El documento describe los criterios de simetría en el trazado de gráficas de funciones. Explica que una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje y, e impar si es simétrica respecto al origen. También define una función inversa como aquella cuya gráfica es simétrica a la de otra función respecto a la línea y=x. Finalmente, pide determinar si ciertas funciones son pares o impares.

1. CRITERIOS DE SIMETRÍA EN EL TRAZO DE GRÁFICAS DE FUNCIONES Tutor : Pablo E. Naranjo M. UNIVERSIDAD DE BOYACÁ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA

2. Semejanzas ¿Cuáles son las semejanzas del plano ? (1) Traslaciones

3. ¿Cuáles son las semejanzas del plano ? (2) Giros (rotaciones) Semejanzas

4. ¿Cuáles son las semejanzas del plano ? (3) Simetrías respecto a un eje Semejanzas

5. SIMETRÍA Respecto a una recta De dos puntos De una gráfica Respecto a un punto De dos puntos De una gráfica

6. Simetría respecto a una recta

7. Simetría de dos puntos respecto a una recta Dos puntos, P y P´ forman un par simétrico respecto a una recta L si: L biseca al segmento de recta PP´ y L es perpendicular a PP´ • • L P P´ “ Se dice que P´ es la imagen simétrica de P o viceversa”

8. Simetría de una gráfica respecto a una recta Una gráfica es simétrica respecto a una recta L si: Para todo punto P de la gráfica, su imagen simétrica P´ respecto a la recta L también pertenece a la gráfica L P 1 • • • • P 2 P 2 ´ P 1 ´

9. Simetría respecto a un punto

10. Simetría de dos puntos respecto a un punto Dos puntos, P y P´ forman un par simétrico respecto a un punto Q si: Q es punto medio del segmento de recta PP´ • P P´ • • Q

11. Simetría de una gráfica respecto a un punto Una gráfica es simétrica respecto a un punto Q si: Para todo punto P de la gráfica, su imagen simétrica P´ respecto al punto Q también pertenece a la gráfica • Q P 1 • P 2 • P 1 ´ • P 2 ´ •

12. Clasificación de las Funciones (según la simetría de su gráfica cartesiana)

13. Las funciones pueden ser: Par Impar Ninguna de las anteriores

14. Función Par Es aquella cuya gráfica es simétrica respecto al eje vertical (y) del plano cartesiano. y x 0

15. Es decir, para una función par se cumple que si para todo número x en su dominio, el número –x también está en el dominio, de donde f(-x) = f(x)

16. Función Impar Es aquella cuya gráfica es simétrica respecto al origen (0) del plano cartesiano. y x 0 •

17. Es decir, para una función impar se cumple que si para todo número x en su dominio el número –x también está en el dominio, de donde - f(-x) = -f(x)

18. Función Inversa Si f es una función uno a uno con Dominio en X y Rango en Y , y g es una función con Dominio en Y y Rango en X , entonces g es la función inversa de f si y solo si: (f o g)(x) = x , para toda x en el Dominio de g (g o f)(x) = x , para toda x en el Dominio de f La función inversa g también se puede denotar como f -1

19. Ejemplos y = x f -1 y = x f -1 f y x 0 y x f 0

20. ¿Por qué una función tiene que ser uno a uno para que tenga inversa? Por no ser uno a uno la función f , al trazar la gráfica simétrica respecto de la recta y=x, resulta que ya no es una función y = x y x f 0

21. ¿Cómo saber si dos funciones son inversas observando sus gráficas cartesianas? Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la recta y = x

22. Ejemplo : ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)= x+1/x, g(x)=1/(x 2 +1), h(x)=i(x 2 ) donde i es una función arbitraria. Solución: Como f(-x) = -x - 1/x = -f(x), f es función impar. Como g(-x)=1/((-x) 2 +1)=1/(x 2 +1)=g(x), g es función par . Como h(-x) = i((-x) 2 ) = i(x), h es función par.

23. Resolución de Problemas : ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)=x 3 -1/x, g(x)=x 2 /(x 2 +1), h(x)=i(x 2 +1) donde i es una función arbitraria. Verificar en cada caso con la gráfica de la función en el intervalo [-1,1], en el caso de la función i proponerla arbitrariamente para graficar. ..

24. Gracias por su atención