El documento presenta ejercicios de trigonometría que involucran funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y propiedades de ángulos complementarios y suplementarios. Se piden calcular valores numéricos, simplificar expresiones, hallar funciones trigonométricas dadas relaciones entre ángulos y resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas.

1. Trigonometría
SEMANA 10 tg   tg  45
 tg       
ARCO COMPUESTO 1  tg  tg  1  4 5
1
1. Simplifique:  tg       
21
sen 15º    cos   cos 15º    sen
P RPTA.: D
cos  cos 15º    sen  sen 15º   
tg 89º tg 1º
3. Resolver: E 
A) 2  3 B) 2  3 C) 2 3 tg 88º
3 3
D) E) A) 0,5 B) 2 C) -1
2 6
D) 1 E) 0
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
sen 15º        
  tg 89º tg 1º
 P E
cos     15º    
  tg 88º
sen 15º tg 89º tg 1º
 P  tg 15º E
cos 15º tg 89º 1º 
 P  2 3 tg 89º tg 1º
E
RPTA.: B tg 89º tg 1º
1  tg 89º tg 1º
2. Siendo: E  1  tg89º tg1º
tg 3x  2y   4  tg 2x  3y   5 E  1  tg89º ctg89º
Halle: “ tg  x  y  ”
“1”
 E2
1 1
A) B) -1 C) RPTA.: B
21 10
1 1 4. Si:
D)  E) 
21 10 4 3
sen  a+b    sen acosb 
5 5
RESOLUCIÓN Halle: sen (a – b)
Datos:
1 2 3
* tg(3x  2y)  4  tg   4 A) B) C)
5 5 5
4 1
“” D) E)
5 6
* tg(2x  3y)  5  tg   5
RESOLUCIÓN
Como:
“ ”
4
Piden: senacosb  cos asenb 
5
* tg  x  y   ?  tg     = ?
3 4
“  ”  cos asenb 
5 5
Página 1

2. Trigonometría
1 20
cos asenb   tg  a  b  
5 21
Se pide: RPTA.: C
sen(a  b)  senacosb  cos asenb
3 1 2 7. Calcule: E  21 tg8º 75 sen16º
 sen(a  b)    (asumir: tg 37º = 0,75)
5 5 5
RPTA.: B
A) 23 B) 24 C) 25
D) 26 E) 27
5. A qué es igual:
E  cos 13º 2 sen18º sen 5º
RESOLUCIÓN
A) sen 7º B) cos 22º Si:
C) 2 sen 22º D) cos 23º i) tg8º  tg 45º 37º
E) 2 cos 23º
1  
3
 
tg 8º  4  1
RESOLUCIÓN
 3 7
E  cos 18º  5º  2 sen18º sen 5º 1  1  
4
E  cos 18º cos 5º  sen18º sen 5º ii) sen 16º = sen ( 53º - 37º)
 E  cos 23º 4 4 3 3 7
sen 16º =    
RPTA.: D 5 5 5 5 25
6. Si a y b son ángulos Se pide:
complementarios y además: 1  7
 E  21    75    E  24
 7  25 
3 sena  7 senb . Halle: tg (a-b)
RPTA.: B
17 19 20 8. Si: x y  16º
A) B) C)
21 21 21 Halle:
D)
22
E)
23 24  tgx  tgy   7 tg  tgy
21 21
7 7 1
RESOLUCIÓN A)  B) C)
24 24 3
Si: a + b =90º  senb= cos a
1
3 sena  7 cos a D)  E) 7
3
7
tga   ctgb
3 RESOLUCIÓN
24  tgx  tgy   7 tgx tg y
Se pide:
7 3  7 
   tg x  tg y  24 tg x tg y  24
tg a  tgb
tg  a  b    3 7  
1  tg a tgb  7  3
1    
 3  7 Propiedad
Página 2

3. Trigonometría
tga  tgb  k tgatgb  k RESOLUCIÓN
tg  a  b   k M  sen 60º x  cos 30º x   cos2 x
7
 tg  x  y   x  y  16º (dato)
24 M  sen 60º x  sen 60º x   cos2 x
7
  24  7
24 M  sen² 60º  sen2 x  cos2 x
RPTA.: E 2
 3
M     sen2 x  cos2 x 
 2   
sec       
9. Si: 4
sec       3
M     1
 
Calcule: tg  tg  4
1
 M 
3 3 2 4
A) B)  C)
5 5 5 RPTA.: E
2 5
D)  E) 11. Halle “ tg  ” de la figura.
5 2
RESOLUCIÓN 53º
sec     
4
sec     
cos      
4
cos     
cos       cos      5
 1
cos       cos      3 A) -18 B)  C) 18
18
2 cos  cos  5 1
 D) E) 1
2 sen  sen  3 18
3
tg  tg   
5 RESOLUCIÓN
RPTA.: B 4k
10. Reduce: 53º
   
M  sen   x  cos   x   cos2 x 3k
3  6  3k

1 7 7
A)  B) C)   37º
2 4 4 2k 4k 2k
1 1
D) E) 
4 4
Página 3

4. Trigonometría
Se observa: 7
3k 3 tg  
i) tg    tg   5
2k 2
ii)     37º  tg    tg    37º tg   tg    
3 3 tg   tg 
 tg  
tg   tg 37º 1  tg  tg 
 tg    tg   2 4
1  tg  tg 37º 3 3 4 7
1 
2 4
 tg  18 tg   5 5
4 7
RPTA.: A 1 
5 5
11
12. De la figura mostrada, calcular:
tg  tg   5
3

25
55
tg   
3
3 RPTA.: B
13. En la figura, halle : tg 

4 5
A)
14
5 3 b
B)
5 55 5 7
A)  B)  C) 1
3 3 3 C)
55 4 7 2b 
D) E) 3
3 3 D)
14 5b 5b
RESOLUCIÓN E)
1
2
RESOLUCIÓN
3
b

4
4
 
2b 
5
 
4
tg  5b 5b
5
Página 4

5. Trigonometría
Si: 16. Reduce:
3
tg   
sen3x  cos 3xsen 2x  cos 2x   cos x
5
1 A) sen 2x B) sen 3x C) sen 4x
tg 
5 D) sen 5x E) sen6x
Se pide: RESOLUCIÓN
tg   tg     
tg   tg  E  sen 3x sen 2x  sen 3x cos 2x
tg  
1  tg  tg 
5  cos 3x sen 2x  cos 3x cos 2x  cos x
tg  
14
RPTA.: A E  cos x  sen 5x  cos x
E  sen 5x
14. Reducir: RPTA.: D
tg 3   tg5   tg8   tg3 tg5 tg8  17. En un triángulo ABC, reduce:
cos(A  B) cos B  C  cos C  A 
A) 2 tg 3 B) 2 tg 5  W  
sen A senB senB senC senC sen A
C) 2 tg8  D) 4 tg 3 
E) 4 tg 5  A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Obs:
E  tg   tg5   tg 3  tg 5 tg8  tg8  cos  x  y  cos x cos y  senx seny

E  tg 8  tg8   2 tg 8 senx seny senx  seny
RPTA.: C
 ctgx ctgy  1
15. Dado: sen 2x  y   2 sen y
Dato:  ABC  A  B  C  180º
Halle: tg(x  y) ctgx
Piden:
cos  A  B  cos B  C 
A) 1 B) 2 C) 3 W 
D) 4 E) 5 sen A senB senB senC
cos C  A 
 ?
RESOLUCIÓN senC sen A
sen  x  y   x   2 sen  x  y   x 
     W  ctgA ctgB  1  ctgB ctgC  1
   
3 cos  x  y  sen x  sen  x  y  cos x  ctgC ctg A  1
 
tg  x  y  ctgx  3  W  3  ctgA ctgB  ctgB ctgC  ctgC ctgA
RPTA.: C
“1”
 W4
Página 5

6. Trigonometría
RPTA.: B cos x cos y  senx seny  2senx cos y
18. Simplifique: cos  x  y   2 senx cos y
3 sen 7º  3 cos 7º
E
sen 8º  cos 8º 2 cos  x  y 
E 
sen  x  y   sen  x  y 
3 6
A) 6 B)  6 C) 2  2senx cos y 
4
senx cos y  cos xseny  senx cos y  cos x seny
4 6
D) E) 5 6
3 4 sen x cos y
E
2 sen x cos y
RESOLUCIÓN
E  2
3 sen 7º  3 cos 7º
E
sen 8º  cos 8º RPTA.: C
E
3  3 sen 7º  cos 7º  20. Si: a + b = c
Simplifique:
 1 1  cos2 a  cos2 b  2 cos acosb cos c
2 sen 8º  cos 8º  
 2 2
A) sen (a-b) B) cos c
 3  C) cos (a-b) D) sen2 c
1
2 3  sen 7º  cos 7º  E) cos2 c
 2 2 
E  
 2  sen 45º cos 8º  cos 45º sen 8º 
RESOLUCIÓN
2 3  sen 7º cos 30º  cos 7º sen 30º  cos a  cos2 b  2 cos acosb cos a  b 
2
E
 2 sen(45º  8º )  cos2 a  cos2 b  2cosacosb cosacosb  senasenb 
sen 30º 7º  cos2 a  cos2 b  2cos2 acos2 b  2cosacosbsena senb
E 6  6
sen 37º  cos2 a  cos2 b  cos2 acos2 b 
RPTA.: B
cos2 a cos2 b  2 senacosb cos asenb
19. Si: ctgx  2  tgy
  
 cos2 a 1  cos2 b  cos2 b 1  cos2 a  
2 cos  x  y   2 senacosb cos asenb
Halle: E 
sen  x  y   sen  x  y 
 cos2 asen2 b  cos2 b sen2 a 
2 senacosb cos asenb
A) 1 B) 2 C) -2
  senacosb    cos asenb  
2 2
1 1
D) E) 
2 2
2  senacosb  cos asenb 
senacosb  cos asenb
2
RESOLUCIÓN
De: sen2  a  b   sen2 c
ctgx  2  tgy
RPTA.: E
ctgx  tgy  2
Página 6

7. Trigonometría
RESOLUCIÓN
21. Reducir la siguiente expresión:
 M  5  sen127º   sec 240º  2  tg 315º
2 3
sen(A  B) sen  A  B sec A sec B
2 2
4
* sen 127º  sen 180º 53º  sen53º 
5
A) tg2A  tg2B
* sec 240º  sec 180º 60º  sec 60º  2
B) tg2A  tg2B
* tg 315º  tg 360º 45º  tg45º  1
C) 1  tg2B
4
D) 1  tg2 A M  5     2  2  1
2 3

E) 1  ctgB 5
 M = -2
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
E  sen  A  B sen  A  B sec2 A sec2 B 24. Calcule:
E  senA cosB  senBcos A senA cosB  senBcos A  cos  5520º ctg 100027º
M
1 1 tg(2400º )

cos A cos2 B
2
3 3

E  sen2 A cos2 B  sen2 B cos2 A  1 1
cos A cos2 B
2
A) 1 B) 
8
E  tg2 A  tg2 B 3 3 3
C) D) 
RPTA.: B 8 8
3
22. Reducir: E)
8
sen(180º ) tg 270º   sec 90º  
Q  
cos(90º ) ctg 360º   csc 180º   RESOLUCIÓN
* cos  5520º  cos 5520º  cos 360º 15  120º
A) 0 B) -3 C)-1
D) 3 E) 1 1
cos 120º   cos 60º  
2
RESOLUCIÓN
* ctg100027º  ctg(360º 277  307º)
sen ctg   csc 
 Q   3
sen  ctg csc   ctg307º  ctg53º  
4
 Q   1   1   1  1
RPTA.: C * tg(2400º)  tg(2400º)  tg 360º 6  240º
23. Calcule el valor aproximado:  tg 240º  tg60º   3
 1  3
M  5 sen127º  sec2 240º 2 tg3 315º   2  4
 M    
A)-2 B) 2 C) 6

 3 
D) -6 E) 0 3
 M
8
RPTA.: D
Página 7

8. Trigonometría
25. Simplifique: 7 
csc   csc
 3 
tg    x  cos   x  sec 2  x  6 6
R  2  5 
ctg  ctg
 3   
ctg   x  sen 2  x  csc   x  4 4
 2  2  11 
sec  sec
6 6
A) -1 B) -2 C) -3
D)+1 E) 2 reemplazando tenemos:
   
RESOLUCIÓN  sen 4   tg 3    csc 6 
tg    x   tg x R    
   
 cos 3   ctg 4   sec 6 
 3     
cos   x   sen x
 2   2
 3 

 2    
3  2
ctg   x   tg x    3 2
 2   1  2 
sen 2  x   sen x  2  1  
   3
sec 2  x   sec x RPTA.: A
 
csc   x   sec x 
2  27. Si   
3
Calcule:
Reemplazando.
sen  15    cos 92    
R
 tg x   sen x  sec x   1
P
 927    1683  
 tg x   sen x  sec x  sec 
 2
   csc 
  2
 

RPTA.: E
3 1 1
26. Calcule el valor de : A)  B)  C)
5 2 7 16 16 16
sen tg csc 3 5
R  4 3 6 D) E)
5 5 11  16 16
cos ctg sec
3 4 6
RESOLUCIÓN
A) 3 2 B) 2 C) 2 2 sen  15      sen 15        sen    sen 
D) 5 2 E) 7 2 cos 92     cos 
 1683  
RESOLUCIÓN csc       sec 
5   2 
sen  sen  927  
4 4 sec      csc 
5   2 
cos  cos
3 3
2 
tg  tg
3 3
Página 8

9. Trigonometría
Reemplazando: 29. Siendo “  ” y “  ” las medidas de
P
 sen    cos    sen  cos  dos ángulos complementarios:
 csc    sen   1
sen  cos  cos 2  4  tg 3  2 
Q 
sen2  cos2  cos 4   6  ctg 2  3 
reemplazando: A) -1 B) 1 C) 0
 D) -2 E) 2

3
RESOLUCIÓN
   
P  sen    cos2    
2
 3  3 *     90
2
 3   1
2
3
   * cos 2   4   cos 2   2  2  
 2   2
   16
 
cos 180  2   cos 2
RPTA.: A
28. Reduce: * cos 4  6    cos 4  4  2  
cos  x   cos 24  x   cos 53   x  cos 360º 2    cos2 
W
 47 
sen  x  * tg 3  2   tg 2   2     tg 180º    tg 
 2 
A) -1 B) 1 C) -3 * ctg 2   3   ctg 2  2    
D) 3 E) 0
ctg 180     ctg 
RESOLUCIÓN
* cos  x   cos x  cos 2 tg   cos 2
 Q  Q 
* cos 24   x   cos 2  12  x   cos x cos 2 ctg  cos 180  2
* cos 53   x   cos 52     x  tg 90   
ctg 
 cos    x    cos x
 47   47   cos 2 ctg 
* sen  x    sen  2  x    Q  2
 2     cos 2 ctg 
 3  RPTA.: D
sen  22   x
 2 
30. Reducir:
cos x  cos x   cos x
 W     
cos x    
A  sen 917  tg  239 
 W=1  4  6
RPTA.: B
Página 9

10. Trigonometría
6 6 32. Reducir:
A) B) 3 C)
6 2 H  cos 7  cos 3  cos 4  cos 6

7 7 7
D) 2 E) 2 6
A) 0 B) 1 C) 2
RESOLUCIÓN
1
    D) E) 3
A  sen  917 tg  239  2
 4  6
917  8 239  12  RESOLUCIÓN
11 4 4 12 6 6 H  cos 7  cos 3  cos 4  cos 6

7 7 7
37 114 117
108 19

5   3  3  
4 11 H  cos  cos  cos      cos   7 
6 7 7  7   
5 11 
A  sen tg  3 3 
4 6 H  cos  cos  cos  cos
7 7 7 7
 2  3 
A sen255º tg330º  A    
 2  3 
  H=0
   RPTA.: A
6 33. Calcule el valor de:
A
6 sen 150 cos  225º
P
RPTA.: A tg60ctg(30)
31. Reducir: 12 2
A  csc2 675º ctg2 855º tg2 960º A) B)
12 12
 12 2
1 3 1 C) D) 
A) B) C)  12 12
2 2 2
D) 2 E) 4
E) 1
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
A  csc2 675  ctg2 855  tg2 960 + -
A  csc2 315º ctg2135º tg2 240º sen150 cos  225  
P  
2 2 2
tg60 ctg(30) 
A   csc 45º  ctg45º  tg60º
     
-
2 2 2
A  csc 45  ctg 45  tg 60
sen 30 cos 45
P
A  2 1 3 tg 60 ctg 30
A 4
RPTA.: E
Página 10

11. Trigonometría
1 2 2 csc 20 sen70
 E
sen20 csc 70
P 2 2  4
3 3 3 csc 20 cos20
E
2 sen20 sec 20
P
12 cos2 20º
E
RPTA.: D sen2 20º
2
 cos 20 
34. Reducir: E   
37 41   sen20 
P  sen  cos
11 22
E   ctg2 20º
A) 1 B) -1 C) 0
D) -2 E) 2 E  a2
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
36. Simplifique:
37 41   
sen  cos sen     ctg       sen 2    
11 22 E 2 
 33 4    44  3  tg  450º   ctg 180º   csc 270º  
 sen     cos  22  22 
 11 11   
 4  3 
sen  3   cos  2  A) tg  B) tg  C) ctg
 11   22 

D)  ctg  E) 1
4 3
sen  cos
11 22 RESOLUCIÓN
+ + -
4 3 
como:  
11 22 2  
sen     ctg     sen 2    
4 4  2  
 sen  sen 0 E  
11 11 tg 450   ctg 180   csc 270    
RPTA.: C
- - -
35. Si: ctg20  a
Calcule:  cos  ctg   sen  
E   
csc 200º sen110º  ctg  ctg  sec  
E
cos 290º csc 430º
 cos2   1
A) a B) -a C) a 2   sen 
sen    sen    sen   tg 
D)  a 2 E) 1 E  2
cos  1 cos  cos 
sen  cos 
2
sen 
2
RESOLUCIÓN
( ) ()
csc 200 sen110  RPTA.: B
E   ()
cos 290 csc 430 
() 
Página 11