El documento presenta identidades trigonométricas para ángulos dobles. Explica que para ángulos como 32° y 90° que son ángulos dobles, se pueden usar identidades como seno del ángulo doble y coseno del ángulo doble. Luego proporciona fórmulas básicas para seno, coseno y tangente del ángulo doble y ejercicios resueltos como ejemplos.

1. MATEMÁTICA – 3º de Secundaria
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL
ÁNGULO DOBLE
En
ocasiones
se
presentan
razones
trigonométricas como por ejemplo: Sen 32º;
Tg 90º; etc. Pero podemos observa que:
32º = 2(16º)

___________________

90º = 2(45º)
Tg2 =
Tg 20º =
___________________
Entonces surge la necesidad de utilizar otras
identidades para ángulos dobles
1. Fórmulas básicas
Ejercicios Resueltos
I.
Para el seno del ángulo doble:
(Sen2)
1. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: Tg =
Sen2θ  2Senθ  Cosθ
2
3
Calcular: “Sen2”

Sen2 =

Sen 40º = ___________________

Sen8 =
___________________
Solución:
De la condición: Tg =
___________________
2
3
En el triángulo rectángulo:
13
II. Para el coseno del ángulo doble:
(Cos2)
2

3
Cos2θ  Cos 2θ  Sen 2θ
Luego:
Sen 2 = 2Sen.Cos
3
2

Sen2 = 2
13 13
12
Sen2 =
13
También:
Cos2θ  2Cos 2θ - 1
Cos2θ  1 - 2Sen 2θ
2.
Demostrar que:
(Senx + Cosx)2 = 1 + Sen2x

Cos2 =

Cos 40º = ___________________
Solución:

Cos4 =
En el primer miembro, desarrollando:
(Senx + Cosx)2 = 1 + Sen2x
___________________
___________________
III. Para la tangente del ángulo doble:
(Tg2)
2
2
Sen x  2Senx.Cosx  Cos x  1  Sen2x
1
Tg2θ 
1 + 2Senx.Cosx = 1 + Sen2x
2Tgθ
Sen2x
1 - Tg 2 θ

-1-
1 + Sen2x = 1 + Sen2x
Prof: Jhon Villacorta V.

2. 3.
Simplificar:
1
C  4Senx  Cosx  Cos2x
 2  2Sen2x.Cox
2x
4
Solución:
1
Recuerda que:
2Senx.Cosx = Sen2x
En la expresión:
C  4Senx  Cosx  Cos2x
C = 2.2Senx.Cosx.Cos2x
= Sen4x … (Sen30º =
2
1
y 30º =
2
 4x 


 x 
6

)
6

24
Sen2x
Luego:
C = 2Sen2x.Cos2x
Práctica Dirigida Nº 01
Sen4x

C = Sen4x
01. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: Ctg  = 4,
calcular: “Sen2”
4. Simplificar:
C
1 - Cos2 θ
a) 4/15
d) 8/17
1 - Cos 2 θ
b) 4/17
e) 15/17
c) 8/15
Solución:
02. Si: Sen = 1/3,   IC
Calcular: “Sen2”
En la expresión:
1 - Cos2θ
1  (Cos 2θ  Sen2θ)
C

1 - Cos2θ
Sen2θ
2
a)
9
 
 
d)
1  Cos 2 θ  Sen2 θ
C
Sen2 θ
C
4
2
1. Calcular un valor agudo de “x” que cumple:
1
Secx = Senx. Cos2x
8
Solución:
6
3
Secx = Senx. Cos2x
a)
1
4
1
c) 12
d) 3/7
1
4
b)
8
15
c) 9/17
e) 4/15
.
05. Reducir:
8
b) 13
e) 6
Siendo Tg  =
1
1
 Senx.Cos2x   Senx.Cosx.Cos2x
8
8 Cosx
Multiplicando por “2”:
1
9
04. Hallar el valor de “Tg 2”.
8
1
2
2
e)
a) 7
d) 14
1
2
,   IC
13
Calcular: E = 13Sen2 + 1
03. Si: Cos =
 C=2
En la condición:
c)
3
9
Sen2θ  Sen2θ 2Sen2θ

Sen2θ
Sen2θ
2
b)
 2  2Senx.Cosx .Cos2x ...(2Senx.Cosx  Sen2x)
 Sen2x.Cox2 ; ahora multiplicamos por 2
x
a) Senx
d) Cosx
J = Sen2x.Secx – Tgx. Cosx
b) 2Senx
e) 2Cosx
c) 0
4
-2-
Prof: Jhon Villacorta V.

3. 06. Simplificar: A =
3
Cov x
Si se sabe que: Cov x = 1 - Senx
a) 2
d) 2Cosx
b) 1
e) 1/2Cosx
Calcular: A =
a) 1/7
d) 4/7
c) Cosx
,   IC
2 .Tg2 + 1
b) 2/7
e) – 1/7
c) 3/7
03. Reducir:
E = 4senx cosx cos2x
07. Reducir:
C = 8Senx.Cosx.Cos2x.Cos4x
a) Sen2x
d) 2Sen4x
1
02. Si: Cos =
2Cos x  Sen 2x
a) sen2x
d) cos2x
b) Sen4x
e) 4Sen4x
b )sen4x
e) cos4x
c) sen8x
c) Sen8x
04. Reducir:
E = Tgx . Cos2x + Ctgx . Sen2x
2
08. Reducir:
J = Cos2x + 2Sen x
2
a) 1 + sen x
2
d) 2Cos x
2
b) Cos x
2
e) 1 + Cos x
a) sen2x
c) 1
b) 2sen2x
c)
1
Senx
2
d)
1
e) cos2x
Cosx
2
05. Reducir:
09. Simplificar la expresión:
3
3
K = Cos x  Senx  Sen x  Cosx
a) Sen 2x
d) 3.Sen 2x
b) 2.Sen 2x
c) Cos 2x
E = (senx + cosx)2 - 1
c) 0,5Sen 2x
a) sen2x
d)
b) 2sen2x
1
Cosx
2
c)
1
Senx
2
e) cos2x
10. Del gráfico, calcular: “Cos”
06. Reducir:
3
2
a)
3
5
d)
4
5
E = (senx + cosx + 1) (senx + cosx - 1)


a) 1
d) 2sen2x
b)
2
3
e)
07. Reducir:
6
7
c)
5
6
b)-1
e)N.A.
4
c) sen2x
4
C = Cos x – Sen x
2
a) Cos 2x
2
d) 2Cos 2x
b) 2Cos2x
e) 0,5Cos2x
c) Cos2x
08. Del gráfico, calcular: “Sen”
Tarea Nº 01
 
01. Simplificar:
(2Senx - Sen2x)
 Ctg x
A=
Vers x
Sabiendo que: Vers x = 1 – Cosx
a) 2
d) 2Senx
b) Cosx
e) 2Cosx
1
3
a)
-3-
2
3
b)
1
3
d)
c) Senx
3
5
e)
1
6
c)
3
4
Prof: Jhon Villacorta V.

4. -4-
Prof: Jhon Villacorta V.