1. El documento presenta 9 ejercicios de trigonometría que involucran resolver ecuaciones trigonométricas.
2. Los ejercicios 1 al 5 piden hallar sumas de soluciones de diferentes ecuaciones trigonométricas.
3. Los ejercicios 6 al 9 piden resolver ecuaciones trigonométricas e indicar sus soluciones.
Este documento presenta identidades trigonométricas para ángulos dobles. Explica que ángulos como 32° y 90° pueden expresarse como ángulos dobles, como 2(16°) y 2(45°) respectivamente. Luego introduce fórmulas para el seno, coseno y tangente de ángulos dobles, y proporciona ejemplos de su aplicación. Finalmente, incluye ejercicios resueltos para practicar el uso de estas identidades.
Solucionario de trigonometría de granvilleCris Panchi
Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con las relaciones trigonométricas fundamentales, triángulos rectángulos y no rectángulos. Incluye demostraciones de identidades trigonométricas, cálculos para determinar lados y ángulos desconocidos en triángulos dados algunos datos, y conversiones entre expresiones trigonométricas. El documento proporciona instrucciones detalladas y múltiples ejemplos para resolver este tipo de problemas.
Este documento presenta las definiciones y fórmulas para calcular las razones trigonométricas de ángulos agudos en un triángulo rectángulo. Explica que las razones se definen como el cociente entre las longitudes de los lados del triángulo y uno de los ángulos agudos. Luego proporciona ejemplos resueltos de cálculos trigonométricos y ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento habla sobre la importancia de resumir textos de forma concisa para captar la idea principal. Explica que un buen resumen debe identificar la idea central y los detalles más relevantes del documento original en una o dos oraciones como máximo.
El documento presenta información sobre triángulos y cuadriláteros. Define un triángulo como una figura geométrica formada por tres segmentos de recta que unen tres puntos no colineales. Explica los elementos de un triángulo, sus propiedades fundamentales y clasificaciones. Luego introduce los cuadriláteros, definiendo y diferenciando entre trapezoides, trapecios y paralelogramos. Proporciona ejemplos y propiedades de cada figura. Finalmente incluye ejercicios de aplicación.
1) El documento describe las cantidades escalares y vectoriales, y define un vector geométricamente como un segmento de recta con magnitud y dirección.
2) Explica cómo representar la magnitud y dirección de un vector, y cómo determinar las direcciones en un plano y en el espacio tridimensional usando ángulos.
3) Describe los conceptos de igualdad de vectores, suma, resta, multiplicación por un escalar, componentes y cosenos directores de vectores. Presenta ejemplos y métodos gráficos para ilustrar los conceptos.
Este documento contiene una guía de ejercicios sobre raíces para un curso de técnico en minería. Incluye ejercicios para calcular valores y reducir expresiones con raíces, calcular raíces sin calculadora, aplicar propiedades de raíces y potencias, realizar operaciones con raíces, expresar potencias en forma de raíces, y expresar raíces en forma de potencias. También incluye ejercicios complementarios sobre cálculos con raíces y racionalización de expresiones.
Este documento presenta identidades trigonométricas para ángulos dobles. Explica que ángulos como 32° y 90° pueden expresarse como ángulos dobles, como 2(16°) y 2(45°) respectivamente. Luego introduce fórmulas para el seno, coseno y tangente de ángulos dobles, y proporciona ejemplos de su aplicación. Finalmente, incluye ejercicios resueltos para practicar el uso de estas identidades.
Solucionario de trigonometría de granvilleCris Panchi
Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con las relaciones trigonométricas fundamentales, triángulos rectángulos y no rectángulos. Incluye demostraciones de identidades trigonométricas, cálculos para determinar lados y ángulos desconocidos en triángulos dados algunos datos, y conversiones entre expresiones trigonométricas. El documento proporciona instrucciones detalladas y múltiples ejemplos para resolver este tipo de problemas.
Este documento presenta las definiciones y fórmulas para calcular las razones trigonométricas de ángulos agudos en un triángulo rectángulo. Explica que las razones se definen como el cociente entre las longitudes de los lados del triángulo y uno de los ángulos agudos. Luego proporciona ejemplos resueltos de cálculos trigonométricos y ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento habla sobre la importancia de resumir textos de forma concisa para captar la idea principal. Explica que un buen resumen debe identificar la idea central y los detalles más relevantes del documento original en una o dos oraciones como máximo.
El documento presenta información sobre triángulos y cuadriláteros. Define un triángulo como una figura geométrica formada por tres segmentos de recta que unen tres puntos no colineales. Explica los elementos de un triángulo, sus propiedades fundamentales y clasificaciones. Luego introduce los cuadriláteros, definiendo y diferenciando entre trapezoides, trapecios y paralelogramos. Proporciona ejemplos y propiedades de cada figura. Finalmente incluye ejercicios de aplicación.
1) El documento describe las cantidades escalares y vectoriales, y define un vector geométricamente como un segmento de recta con magnitud y dirección.
2) Explica cómo representar la magnitud y dirección de un vector, y cómo determinar las direcciones en un plano y en el espacio tridimensional usando ángulos.
3) Describe los conceptos de igualdad de vectores, suma, resta, multiplicación por un escalar, componentes y cosenos directores de vectores. Presenta ejemplos y métodos gráficos para ilustrar los conceptos.
Este documento contiene una guía de ejercicios sobre raíces para un curso de técnico en minería. Incluye ejercicios para calcular valores y reducir expresiones con raíces, calcular raíces sin calculadora, aplicar propiedades de raíces y potencias, realizar operaciones con raíces, expresar potencias en forma de raíces, y expresar raíces en forma de potencias. También incluye ejercicios complementarios sobre cálculos con raíces y racionalización de expresiones.
1. El documento explica el método de Horner para dividir polinomios. Este método involucra ordenar los polinomios dividendo y divisor de forma descendente y luego llenar un diagrama dividiendo los coeficientes.
2. Se proveen ejemplos resueltos de divisiones de polinomios usando el método de Horner.
3. El documento concluye con una serie de ejercicios de división de polinomios para que los estudiantes apliquen el método.
Este documento presenta información sobre razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Define las razones trigonométricas como números que resultan de dividir lados de un triángulo rectángulo. Explica el teorema de Pitágoras y las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos. También cubre razones trigonométricas recíprocas, de ángulos complementarios y de ángulos notables.
Este documento contiene 30 preguntas sobre conceptos geométricos como congruencia de triángulos, elementos secundarios y propiedades de figuras planas. Las preguntas abarcan temas como identificar triángulos congruentes basados en ángulos y lados correspondientes, determinar medidas de ángulos utilizando propiedades de figuras como bisectrices y medianas, y reconocer cuándo se cumplen las condiciones para la congruencia entre triángulos. Incluye también algunos ejercicios sobre cuadriláteros y sus propiedades.
Este documento describe los diferentes sistemas de medida de ángulos (sexagesimal, centesimal y radial), las equivalencias entre ellos, y las fórmulas para convertir entre unidades. Explica conceptos como complemento, suplemento y factores de conversión para cambiar entre grados y radianes. También cubre propiedades de figuras como sectores y trapecios circulares.
Este documento presenta 8 preguntas de geometría sobre triángulos. Las preguntas involucran calcular ángulos desconocidos, hallar bisectrices y relaciones entre ángulos. El documento provee gráficos y datos numéricos para que el lector pueda resolver las preguntas planteadas.
Este documento contiene 14 problemas de trigonometría resueltos. Los problemas involucran funciones trigonométricas inversas como arcsen, arccos, arcctg y sus relaciones. Se resuelven ecuaciones y expresiones trigonométricas para encontrar valores numéricos o rangos de funciones.
Este documento trata sobre la factorización de expresiones algebraicas. La factorización consiste en transformar una expresión algebraica en un producto de factores primos. Explica diferentes métodos para factorizar como el factor común, las identidades algebraicas, el método del aspa simple y doble. También define conceptos clave como factores primos, factores compuestos y ceros de un polinomio.
Este documento presenta 20 problemas de geometría que involucran la congruencia de triángulos. Cada problema contiene una figura geométrica con triángulos y segmentos de línea, y pide calcular un ángulo desconocido, la medida de un lado o determinar si dos triángulos son congruentes basándose en las propiedades de los triángulos congruentes.
Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría. Define las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo como las divisiones de los lados. Explica las propiedades de las razones trigonométricas como sus valores en ángulos notables y ángulos complementarios. Finalmente, proporciona ejercicios de aplicación.
Se lanza una pelota de baloncesto con una velocidad inicial de v_0=35 m⁄s, que hace un ángulo de θ=50° con la horizontal, la canasta está situada a 5 m del jugador y ésta tiene una altura de 3 m. ¿La pelota tiene alguna probabilidad de encestar?, ¿Cuál fue el alcance máximo de la pelota?
I. El documento explica cómo reducir ángulos trigonométricos a su forma equivalente en el primer cuadrante a través de tres casos: ángulos positivos menores de una vuelta, mayores de una vuelta, y ángulos negativos.
II. Se proporcionan ejemplos y fórmulas para realizar dichas reducciones, así como propiedades y problemas relacionados con las funciones trigonométricas y sus relaciones.
III. El resumen final incluye 17 problemas propuestos para que el estudiante aplique los conceptos explic
Este documento presenta 20 ejercicios de despeje de variables con valores numéricos dados para las variables y, a, b, c. Se pide despejar la variable x en cada una de las ecuaciones dadas y reemplazar los valores numéricos dados para encontrar la solución. Luego, se presentan las soluciones de cada uno de los 20 ejercicios.
1) El documento presenta las razones trigonométricas para ángulos agudos en triángulos rectángulos. 2) Define las seis razones trigonométricas y explica sus propiedades como las razones recíprocas y de ángulos complementarios. 3) Resuelve problemas aplicando las definiciones y propiedades de las razones trigonométricas.
Este documento contiene 40 ejercicios de inecuaciones. La mayoría involucran resolver inecuaciones lineales, cuadráticas o racionales para determinar si una expresión es mayor, menor o igual que cero.
El documento explica cómo calcular las funciones trigonométricas en los cuadrantes del círculo trigonométrico. Define las razones y co-razones trigonométricas y muestra ejemplos de cómo calcular Sen, Tg, Sec, etc. para ángulos dados utilizando las propiedades de los cuadrantes.
Este documento contiene 18 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas involucran cálculos algebraicos, lógica y transformaciones entre bases numéricas. El documento provee la solución completa para cada problema con el objetivo de explicar los pasos involucrados en la resolución.
Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría, incluyendo las definiciones de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo y sus relaciones. Explica que las razones trigonométricas son cocientes entre los lados del triángulo y el ángulo considerado, como seno, coseno y tangente. También presenta el Teorema de Pitágoras y ejercicios de aplicación para calcular lados desconocidos y razones trigonométricas en diferentes triángulos rectángulos.
El documento resume los conceptos básicos de las ecuaciones trigonométricas. Explica que son ecuaciones donde la incógnita está afectada por operadores trigonométricos. Describe dos tipos de ecuaciones trigonométricas: elementales y no elementales. Para resolver ecuaciones elementales se encuentran dos primeras soluciones y se agregan o restan múltiplos de 360°. Para ecuaciones no elementales se aplican identidades trigonométricas para reducirlas a la forma elemental.
Este documento describe las líneas trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) y su variación en la circunferencia trigonométrica. Explica que la circunferencia trigonométrica tiene un radio de 1 unidad y su centro coincide con el origen del sistema cartesiano. Además, incluye ejemplos de cómo graficar estas líneas trigonométricas y ordenar o comparar sus valores para diferentes ángulos.
1. El documento presenta conceptos básicos de trigonometría en triángulos rectángulos, incluyendo definiciones de las seis razones trigonométricas, teoremas de Pitágoras y ángulos complementarios, y relaciones entre las razones de ángulos complementarios.
2. Se explican las razones trigonométricas recíprocas y de ángulos notables como 30°, 45° y 60°, así como métodos para resolver triángulos rectángulos mediante el cálculo de lados.
3. Finalmente, se presentan ej
El documento presenta las funciones trigonométricas inversas y sus propiedades. Define las funciones arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcosecante y arcosecante, y establece sus dominios, rangos y relaciones con las funciones trigonométricas originales. Finalmente, propone una serie de problemas para practicar el cálculo con estas funciones inversas.
1. El documento presenta fórmulas para transformar expresiones trigonométricas de suma o diferencia a producto y viceversa. Incluye ejemplos como transformar Sen6x + Sen2x a 2Sen4x • Cos2x.
2. Se explican identidades para transformar expresiones como SenA + SenB, CosA + CosB, SenA - SenB, etc. a formas de producto.
3. El documento concluye con problemas aplicativos que involucran usar las transformaciones presentadas.
1. El documento explica el método de Horner para dividir polinomios. Este método involucra ordenar los polinomios dividendo y divisor de forma descendente y luego llenar un diagrama dividiendo los coeficientes.
2. Se proveen ejemplos resueltos de divisiones de polinomios usando el método de Horner.
3. El documento concluye con una serie de ejercicios de división de polinomios para que los estudiantes apliquen el método.
Este documento presenta información sobre razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Define las razones trigonométricas como números que resultan de dividir lados de un triángulo rectángulo. Explica el teorema de Pitágoras y las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos. También cubre razones trigonométricas recíprocas, de ángulos complementarios y de ángulos notables.
Este documento contiene 30 preguntas sobre conceptos geométricos como congruencia de triángulos, elementos secundarios y propiedades de figuras planas. Las preguntas abarcan temas como identificar triángulos congruentes basados en ángulos y lados correspondientes, determinar medidas de ángulos utilizando propiedades de figuras como bisectrices y medianas, y reconocer cuándo se cumplen las condiciones para la congruencia entre triángulos. Incluye también algunos ejercicios sobre cuadriláteros y sus propiedades.
Este documento describe los diferentes sistemas de medida de ángulos (sexagesimal, centesimal y radial), las equivalencias entre ellos, y las fórmulas para convertir entre unidades. Explica conceptos como complemento, suplemento y factores de conversión para cambiar entre grados y radianes. También cubre propiedades de figuras como sectores y trapecios circulares.
Este documento presenta 8 preguntas de geometría sobre triángulos. Las preguntas involucran calcular ángulos desconocidos, hallar bisectrices y relaciones entre ángulos. El documento provee gráficos y datos numéricos para que el lector pueda resolver las preguntas planteadas.
Este documento contiene 14 problemas de trigonometría resueltos. Los problemas involucran funciones trigonométricas inversas como arcsen, arccos, arcctg y sus relaciones. Se resuelven ecuaciones y expresiones trigonométricas para encontrar valores numéricos o rangos de funciones.
Este documento trata sobre la factorización de expresiones algebraicas. La factorización consiste en transformar una expresión algebraica en un producto de factores primos. Explica diferentes métodos para factorizar como el factor común, las identidades algebraicas, el método del aspa simple y doble. También define conceptos clave como factores primos, factores compuestos y ceros de un polinomio.
Este documento presenta 20 problemas de geometría que involucran la congruencia de triángulos. Cada problema contiene una figura geométrica con triángulos y segmentos de línea, y pide calcular un ángulo desconocido, la medida de un lado o determinar si dos triángulos son congruentes basándose en las propiedades de los triángulos congruentes.
Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría. Define las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo como las divisiones de los lados. Explica las propiedades de las razones trigonométricas como sus valores en ángulos notables y ángulos complementarios. Finalmente, proporciona ejercicios de aplicación.
Se lanza una pelota de baloncesto con una velocidad inicial de v_0=35 m⁄s, que hace un ángulo de θ=50° con la horizontal, la canasta está situada a 5 m del jugador y ésta tiene una altura de 3 m. ¿La pelota tiene alguna probabilidad de encestar?, ¿Cuál fue el alcance máximo de la pelota?
I. El documento explica cómo reducir ángulos trigonométricos a su forma equivalente en el primer cuadrante a través de tres casos: ángulos positivos menores de una vuelta, mayores de una vuelta, y ángulos negativos.
II. Se proporcionan ejemplos y fórmulas para realizar dichas reducciones, así como propiedades y problemas relacionados con las funciones trigonométricas y sus relaciones.
III. El resumen final incluye 17 problemas propuestos para que el estudiante aplique los conceptos explic
Este documento presenta 20 ejercicios de despeje de variables con valores numéricos dados para las variables y, a, b, c. Se pide despejar la variable x en cada una de las ecuaciones dadas y reemplazar los valores numéricos dados para encontrar la solución. Luego, se presentan las soluciones de cada uno de los 20 ejercicios.
1) El documento presenta las razones trigonométricas para ángulos agudos en triángulos rectángulos. 2) Define las seis razones trigonométricas y explica sus propiedades como las razones recíprocas y de ángulos complementarios. 3) Resuelve problemas aplicando las definiciones y propiedades de las razones trigonométricas.
Este documento contiene 40 ejercicios de inecuaciones. La mayoría involucran resolver inecuaciones lineales, cuadráticas o racionales para determinar si una expresión es mayor, menor o igual que cero.
El documento explica cómo calcular las funciones trigonométricas en los cuadrantes del círculo trigonométrico. Define las razones y co-razones trigonométricas y muestra ejemplos de cómo calcular Sen, Tg, Sec, etc. para ángulos dados utilizando las propiedades de los cuadrantes.
Este documento contiene 18 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas involucran cálculos algebraicos, lógica y transformaciones entre bases numéricas. El documento provee la solución completa para cada problema con el objetivo de explicar los pasos involucrados en la resolución.
Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría, incluyendo las definiciones de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo y sus relaciones. Explica que las razones trigonométricas son cocientes entre los lados del triángulo y el ángulo considerado, como seno, coseno y tangente. También presenta el Teorema de Pitágoras y ejercicios de aplicación para calcular lados desconocidos y razones trigonométricas en diferentes triángulos rectángulos.
El documento resume los conceptos básicos de las ecuaciones trigonométricas. Explica que son ecuaciones donde la incógnita está afectada por operadores trigonométricos. Describe dos tipos de ecuaciones trigonométricas: elementales y no elementales. Para resolver ecuaciones elementales se encuentran dos primeras soluciones y se agregan o restan múltiplos de 360°. Para ecuaciones no elementales se aplican identidades trigonométricas para reducirlas a la forma elemental.
Este documento describe las líneas trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) y su variación en la circunferencia trigonométrica. Explica que la circunferencia trigonométrica tiene un radio de 1 unidad y su centro coincide con el origen del sistema cartesiano. Además, incluye ejemplos de cómo graficar estas líneas trigonométricas y ordenar o comparar sus valores para diferentes ángulos.
1. El documento presenta conceptos básicos de trigonometría en triángulos rectángulos, incluyendo definiciones de las seis razones trigonométricas, teoremas de Pitágoras y ángulos complementarios, y relaciones entre las razones de ángulos complementarios.
2. Se explican las razones trigonométricas recíprocas y de ángulos notables como 30°, 45° y 60°, así como métodos para resolver triángulos rectángulos mediante el cálculo de lados.
3. Finalmente, se presentan ej
El documento presenta las funciones trigonométricas inversas y sus propiedades. Define las funciones arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcosecante y arcosecante, y establece sus dominios, rangos y relaciones con las funciones trigonométricas originales. Finalmente, propone una serie de problemas para practicar el cálculo con estas funciones inversas.
1. El documento presenta fórmulas para transformar expresiones trigonométricas de suma o diferencia a producto y viceversa. Incluye ejemplos como transformar Sen6x + Sen2x a 2Sen4x • Cos2x.
2. Se explican identidades para transformar expresiones como SenA + SenB, CosA + CosB, SenA - SenB, etc. a formas de producto.
3. El documento concluye con problemas aplicativos que involucran usar las transformaciones presentadas.
Este documento resume la historia de la trigonometría. Comenzó como una herramienta para resolver problemas astronómicos en la antigua Grecia. Hiparco se considera el fundador de la trigonometría en el 140 a.C. La trigonometría se desarrolló como una disciplina autónoma en el siglo XVII después de mejoras en el álgebra y el simbolismo matemático. Neper y otros matemáticos posteriores continuaron perfeccionando la trigonometría y expandiendo su uso.
Este documento presenta una introducción a las identidades trigonométricas fundamentales y algunas propiedades y tipos de ejercicios relacionados con ellas. Explica las identidades reciprocas, pitagóricas, por división y auxiliares. También cubre propiedades como que las identidades siguen cumpliéndose al multiplicar los ángulos por un factor numérico, y tipos de ejercicios como demostraciones, simplificaciones, condicionales y eliminación del ángulo. Finalmente, propone algunos ejercicios de aplicación de
Este documento explica ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Presenta las definiciones de ecuaciones y inecuaciones trigonométricas y cómo resolver ecuaciones trigonométricas elementales y encontrar sus valores principales. También explica cómo resolver inecuaciones trigonométricas elementales mediante dos métodos: resolviendo en la circunferencia trigonométrica o graficando las funciones.
I. Este documento presenta fórmulas trigonométricas básicas y relaciones entre funciones trigonométricas, hiperbólicas y circulares.
II. Introduce las funciones hiperbólicas básicas como seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica y sus relaciones.
III. Explica teoremas importantes como el teorema de los senos y cosenos y fórmulas para transformar sumas en productos y viceversa.
Este documento presenta 10 identidades trigonométricas y demuestra si son ciertas resolviendo paso a paso cada una. La resolución incluye aplicar definiciones, igualdades fundamentales y propiedades de funciones trigonométricas como tangente, coseno, seno y cotangente.
Este documento describe las identidades trigonométricas, que son igualdades que se verifican para cualquier valor de una variable y relacionan las funciones trigonométricas sen, cos, tan, cot, sec y csc. Se clasifican en identidades reciprocas, por división y de Pitágoras. También presenta ejemplos de demostración y simplificación de expresiones utilizando estas identidades.
I. Este documento presenta fórmulas básicas de trigonometría. Incluye relaciones entre funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas.
II. Se introducen las funciones hiperbólicas básicas como el seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica, y sus fórmulas.
III. Se explican transformaciones entre sumas y productos de funciones trigonométricas, así como reducciones de ángulos al primer cuadrante. Esto es
Este manual tiene como objetivo brindar herramientas básicas para la gestión educativa a directores de instituciones educativas en Perú. El documento presenta cuatro unidades que abordan la definición, dimensiones, procesos e instrumentos de la gestión educativa, con el fin de mejorar la calidad de la educación.
El documento presenta ejercicios de trigonometría que involucran funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y propiedades de ángulos complementarios y suplementarios. Se piden calcular valores numéricos, simplificar expresiones, hallar funciones trigonométricas dadas relaciones entre ángulos y resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas.
El documento presenta un taller de ecuaciones trigonométricas para los grados 10-A, 10-B y 10-C del Colegio Creadores del Futuro Establecimiento El Corazón. El taller será impartido por el docente Jaime Ramos M. y abarcará los temas numéricos del 1 al 16.
Este documento contiene un examen de geometría con 10 preguntas de opción múltiple. El examen incluye preguntas sobre ángulos, triángulos, cuadrados y otras figuras geométricas. El examen fue aplicado a estudiantes de secundaria para evaluar su conocimiento en geometría.
Funciones TrigonoméTricas De áNgulos Compuestosjuliovicente79
El documento presenta fórmulas para funciones trigonométricas de ángulos compuestos. Explica que la seno de la suma de dos ángulos es igual a la seno del primer ángulo por el coseno del segundo más el coseno del primero por la seno del segundo. Similarmente, presenta fórmulas para la coseno, tangente y cotangente de sumas y diferencias de ángulos. Luego, proporciona ejercicios de aplicación de estas fórmulas para hallar valores trigonométricos conocidos.
Este documento contiene 34 problemas de geometría sobre el cálculo de áreas de diferentes figuras planas como triángulos, cuadriláteros, trapecios, sectores y segmentos circulares. Los estudiantes deben resolver cada problema calculando el área de la región sombreada dadas las medidas de los lados u otros datos como puntos medios o de tangencia. El documento proporciona las figuras y datos necesarios para cada problema pero no incluye las soluciones.
1. El documento presenta varios problemas sobre razonamientos deductivos aplicando diferentes reglas lógicas como el modus ponens, modus tollens, modus tollendo ponens y silogismos. Se plantean ejemplos con premisas y se pide derivar conclusiones usando estas reglas.
2. También incluye problemas sobre aplicación de la transitividad del condicional y bicondicional, así como dilemas constructivos y destructivos, pidiendo verificar si los razonamientos son válidos o inválidos.
3. El documento provee una guía
I. Este documento presenta fórmulas trigonométricas básicas y relaciones entre funciones trigonométricas, hiperbólicas y circulares.
II. Introduce las funciones hiperbólicas básicas como seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica y sus relaciones.
III. Explica teoremas importantes como el teorema de los senos y cosenos y fórmulas para transformar sumas en productos y viceversa.
Este documento describe los ángulos trigonométricos y sus propiedades. Define un ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen. Explica que los ángulos trigonométricos pueden ser positivos o negativos dependiendo de si la rotación es antihoraria o horaria, respectivamente. Además, presenta varios ejercicios resueltos para practicar el cálculo de ángulos trigonométricos.
El documento contiene la solución de varios ejercicios de trigonometría. El ejercicio 69 involucra ángulos coterminales y hallar el menor de ellos. El ejercicio 71 calcula K sabiendo valores de tangentes. El ejercicio 72 relaciona funciones seno, coseno y tangente.
Este documento presenta la solución a 4 ejercicios de trigonometría. El primero involucra ángulos coterminales. El segundo calcula un valor trigonométrico basado en una ecuación dada. El tercero evalúa una expresión basada en valores trigonométricos dados. El cuarto calcula un valor trigonométrico complejo basado en una relación entre seno y coseno.
El documento presenta fórmulas y valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. También incluye fórmulas para ángulos negativos. A continuación, propone 25 ejercicios para calcular valores utilizando estas funciones y fórmulas.
El documento presenta información sobre ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Explica cómo resolver ecuaciones trigonométricas utilizando identidades trigonométricas y cómo determinar el conjunto de soluciones de inecuaciones trigonométricas mediante la representación gráfica de las funciones involucradas. También incluye ejemplos y problemas resueltos sobre estas temáticas.
El documento describe propiedades geométricas relacionadas con la circunferencia y el círculo. Explica la potencia de un punto respecto de una circunferencia y cómo se calcula. También describe propiedades angulares de la circunferencia, como que el ángulo formado por dos cuerdas equivale a la semi-suma de los arcos interceptados y que el ángulo formado por dos rectas secantes equivale a la semi-diferencia de los arcos. Finalmente, incluye ejercicios de desarrollo para practicar el cálculo de á
El resumen del documento es:
1) El documento contiene varios ejercicios de trigonometría que involucran ángulos coterminales, funciones trigonométricas, y relaciones entre ellas.
2) Los ejercicios piden calcular ángulos, valores de funciones trigonométricas, y expresiones algebraicas involucrando funciones trigonométricas.
3) Se proveen las soluciones detalladas para cada ejercicio.
Este documento describe las razones trigonométricas (sen, cos, tan, etc.) de ángulos de cualquier magnitud, incluyendo ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales como 90°, 180°, etc., y ángulos coterminales. Explica las definiciones y valores de las razones trigonométricas para diferentes tipos de ángulos, y resuelve ejemplos numéricos.
Este documento describe las razones trigonométricas (sen, cos, tan, etc.) para ángulos en diferentes posiciones y magnitudes. Explica las razones trigonométricas para ángulos normales, cuadrantales (como 90°, 180°, etc.), y coterminales. También cubre el cambio de signo de las razones trigonométricas para ángulos negativos. Resuelve ejemplos para practicar el cálculo de razones trigonométricas en diferentes situaciones.
Este documento presenta varias ecuaciones trigonométricas para resolver. Instruye resolver las ecuaciones usando funciones trigonométricas inversas con la ayuda de una calculadora. Explica que las soluciones se expresan en grados u radianes considerando todas las posibles respuestas entre 0° y 360° o un número indeterminado k de giros completos.
El documento presenta la teoría sobre ángulos, incluyendo su clasificación según medida, suma y posición. También explica propiedades de ángulos entre rectas paralelas y perpendiculares. Finalmente, propone 7 problemas resueltos sobre cálculo de medidas de ángulos utilizando propiedades como ángulos correspondientes y complementarios.
Este documento resume conceptos básicos de trigonometría. Define las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos y para cualquier ángulo. Explica las razones trigonométricas para ángulos de 30°, 60° y 45°. Describe las relaciones entre las funciones para ángulos opuestos, suplementarios, complementarios y que difieren en 90° o 180°. Finalmente, presenta fórmulas para resolver triángulos no rectángulos como los teoremas de los senos y cosenos, y otras fórmulas útiles como los teore
Este documento presenta conceptos básicos sobre las razones trigonométricas de ángulos en posición normal. Define los ángulos cuadrantales como aquellos cuyo lado final coincide con un semieje del plano cartesiano, y muestra ejemplos de sus medidas. Explica que las razones trigonométricas de ángulos coterminales tienen el mismo valor numérico. Finalmente, incluye ejercicios resueltos como práctica para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta una guía de trabajo práctico sobre trigonometría. Contiene ejercicios para calcular valores trigonométricos utilizando funciones trigonométricas, tablas de valores y relaciones entre ángulos y lados de triángulos. También incluye problemas para determinar medidas desconocidas como alturas, distancias y ángulos mediante el uso de funciones trigonométricas. El documento está organizado en secciones con diferentes tipos de ejercicios y problemas para practicar conceptos trigonométricos.
Este documento presenta un examen de matemáticas con 20 preguntas sobre ángulos, trigonometría, geometría y cálculo. Las preguntas incluyen graficar ángulos, convertir entre notaciones sexagesimal y decimal, calcular valores trigonométricos, resolver triángulos y ecuaciones trigonométricas.
El documento describe los diferentes tipos de ángulos y sus clasificaciones según su medida, suma y posición. También presenta propiedades de los ángulos entre dos rectas paralelas y una recta secante. Finalmente, propone 13 problemas sobre ángulos para calcular medidas desconocidas aplicando dichas propiedades.
Este documento presenta 15 ejercicios de trigonometría que involucran la reducción de funciones trigonométricas al primer cuadrante y la simplificación de expresiones trigonométricas. Los estudiantes deben resolver cada ejercicio seleccionando la respuesta correcta entre las opciones provistas.
1) Los triángulos rectángulos notables son aquellos donde se conocen las medidas de los ángulos agudos y por lo tanto se puede determinar la proporción entre sus lados. 2) Se presentan los triángulos rectángulos notables de 45°, 30°-60° y aproximaciones a estos. 3) Se muestran ejercicios resueltos que aplican las razones trigonométricas de estos triángulos.
Este documento trata sobre ángulos cuadrantales y coterminales en trigonometría. Explica que un ángulo cuadrantal es aquel cuyo lado final coincide con un semieje del plano cartesiano y siempre tendrá la forma "nπ/2", donde n es un entero. También indica que dos ángulos son coterminales si tienen el mismo lado inicial y final, por lo que sus razones trigonométricas serán iguales. Finalmente, presenta algunos ejemplos de ángulos cuadrantales y coterminales.
Mariano Dámaso Beraún fue un destacado científico peruano nacido en 1813 en Huanuco. Estudió en el Convictorio de San Carlos en Lima y se graduó de doctor en ciencias matemáticas en 1837. Enseñó física y matemáticas y descubrió un nuevo método para dividir un ángulo en tres partes llamado la Trisectriz de Beraún. Publicó numerosos trabajos científicos y ocupó cargos como rector, catedrático y diputado. Falleci
Federico Villarreal fue un destacado matemático, ingeniero, físico y políglota peruano que realizó importantes contribuciones a las matemáticas, la ingeniería y otras ciencias. A los 23 años descubrió el método para elevar polinomios a cualquier potencia. Fue decano de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos y rector de la misma universidad. Publicó cerca de 600 artículos científicos y fue un importante divulgador de la ciencia en el Perú.
François Viète fue un matemático y criptógrafo francés del siglo XVI. Trabajó como abogado y consejero privado para los reyes Enrique III y Enrique IV de Francia. Es conocido por haber introducido el uso de letras para representar cantidades desconocidas en las ecuaciones, sentando las bases del álgebra moderna. También descifró códigos secretos del enemigo y resolvió problemas matemáticos complejos.
Tales de Mileto fue un filósofo, matemático, astrónomo y político griego del siglo VI a.C. considerado el primer filósofo de la escuela jonia. Se le atribuyen descubrimientos en geometría y astronomía, aunque no se conservan sus escritos. Vivió y murió en la ciudad jonia de Mileto, donde tuvo como discípulo a Anaximandro. Se le considera el iniciador de la filosofía occidental al buscar explicaciones racionales a los fenómenos naturales en lugar de explic
Paolo Ruffini fue un matemático y médico italiano del siglo XVIII. Estudió en la Universidad de Módena y luego se convirtió en profesor allí. En 1799 publicó un libro donde demostró que las ecuaciones de quinto grado no pueden resolverse mediante raíces, anticipándose a su época. Aunque su trabajo fue ignorado inicialmente, hoy se le reconoce como pionero en el uso de la teoría de grupos y la demostración de la irresolubilidad de las ecuaciones de quinto grado.
Bernhard Riemann fue un matemático alemán del siglo XIX que realizó importantes contribuciones al análisis y la geometría diferencial. Formuló la hipótesis de Riemann, un problema sin resolver en teoría de números, e introdujo conceptos como la función zeta de Riemann, la integral de Riemann y la geometría de Riemann. Fue profesor de matemáticas en la Universidad de Göttingen y miembro de varias academias científicas.
Henri Poincaré fue un destacado matemático, físico y filósofo francés nacido en 1854. Realizó importantes contribuciones en diversas áreas como topología, teoría de grupos, mecánica celeste y relatividad. Entre sus logros se encuentran haber establecido el grupo fundamental de un espacio topológico y haber demostrado el carácter caótico del problema de los tres cuerpos, anticipando la teoría del caos. También realizó contribuciones fundamentales a la relatividad especial, como la formul
Pitágoras fue un importante matemático y filósofo griego del siglo VI a.C. que realizó contribuciones fundamentales al desarrollo de las matemáticas. Fundó una escuela en Crotona, Italia donde enseñaba que la realidad subyacente es matemática y que las matemáticas pueden usarse para la purificación espiritual. Se le atribuyen descubrimientos como el teorema de Pitágoras y la existencia de los números irracionales.
Blaise Pascal fue un polímata francés del siglo XVII conocido por sus contribuciones a las matemáticas, la física y la filosofía. Nació en Clermont-Ferrand en 1623 e inventó la primera calculadora mecánica, la Pascalina. También realizó investigaciones pioneras sobre la presión atmosférica y el vacío y desarrolló conceptos matemáticos como el triángulo de Pascal y la teoría de probabilidad. Tras una conversión religiosa en 1654, Pascal se dedicó a
Isaac Newton nació en 1643 en Inglaterra. Se convirtió en un destacado matemático y físico y descubrió las leyes del movimiento y la gravitación universal. Estudió en la Universidad de Cambridge donde fue profesor y desarrolló el cálculo infinitesimal y la óptica. En 1687 publicó sus Principia Mathematica que establecieron los fundamentos de la física moderna. Pasó los últimos años de su vida como director de la Casa de la Moneda en Londres y presidente de la Royal Society.
John von Neumann nació en 1903 en Hungría y murió en 1957 en Estados Unidos. Fue un matemático prodigio que hizo contribuciones fundamentales a las matemáticas, la teoría de juegos, la computación y el desarrollo de la bomba atómica. Von Neumann ayudó a diseñar las primeras computadoras digitales como el ENIAC y el EDVAC, y propuso la arquitectura de von Neumann que es la base de las computadoras modernas. También participó en el Proyecto Manhattan para desarrollar
Nikolái Lobachevski (1792-1856) fue un matemático ruso pionero en el desarrollo de la geometría no euclidiana. Enseñó en la Universidad de Kazán durante más de 30 años y fue rector entre 1827 y 1846. Formuló de manera independiente un sistema de geometría hiperbólica que rechazaba el quinto postulado de Euclides. Sus ideas sobre una geometría alternativa se adelantaron a su época y recibieron inicialmente críticas, pero posteriormente se reconocieron como una contrib
Gottfried Leibniz fue un filósofo, matemático y político alemán del siglo XVII. Realizó importantes contribuciones al cálculo infinitesimal, la lógica y otras áreas. Inicialmente su reputación decayó, pero luego fue reconocido como uno de los pensadores más influyentes de su época. Actualmente se le considera uno de los últimos genios universales y se le otorgan premios en su honor.
Adrien-Marie Legendre fue un destacado matemático francés nacido en 1752. Realizó importantes contribuciones en áreas como la geometría, la teoría de números, el álgebra abstracta y el análisis matemático. Escribió la popular obra Elementos de Geometría y desarrolló el método de los mínimos cuadrados. Fue miembro de prestigiosas academias como la Academia de Ciencias de Francia y la Royal Society. Legendre murió en París en 1833 tras una larga carrera dedic
Laplace fue un destacado astrónomo, matemático y físico francés que hizo importantes contribuciones a la astronomía y probabilidad. Formuló la hipótesis nebular sobre la formación del sistema solar y demostró la estabilidad del mismo. También sentó las bases de la teoría matemática de probabilidades y fue un firme defensor del determinismo científico. Fue miembro de numerosas academias científicas y ocupó cargos como ministro del Interior de Francia.
Joseph-Louis de Lagrange fue un destacado matemático francés nacido en Italia en 1736. Estudió en Turín y se convirtió en profesor de matemáticas a los 19 años, destacando por resolver problemas complejos. Más tarde trabajó en Berlín y París, donde hizo contribuciones fundamentales al cálculo variacional y la mecánica analítica. Publicó obras influyentes y enseñó en la École Polytechnique. Fue reconocido como el mayor matemático de su época.
Andréi Kolmogórov fue un destacado matemático ruso que realizó importantes contribuciones en teoría de la probabilidad y topología. Estructuró el sistema axiomático de la teoría de la probabilidad utilizando el lenguaje de la teoría de conjuntos. Recibió numerosos premios y honores de academias de ciencias de todo el mundo por su trabajo pionero. Fue miembro de la Academia Rusa de Ciencias y profesor en la Universidad Estatal de Moscú.
Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo y matemático alemán conocido por sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas. Estudió en la Universidad de Tubinga y trabajó como profesor de matemáticas y astrónomo imperial para Rodolfo II. Descubrió que los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, no en círculos, y formuló sus tres leyes fundamentales sobre el movimiento planetario.
Herón de Alejandría fue un matemático y astrónomo del siglo I a.C. que desarrolló fórmulas importantes como la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo a partir de sus lados. También inventó máquinas como la eolipila, un precursor de la turbina de vapor, y desarrolló un método para calcular raíces cuadradas. Escribió varios tratados sobre temas como mecánica, áreas, volúmenes y óptica.
1. Trigonometría
SEMANA 15
ECUACIONES 3. Resolver y dar la suma de
TRIGONOMÉTRICAS soluciones de la ecuación:
1. Halle la suma de las 3 primeras cos 2 x sen x 0; x 0º;360º
soluciones positivas de la
2 A) 450º B) 630º C) 540º
ecuación: sen 5x 10º D) 360º E) 300º
2
A) 111º B) 133º C) 122º RESOLUCIÓN
D) 132º E) 123º cos 2 x sen x 0;x 0º;360º
1 2 sen x senx 0
2
RESOLUCIÓN
0 2 sen2x senx 1
2 2
sen 5x 10º VP arc sen 45º 2 sen x 1
2 2
sen x -1
5x 10º 180º n 1 45º
n
0 2 senx 1 senx 1
x 36º n 1 9º 2º;n
n
Si: n = -1 x = - 43º 1 IIIC: x = 210º
n = 0 x = 11º i) senx IVC: x = 330º
2
n = 1 x = 29º
n = 2 x = 83º ii) sen x = 1 x = 90º
11º 29º 83º 123º
RPTA.: E 90º 210º 330º 630º
RPTA.: B
2. Indique el número de soluciones
positivas y menores a una vuelta 4. Halle la suma de las soluciones de
de la ecuación: sec x cos x sen x la ecuación:
ctg x – csc 2x = 1
A) 1 B) 2 C) 3 Para ángulos positivos menores de
D) 4 E) 5 360º
RESOLUCIÓN A) 360º B) 630º C) 450º
* 0º < x < 360º D) 660º E) 810º
1
* sec x cos x senx cos x senx RESOLUCIÓN
cos x
cos x 1
1 cos2 x senx cos x sen2x senx cos x 1
sen x 2 sen x cos x
sen2x senx cosx 0 senx senx cosx 0
2cos2 x 1 2senx cos x
i) senx 0 x 0º,180º,360º,...
tg 2x =1
senx
ii) senx cos x 0 senx cos x 1
cos x k
tg x= 1 x = 45º, 225º, … de donde: x
2 8
Son “3” soluciones: 180;45º;225º
Se pide: Soluc 630º
RPTA.: C RPTA.: B
Página 1
2. Trigonometría
A) 30º;90º;150º;270º
5. Al resolver la ecuación:
B) 30º;90º
tg2 x cos x 3senx
donde: 0 x 360º , la suma de
C) 60º;90º;120º;270º
todas sus soluciones es: D) 60º;90º
E) 30º;60º
A) 1260º B) 990º C) 650º
D) 720º E) 570º
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN sen2x cos x;x 0º,360º
tg2x 3 tgx 2senx cos x cos x
2 tg x 2senx cos x cos x 0
3 tg x
1 tg2 x cos x 2 senx 1 0
donde: tg x = 0 i) cos x = 0 x = 90º ; 270º;…
x = 0; 180º; 360º 1
Pero: 2 = 3 -3 tg2 x ii) sen x x 30;150º;... .
2
1 conjunto solución =
tg2 x
3 30º;90º;150º;270º
x = 30º; 150º; 210º; 330º RPTA.: A
Se pide: Soluc = 1 260º
RPTA.: A 8. Siendo tg2x tgx sen3x sec x ;
x 0; Indique la suma de las
6. Halle los valores de “x” en el
soluciones.
primer cuadrante que verifican la
ecuación:
3
cos 4 x -3 cos3x+3cos2x -1=0 A) B) C)
2 2
5
A) 15º y 75º B) 45º y 30º D) 2 E)
2
C) 30º y 60º D) 15º y 30º
E) 18º y 60º
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN tg2x tgx sen3x sec x, x 0;
- 3 cos 3x = 1 - cos 4x-3 cos 2x 3
x ,x , ,
-3cos 3x=1- 2 cos2 2x 1 3cos2x 2 4 4
sen 3x sen3x
-3cos 3x=2-3cos2x-2cos2 2x ;cos x 0
cos 2x cos x cos x
-3cosx 2cos2x-1 2 cos2x 1 2cos2x k
i) sen 3x = 0 x k=1 x=
3 3
de donde: x = 30º y 60º
2
RPTA.: C k=2 x=
3
7. Resolver la ecuación: k=3 x=
sen 2x = cos x e indicar sus
soluciones para x 0º;360º ii) cos 2x = 1 2x = 2 x =
(ya se considero)
Suma = 2
RPTA.: D
Página 2
3. Trigonometría
RESOLUCIÓN
9. Resolver: sen x 1
cos2 x cos2 2x cos2 3x cos2 4x sen x cos x
cos x cos x
Indique el número de soluciones
en el intervalo de 0;
cos3 x senx 1 cos2 x
3
tg x 1 tgx 1
A) 5 B) 6 C) 7
x = k +
D) 8 E) 9 4
RPTA.: E
RESOLUCIÓN
11. Determine la suma de soluciones
2 cos2 x 2 cos2 2x 2 cos2 3x 2 cos2 4x
de la ecuación:
cos2 x cos 4 x cos6 x cos8 x
senx 3 cos x 1 ;x 0;2
2 cos3 x cos x 2 cos7 x cos x
i) cos x = 0 x 2 3 5
2 A) B) C)
3 5 3
ii) cos3x cos7x 0 2sen5x sen2x 0
3
D) E)
2 6
k
a) sen 2x = 0 x k = 0x = 0
2
RESOLUCIÓN
k = 1x = senx 3 cos x 1
2
k= 2 x = 1 3 cos x senx
1 3 1
k cos x sen x
b) sen 5x = 0 x k=1 x 2 2 2
5 5 1
2 cos 30º cos x sen30º sen x
k= 2 x 2
5 1
3 cos x 30º
k = 3 x 2
5
4 60º
k = 4 x 1
5
Hay 7 soluciones 2
RPTA.: C 1
10. Resolver: senx cos x tgx sec x 2
300º
La solución de la ecuación es:
C.T.
(K es un número entero)
i) x 30º 60º x 30º
6
A) k B) k
4 6 3
ii) x 30º 300º x 270º
2
C) k D) k 3 5
12 18 6 2 3
E) k
4
RPTA.: C
Página 3
4. Trigonometría
i) cos 4x 0 4x 90º x 22º30'
12. Halle uno de los valores de x que ii) cos6x 1 6x 360º x 60º
satisfacen la ecuación
11
cos5x 3 sen5x 2 cos x 0 22º30' 60º 8 3 24
(K es un número entero) RPTA.: E
K 14. Al resolver la ecuación:
A)
2 12 1 tgx 1 sen2x 1 tgx 1 cos2x
K La suma de las soluciones
B)
3 12 comprendidos entre 0 y 180º
K será:
C)
4 12
A) 360º B) 240º C) 245º
K D) 315º E) 325º
D)
2 18
E)
K
RESOLUCIÓN
2 12 2 tgx 1 tg2x
1 tgx 1 2
1 tgx 1 2
1 tg x 1 tg x
RESOLUCIÓN 1 tgx 2 2 tg2x
cos x 3 sen5 x 2 cos x 1 tgx 2
1 tgx 2
1 tg x
1 tg x
cos 5 x cos x
3 de donde: x1 k
de donde: 4
k
x1 x2 k
2 12 6
k Se pide: Soluc. 315º
x2
3 18 RPTA.: D
RPTA.: A
15. Al resolver la ecuación:
13. Resolver e indicar la suma de las sen 2x =cos2 x tgx csc x
2 primeras soluciones positivas Calcule la diferencia entre las
de la ecuación: menores soluciones positivas.
cos2 5x sen2 x cos 4x
2
5 5 7
A) B) C)
A) B) C) 3 6 12
12 24 24 2 3
7 11
D) E)
D) E) 15 4
12 24
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN k
2 2
sen2x cos2 x tg x csc x, x
cos 5x sen x cos 4x 0 2
cos 5x x cos 5x x cos 4x 0 2 sen x cos x cos2 x
senx 1
; senx 0
cos 6 x cos 4x cos 4x 0 cos x sen x
cos x 0
cos 4 x cos 6x 1 0
Página 4
5. Trigonometría
2 2 2
senx cos x 2 senx
x 2 2 2
1 6 tg x = - 1
sen x 5
2 x x = - 45º
6 RPTA.: C
2 18. Resolver la ecuación:
Diferencia =
3 3 1 cos x sen2 x;n
RPTA.: A
A) { 2 n } B) { n } C) n
16. Determinar todas las soluciones 2
de la ecuación:
D) 4 n E) n
1 tgx 3 ctgx 4
k
1 tgx 3 ctgx
RESOLUCIÓN
3 1 cos x sen2 x
A) k B) K
4 6 3 3cos x 1 cos2 x
c os2 x 3cos x 2 0
C) K D) K
12 18 cos x -2
cos x -1
E) K
4
i) c os x 2 0 cos x 2 x
RESOLUCIÓN ¡Incompatible!
2 6
ii) cos x -1 = 0 cos x =1
2 tg x 2 ctg x
x 2 n ; "n"
ctgx 3 tgx
RPTA.: A
ctg2 x 3
19. Indique la solución general de la
ecuación:
x k
6 5
RPTA.: B sen4 x cos4 x ;"n"
8
17. Al resolver la ecuación:
sen x 135º cos x 135º cos x 135º A) x 2 n
6
El mayor ángulo negativo x es:
B) x n
2 3
A) 15º B) – 75º C) 45º
D) 87º E) – 39º C) x 2 n
3
RESOLUCIÓN D) x n
2 6
sen x 135 c os x 135 cos x 135
E) x n
sen x 135 2 sen x sen135 6
Página 5
6. Trigonometría
RESOLUCIÓN
5 21. Resolver la ecuación
sen4 x cos4 x trigonométrica:
8
0,5cos2 x 3 senx cos x 0,5sen2 x 0, k
3 cos 4x 5
4 8 k
A) B) k
1 2 6 3
co s 4x
2 k k
1
C) D)
VP arc cos 120 2 3 2 12
2
4x 360 n 120 E) k
6
x 90 n 30
RESOLUCIÓN
x n ; "n"
2 6 cos2 x sen2 x 3 2senx cos x 0
RPTA.: D
3
3 sen2x cos2x tg2x
20. Resolver la siguiente ecuación 3
trigonométrica k
2x k x ,k
3 6 2 12
cos2 5x sen2 3 x cos2x , k
2 RPTA.: D
22. Resolver la ecuación
A) 2K 1
2 trigonométrica
x
B) 2K 1 3 cos x 7 4 cos
4 2
Indique la suma de las soluciones
C) 2K 1 en el intervalo de 0;6
3
D) 2K 1 A) 2 B) 4 C) 6
5
D) 8 E) 10
E) 2K 1
8
RESOLUCIÓN
x x x
RESOLUCIÓN 3cos x 7 4 cos 6 cos2 4 cos 10 0
2 2 2
3
cos2 5x sen2 3x cos 2x x
2 3 2 cos2 1
2
3
cos 8x cos 2x cos 2x
2
x x x x
i) cos 2x 0 2x 2k 1 x 2k 1 ,k Z 3cos2 2cos 5 0 3cos 5 cos 1 0
2 2 2 2 2 2
3 x
ii) cos 8 x x 3 cos -5 0
2 2
x x
x 2k 1 ,k cos + 1 cos 1
4 2 2
RPTA.: B
Página 6
7. Trigonometría
x
Luego: 2k 1
2 Halle: “x” y “y”, si 0 x ;
0 y
x 2 2k 1 k 0 x 2 7
A) x ;y
k 1 x 6 12 12
7
B) x ;y
Suma = 8 10 10
3
C) x ;y
RPTA.: D 4 2
2
D) x ;y
23. Dado el sistema: 3 4
3
xy E) x ;y
2 8 8
cos x
3 2 cos y
Indique una solución general de y
RESOLUCIÓN
k Como:
6 x y x y
a) senx seny 2sen cos 2
A) k 2 2
24
6
= ………………………………….……(1)
B) k 2
12
Como:
C) k
10 2 x y x y
b) cos x cos y 2cos cos 2
D) k 2 2
6
2
= ……………………………………..(2)
E) k 2
3
(1) (2)
RESOLUCIÓN x y 2
tg 3 x y 3 ………
Como: x y cos x cos y seny 2
2 2 También:
Luego en: cos x
3 2 cos y , se tiene: a : sen2 x sen2 y 2 sen x sen y ……(3)
2 3
2
1
tgy 2 3 y k ,k b : cos2 x cos2 y 2 cos x cos y .….(4)
2
12 2
(3) + (4):
RPTA.: B
2 2cos x y 2 cos x y 0 x y …
2
24. Dado el sistema:
7 7
6 : 2x x
sen x sen y 6 12
2
cos x cos y
2 : 2y y
6 12
2
RPTA.: A
Página 7