Este documento explica las medidas de variabilidad, incluyendo la desviación estándar y la varianza. Estas medidas cuantifican cuán dispersos están los datos respecto a la media. La desviación estándar se calcula sumando los cuadrados de las desviaciones de cada dato respecto a la media y dividiendo por la cantidad de datos. La varianza es el cuadrado de la desviación estándar y mide la dispersión en unidades elevadas al cuadrado. El documento provee ejemplos del cálculo de estas medidas para diferentes conjuntos de datos.

1. Prof. Ricardo Escalante

2. BPMM30 2 3 4 5 Medidas de Variabilidad Puntaje de desviación Propiedades Ejemplos de Desviación 1 6 Varianza Desviación estándar

3. Estas medidas se refieren a qué tan alejados de la media aritmética están los datos. Las medidas de tendencia central ofrecen una idea cuantificada del valor promedio de la distribución. Las medidas de variabilidad, en cambio, cuantifican la magnitud de la dispersión. Estudiaremos tres tipos de medidas de dispersión: Rango Desviación estándar Varianza

4. El puntaje de desviación nos indica qué tan lejos “a qué distancia” esta el dato en bruto con respecto a la media aritmética de la distribución . Puntaje de desviación para datos de una muestra: Puntaje de desviación para datos de una población: A modo de ejemplo considere la siguiente distribución de datos correspondiente a una población X i 23 25 27 29 31 33 35

5. En primera instancia calculamos la media: Determinada la media aritmética de la muestra, calculamos las diferencias de los datos en bruto a la media Si intentamos calcular el promedio de las desviaciones, esto sería equivalente a: Es decir: X i 23 23 – 29 = -6 25 25 – 29 = -4 27 27 – 29 = -2 29 29 – 29 = 0 31 31 – 29 = 2 33 33– 29 = 4 35 35 – 29 = 6

6. De acuerdo con este cálculo, por ser cero, indica que los datos de esta población no se desvían. Evidentemente este cálculo NO ES VÁLIDO, no obstante, si cada una de estas cantidades la elevamos al cuadrado, las propiedades de la potenciación indican que sus resultados serán positivos. De ahí Si calculamos el promedio de estos cuadrados, sería: Consecuentemente tendríamos el promedio de los cuadrados de las diferencias. Este promedio se puede ajustar aplicándole la raíz cuadrada. Con este proceso revertimos el acto de elevar al cuadrado.

7. Consecuentemente tendríamos el promedio de los cuadrados de las diferencias. Este promedio se puede ajustar aplicándole la raíz cuadrada. Con este proceso revertimos el acto de elevar al cuadrado. Este cálculo corresponde a la desviación estándar para un conjunto poblacional de datos aplicando el método de la desviación X i 23 23 – 29 = -6 36 25 25 – 29 = -4 16 27 27 – 29 = -2 4 29 29 – 29 = 0 0 31 31 – 29 = 2 4 33 33– 29 = 4 16 35 35 – 29 = 6 36

8. Para el ejemplo que se observa a continuación, determine la desviación estándar sabiendo que se trata de una distribución de datos poblacionales X i 7 8 9 10 11 12 13 14 15

9. Para el caso de una distribución de datos correspondiente a una muestra, se utiliza: Aún no!!!!!! X i 25 -11 121 29 -7 49 31 -5 25 32 -4 16 35 -1 1 37 1 1 40 4 16 41 5 25 43 7 49 47 11 121

10. Otro ejemplo: X i 10 -6,875 47,265625 12 -4,875 23,765625 13 -3,875 15,015625 15 -1,875 3,515625 18 1,125 1,265625 20 3,125 9,765625 22 5,125 26,265625 25 8,125 66,015625

11. Para una distribución de frecuencias de datos no agrupados: 7 2 2 14 -3,8 14,44 28,88 8 5 7 40 -2,8 7,84 39,2 9 7 14 63 -1,8 3,24 22,68 10 12 26 120 -0,8 0,64 7,68 11 7 33 77 0,2 0,04 0,28 12 6 39 72 1,2 1,44 8,64 13 4 43 52 2,2 4,84 19,36 14 4 47 56 3,2 10,24 40,96 15 2 49 30 4,2 17,64 35,28 16 1 50 16 5,2 27,04 27,04

12. Existe un método alternativo para el cálculo de la desviación estándar, se trata del método de los datos en bruto: Método anterior X i X 2 25 625 29 841 31 961 32 1024 35 1225 37 1369 40 1600 41 1681 43 1849 47 2209

13. Aplique sobre las siguientes distribuciones: Propiedades de la desviación La desviación estándar nos proporciona una medida de la dispersión con respecto a la media. La desviación estándar es sensible a cada uno de los datos de la distribución. X i 25 28 35 37 38 40 42 45 47 50 X i 1,2 1,4 1,5 1,7 1,9 2,0 2,2 2,4 2,5 2,8 3,0 3,3

14. La varianza de un conjunto de datos es simplemente el cuadrado de la desviación estándar. Para los datos de la muestra, la varianza es: Para los datos de una población, la varianza es: La varianza no es muy utilizada en estadística descriptiva, porque proporciona unidades de medición elevadas al cuadrado.