 2
M  
sen20º sen20º G  2  sen2  cos2
M= 4 G  sen 4
RPTA.: E RPTA.: A
17. Si cos2 2x  cos3 2x  cos2x  1 19. Simplifique
Halle:
E = tgx  tg2x  tg3x atgx  b ctgx actgx  b tgx   4ab ctg22x

Si x  0;
4 A) a2  b2 B) a2 b2
C)  a  b  D)  a  b 
2 2
A) 4 B) 5 C) 2
 
2
D) 1 E) 3 E) a2  b2
RESOLUCIÒN
RESOLUCIÒN
Del dato:
cos2 2x 1  cos2x   1  cos2x
E  a2  ab tg2 x  ab ctg2 x  b2  4 ab ctg2 2x
2 2 2
cos 2x 2 cos x  2 sen x

E  a2  b2  ab tg2 x  ctg2 x  4ctg2 2x 
cos2x cos x  sen x
Pero: ctgx  tgx  2 ctg2x
cos2x  tgx Elevando al :
1  tg2 x ctg¨2 x  tg2 x  4ctg2 2x  2
 tg x
1  tg2 x E  a2  b2  ab(2)
1  tgx  tg2 x  tg3x E  a  b
2
1= E
RPTA.: C
RPTA.: D
2
20. Reducir la suma de los “n”
4 tg 1  tg2
  primeros términos de:
18. Reducir G =
2 sec4   sec6  M = sec2 x tan2x  sec2 2x tan4x  sec2 4x
tan8x  sec2 8x tan16 x  ........
A) sen 4  B) sen2
A) tan2n x
C) cos2 D) cos 4
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6. Trigonometría

B) 2 tan2n x  tan x 
x
C) tan2n x  tan
2
 n
D) 2 tan2 x  tan x 
 x
E) 2  tan2n x  tan
 2

RESOLUCIÒN
M=
sec .x tan2x  sec2 2x.tan 4x  sec2 4x.
2
tan8x  sec2 8x.tan16x  .......
Como:
sec2 a tan2a  2  tan2 a  tana
sec2 x t g2x  2  t g2x  t g x 
sec2 2x t g4x  2  t g4x  t g2 x 
sec2 4x t g8x  2  t g8x  t g4 x 
.
.
.
sec2 nx 
t g2n x  2 t g2n x  t g2n 1 x 
 n
M  2 tg2 x  tg x 
RPTA.: B
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