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Trigonometría
              SEMANA 11                                                                                       1
                                                          3.    Si: sen x cos3 x  sen3x cos x 
          ÁNGULO DOBLE                                                                                        8
                                                                Halle: H  sen2 4x  1
                                 1
1.   Si: sen x  cos x 
                                 5                                 1                5                 5
     Halle: H  sen 2x                                          A)               B)             C)
                                                                   4                4                 8
                                                                   3                2
          1                  2                 3                D)               E)
     A)           B)                C)                          4                5
          5                  5                 5
          4              5
     D)           E)                                           RESOLUCIÒN
          5              8
                                                                                                      1
                                                                sen x cos3 x  sen3x cos x 
     RESOLUCIÒN                                                                                       8
                                                                                                          1
      sen x  cos x 
                     2     1 
                         
                                 2
                                                                             
                                                                sen x cos x cos2 x  sen2x              8
                              
                           5                                                             1
                1                                               2 sen x cos x cos 2x        .2
     1+sen2 x                                                                             8
                5                                                                       1
               4                                                2 sen2 x cos 2x          2
    sen2x                                                                            4
               5                                                         1
                                     RPTA.: D                   sen 4x 
                                                                         2
                                                                       2
                                                                E  sen 4x  1
                 1
2.   Si: tg                                                       1          5
                 3                                              E   1 E 
     Halle: “ c os2 ”                                              4          4
                                                                                               RPTA.: B
        1             2                    3
     A)            B)                 C)                  4.    Calcule:
        5             5                    5
        4              5                                        M  cos12 cos24 cos 48 cos 96
     D)            E)
        5             12
                                                                A) 0,125                B) 0,625
     RESOLUCIÒN                                                 C) -0,125               D) -0,625
              1                                                 E) -0,0625
     tg  
              3
                                                                RESOLUCIÒN
               1  tg2 
     c os 2                                                                 sen2 a
               1  tg2                                         Como: cos a 
                         2
                                                                              2 sen a
                  1                1   8                    sen24º sen 48º sen96º sen192º
                1    1                                M
     c os 2     3               9  9                   2 sen12º 2 sen24º 2 sen 48 2 sen96º
                  1
                      2
                                     1 10
                1    1                                   1 sen 180º 12º 1  sen12º    1
                   3               9   9                M                               
                                                             8      sen12º      8 sen12º       8
                4                                              M  0,125
     c os 2  
                5                                                                      RPTA.: C
                                     RPTA.: D
                                                   Página 1
Trigonometría
            
5.   Si:                                              7.    Reducir
            6
     H  16 sen  cos  cos2  cos 4                         G  tg10  2 tg20  4 ctg40

                                                              A) tg 50º       B) ctg 10º           C) tg 20º
                                           1
     A) 1           B) 2            C)                       D) ctg 20º      E) 1
                                           2
                           3                                  RESOLUCIÒN
     D)  3         E) 
                           2                                  G  tg10º 2 tg20º 2 2 ctg40º
                                                                                            
                                                              G  tg10º 2 tg20º 2 ctg20º  tg20º
                                                                                                   
     RESOLUCIÒN
                                                              G  tg10º 2 tg20º  2 ctg20º  2 tg20º
     H  2 222 sen  cos  cos 2 cos 4
                                                              G  tg10º 2 tg20º
     H  2 2 2 sen2  cos2  cos 4                       G  tg10º  ctg10º tg10º
     H  2 2 sen4  cos 4                                  G  ctg10º
     H  2  sen8                                                                   RPTA.: B
     H  2 sen8 
                                                                                     cos 2  sen 4 
     H  2 sen  8 30º  2 sen240º                   8.    Reducir: H 
                                                                             1  cos 2  1  cos 4 
                               3
     H  2   sen60º   2  
                             2                             A) tg          B) tg2              C) ctg 
                                
                                                                                       2
                                                              D) 1            E) tg 
     H 3
                                   RPTA.: D
                                                              RESOLUCIÒN
                    1  cos 4   sen 4                                   cos 2 sen 4 
6.   Reducir: A                                              E
                    1  cos 4   sen 4                             1  cos 2 1  cos 4 
                                                              E
                                                                     cos 2   2 sen2  cos 2 
                                                                        2 cos 2 cos              
                           2
     A) tg         B) tg          C) tg2                                    2           2
                                                                                               2
                               2
     D) ctg2       E) ctg 2 
                                                                   sen2   2 sen  cos 
                                                              E       2
                                                                         
                                                                  2 cos  2 cos  cos 
     RESOLUCIÒN
                                                              E  tg 
            1  cos 4   sen 4
     A                                                                             RPTA.: A
            1  cos 4   sen 4 
           2 c os2 2   2 sen2  cos 2                9.    Halle “x”
     A                                  
           2 sen2 2  2 sen2 cos 2                                                          x

         2 cos 2   cos 2  sen2 
     
         2 sen2  sen2  cos 2                                                        1
                                                                        
         cos 2
     A                                                          17               8
                                                                                   4
                                                                                                          1
         sen2                                                A)              B)                   C)
     A  ctg2                                                   15              15                      15
                                                                  4               5
                                                              D)              E)
                                   RPTA.: D                      15              18

                                                 Página 2
Trigonometría
                                                          11.        Siendo: tan2x  8 cos2 x  cot x
      RESOLUCIÒN                                                     Halle: M  2 sen4x  1

                                   x                                      1                              3
                                                                     A)              B) 1           C)
                                                                          2                              2
                                                                     D) 2            E) -1
                                  1
                  
                      4                                              RESOLUCIÒN
              2 tg                                                  tan2x  cot x  8 cos2 x
     tg2 
             1  tg2                                         sen2x cos x               cos 2x  x 
                                                                          8 cos2 x                  8 cos2 x
                1                                           cos2x senx               cos2x senx
              2 
      tg2     4
                 1
                     2                                              1  4  2 senx cos x cos2x 
             1 
                 4                                                                  1
              1                                                              1
                             8                                       sen 4 x=
      tg2  2  tg2                                                       2
             15             15
                                                                                     1
             16                                                      luego: M= 2       1  2
       8   x 1      32                                                              2
                      x 1                                                                 RPTA.: D
      15     4       15
         17
      x                                                                          
         15                                               12.        Si: tg        9
                              RPTA.: A                                        4    

                                                                     Halle E = ctg 2
10.   Si : tg  a  b   tg3b , halle tg 2b

                                                                         9                5                  1
      A) ctg a         B) 4 tg a       C) 2 tg a                     A) -            B)            C) 
      D) 2 ctg a       E) tg a                                           40              18                  40
                                                                        11              1
                                                                     D)              E)
      RESOLUCIÒN                                                        40              25
       tga  tgb
                   tg3 b                                            RESOLUCIÒN
      1  tga tgb
                          
      tga 1  tg4 b  tgb(tg2b  1)                                         
                                                                     tg      tg x  9
                                                                        4    
                            
      tga 1  tg2 b 1  tg2 b  tgb(tg2b  1)
                                                                                     
               tgb                                                   x   x
      tga                                                               4            4
            1  tg2 b                                                                      
      2 tga  tg2b                                                   M  ctg2  ctg 2   x  
                                                                                       4    
                                       RPTA.: C
                                                                                  
                                                                     M  ctg   2x   tg2x
                                                                             2     


                                                   Página 3
Trigonometría
             2 tg x   2 9       18                                           1                  1
      M                                                               D)                 E)
            1  tg x 1  9
                  2         2
                                1  81                                        12                 18
         18                                                              RESOLUCIÒN
      M
        80
          9
                                                                   M  1  4 cos2 x 1  cos2x  2 cos2 2x                 
     M
          40                                                                                         
                                                                   M  1  4 cos2 x 2 sen2 x 2 cos2 2x 
                                                                                                       
                                       RPTA.: A                                        2       2
                                                                         M  1  4 sen 2x cos 2x
                                                                       M  1  sen2 4x 
                                                                                         
13.   Si   x   ; además :                                                      2
         8     4                                                         M  cos 4x
                                                                                    2
                                                                           1     1
      sen x  cos x 
                      4                                                  M  M
                      3                                                    3     9
                                                                                                                  RPTA.: C
      Halle: sen 4 x
                                                               15.       Hallar el máximo valor de:
         56 2               17 2                13 2
                                                                                                                           
                                                                                                                            2
      A)                 B)                C)                            E = 6  sen2xc os2 x  2 senx  cos x
          243                243                 243
         16 2               56 2
      D)                 E)                                                 9                  13                      25
          243                243                                         A)                 B)                    C)
                                                                            4                   4                       4
      RESOLUCIÒN                                                            19                 15
                                                                         D)                 E)
                              4                                              4                  4
      sen x  cos x 
                              3
      Elevando al :                                                      RESOLUCIÒN
               7                                                   E  6  sen2x cos2 x  2(1  2senx cos x)
      sen2x  
               9
                                       9                           E  4  sen2x cos2 x  4 senx cos x
                                                    7
                                                             E  2  senx cos x 
                                                                                            2
         2x                     2x
      4        2                       4 2                                          1                1
      Se pide:                                                           Pero:        senx cos x 
      sen4x  2 sen2x cos2x                                                         2                2
                                                                               9                       25
                                                                                   senx cos x  2 
                                                                                                    2
               56 2
      sen 4x                                                                  4                        4
                81
                                                                                         25
                                       RPTA.: B                          Se pide EMÁX 
                                                                                          4
                     1                                                                              RPTA.: C
14.   Si cos 4 x 
                     3
                                                                                     1      3
                                                               16.       M=             
      E = 1  4 cos 2 x1  cos 2 x 1  cos 4 x                                sen10º cos10º


           1                  1                 1                             3                    1
      A)                 B)                C)                            A)                 B)                   C) -2
           3                  6                 9                             2                    4

                                                        Página 4
Trigonometría
              1                                                   E) sen2 4 
         D)              E) 4
              2
                                                                  RESOLUCIÒN
                                                                          4 tg  1  tg2 1  tg2 
                                                                                                   
         RESOLUCIÒN                                                G
                1                                                           sec4  2  sec2 
                                                                                               
                              3
              2  cos10º       sen10º 
                2            2                                          4 tg  1  tg2 1  tg2 
         M                                                      G                              
                                                                          1  tg                                   
                                                                                             2
                    sen10º cos10º                                                      2  1  tg2  
                                                                                       2
                                                                                                       
         2 cos10º cos 60º sen60º sen10º
                                        
M  2.                                                                     4 tg  1  tg  1  tg 
                                                                                  
                                                                                         2
                                                                                           
                                                                                                    2
                                                                                                      
               2.sen10º cos10º                                     G
           4 cos 60  10º 4 sen20º                                      1  tg 1  tg 1  tg 
                                                                                   2               2               2

         M              
               sen20º        sen20º                                G  2  sen2  cos2
         M= 4                                                      G  sen 4
                                     RPTA.: E                                                                  RPTA.: A

17.      Si cos2 2x  cos3 2x  cos2x  1               19.       Simplifique
         Halle:
         E = tgx  tg2x  tg3x                              atgx  b ctgx actgx  b tgx   4ab ctg22x
                     
         Si x  0;
                     4                                            A) a2  b2               B) a2 b2
                                                                  C)  a  b              D)  a  b 
                                                                               2                           2

         A) 4            B) 5         C) 2
                                                                                  
                                                                                       2
         D) 1            E) 3                                     E) a2  b2

         RESOLUCIÒN
                                                                  RESOLUCIÒN
         Del dato:
         cos2 2x 1  cos2x   1  cos2x
                                                        E  a2  ab tg2 x  ab ctg2 x  b2  4 ab ctg2 2x
              2           2           2
         cos 2x 2 cos x  2 sen x
                                                                               
                                                        E  a2  b2  ab tg2 x  ctg2 x  4ctg2 2x                     
         cos2x cos x  sen x
                                                                  Pero: ctgx  tgx  2 ctg2x
         cos2x  tgx                                              Elevando al :
         1  tg2 x                                                 ctg¨2 x  tg2 x  4ctg2 2x  2
                    tg x
         1  tg2 x                                                 E  a2  b2  ab(2)
         1  tgx  tg2 x  tg3x                                    E  a  b
                                                                                   2

         1= E
                                                                                                               RPTA.: C
                                    RPTA.: D
                                             2
                                                        20.       Reducir la       suma        de los “n”
                          4 tg 1  tg2
                                                                primeros términos de:
18.      Reducir G =
                          2 sec4   sec6                        M = sec2 x tan2x  sec2 2x tan4x  sec2 4x
                                                                   tan8x  sec2 8x tan16 x  ........
         A) sen 4              B) sen2
                                                                  A) tan2n x
         C) cos2               D) cos 4

                                                 Página 5
Trigonometría
            
       B) 2 tan2n x  tan x            
                      x
       C) tan2n x  tan
                      2
               n
       D) 2 tan2 x  tan x             
                                  x
       E) 2  tan2n x  tan
                                  2
                                    

       RESOLUCIÒN
       M=
sec .x tan2x  sec2 2x.tan 4x  sec2 4x.
   2


tan8x  sec2 8x.tan16x  .......

       Como:
       sec2 a       tan2a  2  tan2 a  tana
       sec2 x        t g2x  2  t g2x  t g x  
       sec2 2x       t g4x  2  t g4x  t g2 x 
       sec2 4x       t g8x  2  t g8x  t g4 x 
                          .
                          .
                          .
       sec2 nx                 
                    t g2n x  2 t g2n x  t g2n 1 x   
                     n
       M  2 tg2 x  tg x          
                                           RPTA.: B




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  • 1. Trigonometría SEMANA 11 1 3. Si: sen x cos3 x  sen3x cos x  ÁNGULO DOBLE 8 Halle: H  sen2 4x  1 1 1. Si: sen x  cos x  5 1 5 5 Halle: H  sen 2x A) B) C) 4 4 8 3 2 1 2 3 D) E) A)  B)  C)  4 5 5 5 5 4 5 D)  E) RESOLUCIÒN 5 8 1 sen x cos3 x  sen3x cos x  RESOLUCIÒN 8 1  sen x  cos x  2  1   2  sen x cos x cos2 x  sen2x   8   5 1 1 2 sen x cos x cos 2x  .2 1+sen2 x  8 5 1 4 2 sen2 x cos 2x  2  sen2x   4 5 1 RPTA.: D sen 4x  2 2 E  sen 4x  1 1 2. Si: tg   1 5 3 E   1 E  Halle: “ c os2 ” 4 4 RPTA.: B 1 2 3 A) B) C) 4. Calcule: 5 5 5 4 5 M  cos12 cos24 cos 48 cos 96 D) E) 5 12 A) 0,125 B) 0,625 RESOLUCIÒN C) -0,125 D) -0,625 1 E) -0,0625 tg   3 RESOLUCIÒN 1  tg2  c os 2  sen2 a 1  tg2  Como: cos a  2 2 sen a 1 1 8 sen24º sen 48º sen96º sen192º 1  1 M c os 2  3  9  9 2 sen12º 2 sen24º 2 sen 48 2 sen96º 1 2 1 10 1  1 1 sen 180º 12º 1  sen12º 1  3 9 9 M   8 sen12º 8 sen12º 8 4  M  0,125 c os 2   5 RPTA.: C RPTA.: D Página 1
  • 2. Trigonometría  5. Si:   7. Reducir 6 H  16 sen  cos  cos2  cos 4  G  tg10  2 tg20  4 ctg40 A) tg 50º B) ctg 10º C) tg 20º 1 A) 1 B) 2 C)  D) ctg 20º E) 1 2 3 RESOLUCIÒN D)  3 E)  2 G  tg10º 2 tg20º 2 2 ctg40º   G  tg10º 2 tg20º 2 ctg20º  tg20º   RESOLUCIÒN G  tg10º 2 tg20º  2 ctg20º  2 tg20º H  2 222 sen  cos  cos 2 cos 4 G  tg10º 2 tg20º H  2 2 2 sen2  cos2  cos 4 G  tg10º  ctg10º tg10º H  2 2 sen4  cos 4 G  ctg10º H  2  sen8  RPTA.: B H  2 sen8  cos 2  sen 4  H  2 sen  8 30º  2 sen240º 8. Reducir: H    1  cos 2  1  cos 4   3 H  2   sen60º   2    2  A) tg  B) tg2 C) ctg    2 D) 1 E) tg  H 3 RPTA.: D RESOLUCIÒN 1  cos 4   sen 4 cos 2 sen 4  6. Reducir: A  E 1  cos 4   sen 4  1  cos 2 1  cos 4  E cos 2 2 sen2  cos 2  2 cos 2 cos  2 A) tg  B) tg  C) tg2 2 2 2 2 D) ctg2 E) ctg 2  sen2 2 sen  cos  E 2  2 cos  2 cos  cos  RESOLUCIÒN E  tg  1  cos 4   sen 4 A RPTA.: A 1  cos 4   sen 4  2 c os2 2   2 sen2  cos 2 9. Halle “x” A  2 sen2 2  2 sen2 cos 2 x 2 cos 2   cos 2  sen2   2 sen2  sen2  cos 2   1  cos 2 A 17 8 4 1 sen2  A) B) C) A  ctg2 15 15 15 4 5 D) E) RPTA.: D 15 18 Página 2
  • 3. Trigonometría 11. Siendo: tan2x  8 cos2 x  cot x RESOLUCIÒN Halle: M  2 sen4x  1 x 1 3 A) B) 1 C) 2 2 D) 2 E) -1  1  4 RESOLUCIÒN 2 tg  tan2x  cot x  8 cos2 x  tg2  1  tg2  sen2x cos x cos 2x  x    8 cos2 x   8 cos2 x 1 cos2x senx cos2x senx 2  tg2  4 1 2  1  4  2 senx cos x cos2x  1  4 1 1 1 8 sen 4 x= tg2  2  tg2  2 15 15 1 16 luego: M= 2   1  2 8 x 1 32 2     x 1 RPTA.: D 15 4 15 17 x   15 12. Si: tg     9 RPTA.: A 4  Halle E = ctg 2 10. Si : tg  a  b   tg3b , halle tg 2b 9 5 1 A) ctg a B) 4 tg a C) 2 tg a A) - B)  C)  D) 2 ctg a E) tg a 40 18 40 11 1 D) E) RESOLUCIÒN 40 25 tga  tgb  tg3 b RESOLUCIÒN 1  tga tgb   tga 1  tg4 b  tgb(tg2b  1)   tg      tg x  9 4     tga 1  tg2 b 1  tg2 b  tgb(tg2b  1)   tgb x   x tga  4 4 1  tg2 b    2 tga  tg2b M  ctg2  ctg 2   x    4  RPTA.: C   M  ctg   2x   tg2x 2  Página 3
  • 4. Trigonometría 2 tg x 2 9 18 1 1 M   D) E) 1  tg x 1  9 2 2 1  81 12 18 18 RESOLUCIÒN M 80 9 M  1  4 cos2 x 1  cos2x  2 cos2 2x    M 40   M  1  4 cos2 x 2 sen2 x 2 cos2 2x    RPTA.: A 2 2 M  1  4 sen 2x cos 2x   M  1  sen2 4x    13. Si x ; además : 2 8 4 M  cos 4x 2 1 1 sen x  cos x  4 M  M 3 3 9 RPTA.: C Halle: sen 4 x 15. Hallar el máximo valor de: 56 2 17 2 13 2   2 A) B) C) E = 6  sen2xc os2 x  2 senx  cos x 243 243 243 16 2 56 2 D) E) 9 13 25 243 243 A) B) C) 4 4 4 RESOLUCIÒN 19 15 D) E) 4 4 4 sen x  cos x  3 Elevando al : RESOLUCIÒN 7 E  6  sen2x cos2 x  2(1  2senx cos x) sen2x   9 9 E  4  sen2x cos2 x  4 senx cos x 7   E  2  senx cos x  2  2x  2x 4 2 4 2 1 1 Se pide: Pero:   senx cos x  sen4x  2 sen2x cos2x 2 2 9 25   senx cos x  2  2 56 2 sen 4x  4 4 81 25 RPTA.: B Se pide EMÁX  4 1 RPTA.: C 14. Si cos 4 x  3 1 3 16. M=  E = 1  4 cos 2 x1  cos 2 x 1  cos 4 x  sen10º cos10º 1 1 1 3 1 A) B) C) A) B)  C) -2 3 6 9 2 4 Página 4
  • 5. Trigonometría 1 E) sen2 4  D) E) 4 2 RESOLUCIÒN 4 tg  1  tg2 1  tg2     RESOLUCIÒN G 1  sec4  2  sec2    3 2  cos10º  sen10º  2 2  4 tg  1  tg2 1  tg2  M   G    1  tg    2 sen10º cos10º 2  1  tg2   2   2 cos10º cos 60º sen60º sen10º   M  2. 4 tg  1  tg  1  tg   2  2  2.sen10º cos10º G 4 cos 60  10º 4 sen20º 1  tg 1  tg 1  tg  2 2 2 M   sen20º sen20º G  2  sen2  cos2 M= 4 G  sen 4 RPTA.: E RPTA.: A 17. Si cos2 2x  cos3 2x  cos2x  1 19. Simplifique Halle: E = tgx  tg2x  tg3x atgx  b ctgx actgx  b tgx   4ab ctg22x  Si x  0; 4 A) a2  b2 B) a2 b2 C)  a  b  D)  a  b  2 2 A) 4 B) 5 C) 2   2 D) 1 E) 3 E) a2  b2 RESOLUCIÒN RESOLUCIÒN Del dato: cos2 2x 1  cos2x   1  cos2x E  a2  ab tg2 x  ab ctg2 x  b2  4 ab ctg2 2x 2 2 2 cos 2x 2 cos x  2 sen x  E  a2  b2  ab tg2 x  ctg2 x  4ctg2 2x  cos2x cos x  sen x Pero: ctgx  tgx  2 ctg2x cos2x  tgx Elevando al : 1  tg2 x ctg¨2 x  tg2 x  4ctg2 2x  2  tg x 1  tg2 x E  a2  b2  ab(2) 1  tgx  tg2 x  tg3x E  a  b 2 1= E RPTA.: C RPTA.: D 2 20. Reducir la suma de los “n” 4 tg 1  tg2   primeros términos de: 18. Reducir G = 2 sec4   sec6  M = sec2 x tan2x  sec2 2x tan4x  sec2 4x tan8x  sec2 8x tan16 x  ........ A) sen 4  B) sen2 A) tan2n x C) cos2 D) cos 4 Página 5
  • 6. Trigonometría  B) 2 tan2n x  tan x  x C) tan2n x  tan 2  n D) 2 tan2 x  tan x   x E) 2  tan2n x  tan  2  RESOLUCIÒN M= sec .x tan2x  sec2 2x.tan 4x  sec2 4x. 2 tan8x  sec2 8x.tan16x  ....... Como: sec2 a tan2a  2  tan2 a  tana sec2 x t g2x  2  t g2x  t g x  sec2 2x t g4x  2  t g4x  t g2 x  sec2 4x t g8x  2  t g8x  t g4 x  . . . sec2 nx  t g2n x  2 t g2n x  t g2n 1 x   n M  2 tg2 x  tg x  RPTA.: B Página 6