sesion

1. MATEMÁTICA II
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

2. Caso:

3. Logro de la sesión
• Al término de la sesión, el estudiante resuelve ejercicios de
derivadas de funciones reales de variable real, empleando las
reglas de derivación, siguiendo un proceso lógico y ordenado.

4. Recordar
• Simplificación de expresiones algebraicas.
• Valor numérico de una función.
• Factorización.

5. Interpretación geométrica

 

T
h 0
f(x h) f(x)
m lim
h
x
f(x)
T
L
Pendiente de la recta
tangente en el punto
(x; f(x))

 

S
f(x h) f(x)
m
h
(x+ h)-x = h
f(x+ h)-f(h)
f(x+ h )
f(x+h)
x+ h
x+ h
x+ h

6. Definición:
La derivada de una función f respecto a x, es la función f´
dada por

 
 
T
h 0
f(x h) f(x)
f '(x) m lim
h
f '(x) se lee como ”f prima de x”, y se interpreta como la
razón de cambio de la función f en un instante x.
Se dice que f es derivable en x=c, si f '(c) existe.

7. NOTACIÓN :

8. Reglas de derivación
Derivada de una función de la forma:
Ejemplos:
Si ( ) '( ) 1
Si ( ) ( ) '( ) 0
f x x f x
f x K cte f x
  
  
R
n
ncx
x
f
cx
x
f n
n




 
,
)
(
'
)
( 1
R
n
nx
x
f
x
x
f n
n




 
,
)
(
'
)
( 1
Caso general:
Caso particular (cuando c = 1):

9. Ejemplos

)
x
(
f
Calcule la derivada de la función
3
 x 4
Solución

10. Derivada de una suma y diferencia de funciones
)
(
'
)
(
'
)]'
(
)
(
[ x
g
x
f
x
g
x
f 


)'
6
7
5
( 2

 x
x
EJEMPLOS
1) 2) )'
6
5
2
( 2
3
x
x
x 


11. Derivada de un producto de funciones
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)]'
(
)
(
[ x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f 

]'
)
2
)(
1
3
(
[ 3
2
5


 x
x
x
EJEMPLO

12. Derivada de una función cociente
 2
'
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f 







EJEMPLO
'
3
2
4
4








x
x

13. Derivada de una POTENCIA DE FUNCIONES
  '
.
.
)
ln(
'.
.
)
( 1
'
)
(
f
f
g
f
g
f
x
f g
g
x
g 


EJEMPLO
 '
)
1
2
(
3
)
4
( 
 x
x

14. A LA FÍSICA:
• Si x(t) es la posición en el instante “t” , entonces x’(t) es la velocidad
v(t) en el instante “t”. ( v(t)= x’(t) )
• Si v(t) es la posición en el instante “t” , entonces v’(t) es la
aceleración a(t) en el instante “t”. ( a(t)= v’(t) )
A LOS INGRESOS Y COSTOS:
Sean I, C, U las funciones ingreso, costo y utilidad respectivamente,
que dependen de la cantidad q; entonces:
• Ingreso Marginal = I’(q) .
• Costo Marginal = C’(q).
• Utilidad Marginal = U’(q).
ALGUNAS APLICACIONES

15. Ejemplo 1:
Sea la función f, definida f(x)=-3x5, entonces la derivada es f’(x)= -15x4.
REGLA DE LA FUNCIÓN POTENCIA
REGLAS DE DERIVACIÓN

16. Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex
Si f(x) = ax, entonces f ´ (x) = axln(a)
1
f(x) ln(x) f '(x)
x
  
a a
1
f(x) log (x) f '(x) log e
x
  
REGLA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
REGLA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMO
REGLAS DE DERIVACIÓN

17. DERIVADA DE LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

18. Ejemplos
Halle la derivada de las siguientes funciones:

19. Solución de la situación problemática
Será desarrollado por los estudiantes con la guía del docente

20. Resolver el caso inicial:

21. GRACIAS