Este documento presenta identidades trigonométricas para ángulos triples. Explica fórmulas como sen3x = senx(2cos2x + 1) y cos3x = cosx(2cos2x - 1). También incluye ejemplos resueltos de problemas que aplican estas identidades y propiedades de triángulos notables.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
Sen 3x  3Senx  4Sen x 3
CEPUNS Cos 3x  4Cos x  3Cosx 3
Ciclo 2013-II 3Tgx Tg 3x
Tg 3x 
1  3 2x
Tg
TRIGONOMETRÍA
“Identidades Trigonométricas para el ángulo Triple” Semana Nº 10
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL Triángulo Notable de 36º y 54º
ÁNGULO TRIPLE
Sen 3x  3Senx  4Sen 3 x 4
Cos 3x  4Cos 3 x  3Cosx 10 – 2 5
3Tgx Tg 3 x
Tg 3x 
1  3 2x
Tg 36º
5+ 1
Formulas Especiales: PROBLEMAS RESUELTOS
Sen3 x  Senx(2Cos2x  1)
1. Si: x   ; Calcular:
Cos3 x  Cosx (2Cos2x  1)
72
 2Cos2x  1 
Tg3 x  Tgx  M  2 sen12x 2 cos 8x cos 4x  cos 4x 
 
 2Cos2x  1 
A) 3 B) 3 C) 3 D) 3 E) 3
Formulas de Degradación: 2 3 6 4 12
RESOLUCIÓN
4Sen 3x  3Senx  Sen 3x
M  2 sen12 x cos 4x 2 cos 8x  1
 
4Cos 3x  3Cosx  Cos 3x
cos12 x
M  2 sen12 x cos 4x
cos 4x
Propiedades:
M  sen24 x
4SenxSen 60  x )Sen(60  x )  Sen3x
(
 3 RPTA.: A
4CosxCos(60  x )Cos(60  x )  Cos3x M  sen 
3 2
TgxTg 60  x )Tg(60  x )  Tg3x
(
tgx  tg (60ºx )  tg (120 ºx )  3 3x
tg 2. Si: tg3x  mtgx, calcule:
M  sen3x csc x  cos3x sec x
Observación: A) m  1 B) 2 m  1 C) 2 m  1
5 1 5 1 m1 m 1 m1
Sen18  Cos36  D) m  1 E) 1
4 4
2 m  1
RESOLUCIÒN
Triángulo Notable de 18º y 72º
sen3x cos3x
M   2 cos2x  1 
72º sen x cos x
4
5–1
 2 cos 2x  1  4 cos 2x
Pero: tg3x  m  2 cos 2x  1  m
18º tg x 2 cos 2x  1 1
10+ 2 5
1
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2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
 4 cos2x m  1 m1 3 tg 30º x   tg3 30º x 
  2 cos2x  ctg3x  
2 m1 m 1 1  3 tg2 30º x 
 M  2 m  1 RPTA.: B 13 RPTA.: B
m  1 ctg3x 
  9
3. Halle: “m” si: m ctg20º PROBLEMAS DE CLASE

tg10º tg 40º
3 1) Si: cos 40º = 2n, entonces el valor de la
A) B) 3 C) 1 D) 1 E) 1
3 3 2 expresión : 1
E  3.sen3 20º  cos 3 20º 
RESOLUCIÒN 4
ctg20º a) n b) 2n c) 3n d) 4n e) 5n
m tg10º (Segundo examen sumativo 2012 – III)
tg 40º
m  ctg20º ctg40º ctg80º 2) Si: sec2 x  ntgx , n  2 , entonces
m  c tg60º
sen x  cos 3 x  es igual a:
3
3
m RPTA.: A senx  cos x 3
3
a) n  3 b) n  1 c) n  1
4. Reducir: H  1  cos 40º1  cos80º1  cos160º n2 n2 n2
d) n  3 e) n  2
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
n2 n2
8 8
(Segundo examen sumativo 2012 – II)
RESOLUCIÒN
1  cos 40º1  cos80º1  cos160º 3) Del gráfico, hallar la longitud de CD
  
2 sen2 20º 2 sen2 40º 2 sen2 80º  B
1
H 16 sen2 20º sen2 40º sen2 80
2 
16
2 C
1 1  3
H   sen60º  
2
2

2 2  24º 36º D
  6º
1  3  3 RPTA.: C
A E
H  
2 4  8
a) 1,23 b) 2,23 c) 1,36
d) 3,23 e) 2,32
5. Si: tg 15º x   2 ; Halle: ctg 3x
x
A) 11 B) 13 C) 14 D) 16 E) 17
4) Del gráfico, hallar : y
9 9 9 9 9 B
RESOLUCIÓN
Si: tg 30º x   tg 45º  15º x 
 
tg 45º tg 15  x 
tg 30º x  
1  tg 45º tg 15º x
5º 45º 80º 20º
1 C
tg 30º x   
A D E
x y
3
Se pide: ctg3x  tg 90º 3x  a) 2 Csc 5 º b) 2 Csc10 º
2
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3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2 Csc 5 º 2 Csc10 º 2 Csc 5 º 12) Simplificar:
c) 2 d) 2 e) 4 E  cos 3 x  cos 3 120º  x   cos 3 (120º  x)
a) cos 3x b) 2 cos 3x c) 3 cos 3x
5) Calcular la suma de: m + n + p, para para que la 4 5 4
siguiente igualdad sea su identidad: d) 2 cos 3x e) 5 cos 3x
Sen3 .Sen3  Cos3 .cos3   m.Cos n pa 7 4
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
13) Calcular el valor de “n”
(Segundo examen sumativo 2013 – I)
sen 3x  cos 3x
 1  n .sen 2x
cos x  senx
6) Si 1  cos 6x  A3  3A  B
 
2
a) 0 b)1 c) 2 d) -1 e) – 2
1  cos 2x
Determinar: E  A 2
2B 14) Si: 3 cos x  senx 
a)  2Cos 2 x  b)  2Cos 4 x  c)  Cos 2x  3
     
 3   3   3  Calcular sen 3x
a) 23/27 b) - 23/27 c) 25/27
d)  Cos 4x 
  e) 2Cos 2 x 
 
 3   3  d) -25/27 e) -2/3
3 3
M  Sen 17 º  Cos 13 º 15) Señale el valor de "Senx", si: Sen2x = Cos3x
7) Calcule: Sen 17 º  Cos 13 º
5 1  5 1
1 3 3 3 1 a) 4 b) 4 c) a y c son respuestas.
a) 2 b) 4 c) 8 d) 2 e) 4
d)  1 e) a, b y c son respuestas.
16) Simplificar:
8) Si: senx + cosx = a , Calcular P = Cos3x – Sen3x R = 36Sen3 x + 12Sen33x + 4Sen39x + Sen27x
a)2a-3a2 b) a2-3a c) 3a5 +2a a) 27Senx b) 40Senx
3 2
d) 3a – 2a e) a + 2a c) 30Senx d) 21Senx e) N.A.
(Segundo examen sumativo 2012 – II)
17) Calcular: Tan9º+Cot9º-Tan27º-Cot27º
9) Al reducir: 2Sen 2   Sen3  Cos3  ,
 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 0 e) 8
 Sen  Cos 
se obtiene: PROBLEMAS DE REPASO
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) 4
2º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 I 1) Calcular el valor de: M = Cos5°Cos55°Sen25°
6 6 2
a) b)
10) Si: tg  5 , determinar el valor de 3
Cos 4 16
2 2 6 2 6 2
c) 2 d) e)
a) 1 5 b) 1 2 c) 1 5
 . .  . 4 4 4
2 6 2 3 3 6
d) 5 e) 6
  Cos3 20  Cos3 40
5 5 2) Calcular: M 
(Segundo examen sumativo 2011 – II) Cos20  Cos40
a) ¼ b) 2/4 c) 2/5 d) ¾ e) 3/7
11) Si : Sen3x Cscx + Cos3x Secx = K Cosp . x,
Calcular: K + p 2
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
cos(60º ) 
3) Si: 3 ; Calcule: cos3a
a) 12 b) 5 c) 22 d) 15 e) 11
27 27 27 27 27
3
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4) Reducir: P = (4Cos211° – 1) Sen11°Cos33° A) 3m  2 B) m3  3m
a) 2tag22º b) cos11º c) sen22º
m m
d) 4csc22º e) sen 66º (3  m2 ) (2  m2 ) 2
C) 2 D) 3 E) m(3  2m )
2
5) Reducir: E = 16Sen18°Sen42°Sen78° – 1 12) Del gráfico mostrado, hallar: "x".
E
a) 5 b) 2 c) 3 d) 7 e) 11
x
6) De la siguiente identidad:
D
8.ctg 3x
 Actg 2x .ctx  B 
tg 30 ºx   ctg x  60 º 
4
C
Calcular A + B 
 3
a) 0 b) 2 c) -3 d) 1 e) -2 
A B
a) 4 b) 7 c) 17 d) 8 e) 2 7
5
sen(30º ) 
7) Si: 3 Calcule: cos3 13) Simplificar: Cos66
P
a) 7 5 b) 7 5 c) 5 d) 2 5 e) 5 Cos 4Cos56Cos64
27 2 27 27 a) 8sen12º b) 4Sen12º c) 2Sen4º
d) 2Sen24º e) sen12º
8) Si: ctgx  11 ; Calcular ctg y
2 2 2
14) El valor de: 2Sec 10 º Sec 50 º Sec 70 º Es:
128 9 1 64
a) 3 b) 64 c) 64 d) 192 e) 9
15) Del gráfico, hallar la medida del ángulo "  "
4a
17º
a)
2 b) 2 c) 2 d)
2 e) 2 2
43º
2 3 4
a
 13º
sen(30º ) 
5 a) 39º b) 17º c) 36º d) 51º e) 48º
9) Si: 3
Calcule: cos3 16) Calcular el valor de .
a) 7 5 b) 7 5 c) 5 d) 2 5 e) 5
2
Sen 3Cos Sen   Cos 3Sen Cos 
2
27 2 27 27 (Sen Cos )2
a) 1 b) – 1 c) 2 d) – 2 e) ½
3 3
10) Calcular: Sen 18 º Cos 36 º
5 5 5 5 5 Tan 3 x  n  1 Senx
17) Si : Tanx n  1 , halle : Sen 3 x en términos de "n"
a) 2 b) 8 c) 4 d) 6 e) - 4
2
1
a) n + 1 b) (n  1) c) n
11) Si: senx + cosx = m 1
d) n - 1 e) (n  1)
Obtener: "sen3x + cos3x" en términos de "m".
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