Sistemas difusos

Dr. Hugo A. Banda Gamboa
CORDICYT
Agosto, 2016

CONTENIDO
I. Teoría de los Conjuntos Difusos
II. Conjuntos Difusos
III. Operadores Difusos
IV. Lógica Difusa
V. Inferencia y Razonamiento Difuso
VI. Ejemplos de Sistemas Difusos
VII. Sistemas de Inferencia Neuro-
Difusos Adaptativos (ANFIS)
VIII.Conclusión
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TEORÍA DE
LOS
CONJUNTOS
DIFUSOS

La Teoría de Conjuntos Difusos
 La Teoría de Conjuntos Difusos se refiere al
estudio de clases de objetos con fronteras
indefinidas, de tal forma que las transiciones
entre sus conjuntos son graduales antes que
abruptas.
 Su estudio incluye:
 Lógica difusa
 Aritmética difusa
 Programación matemática difusa
 Topología difusa
 Teoría de gráficos difusos
 Análisis de datos difusos

La Teoría de Conjuntos Difusos
 Lotfi Zadeh (1965), a través de la Teoría de los
Conjuntos Difusos propuso una representación de
tipo lingüística antes que matemática para los
sistemas difusos. Los conjuntos difusos permiten
representar conceptos imprecisos.
 Están basados en la premisa que los elementos
clave en el pensamiento humano no son solamente
números, sino que pueden ser representados,
aproximadamente, por clases de objetos cuyas
funciones de membrecía pueden tener transiciones
graduales entre ellas y traslaparse.
*Zadeh L A. Fuzzy Sets. Inform. and Control, Vol 8, 1965, pp 338-353

La Función de Membrecía
 Define cómo un punto en el espacio de
entrada (universo de lectura), es
proyectado a un valor de membrecía
(difusidad) comprendido entre 0 y 1.
 La función de membrecía puede ser
lineal por tramos o una curva continua
de forma arbitraria, escogida de tal
manera que satisfaga la naturaleza del
problema que representa, desde el
punto de vista de simplicidad,
conveniencia, rapidez y eficiencia.

Difusidad
 La difusidad describe el grado de pertenencia o
membrecía de un elemento a un conjunto difuso. Es
una medida de cuan bien una instancia (valor)
conforma con un ideal semántico o concepto.
 Un conjunto difuso tiene varias propiedades
intrínsecas que afectan la forma cómo es utilizado y
cómo participa en un modelo:
 Función que describe la membrecía de los elementos del
conjunto difuso (lineal, triangular, trapezoidal, sigmoidal,
gaussiana, ...).
 Dimensión vertical (altura, normalización).
 Dimensión horizontal (dominio, umbral, conjunto válido y
universo de lectura )

Variables Lingüísticas
 Una variable lingüística puede tener uno o
más valores lingüísticos, que corresponden
a los nombres de las funciones de
membrecía (conjuntos difusos).
 Los valores lingüísticos, pueden ser
vistos como una forma de compresión de
datos, que se la conoce como granulación.

CONJUNTOS
DIFUSOS

Conjuntos Difusos
 Los conjuntos difusos relacionan un valor que
representa un miembro de un conjunto, a un
número entre 0 y 1 que indica el grado de
pertenencia () de ese miembro a dicho
conjunto.
 Un grado igual a 0 significa que el valor no está
contenido en el conjunto, mientras que un
grado igual a 1 implica que el valor es
totalmente representativo del conjunto.
 Estos dos extremos están unidos por una
función continua que representa una
transición gradual entre 0 y 1.

Conjuntos Difusos: Ejemplos
120 160 200
PESO EN LIBRAS
Pesados
0
1
x
(x)
Conjunto Válido
Universo de Lectura
Umbral
30 70 110
Temperatura en ºC
CONJUNTOS DIFUSOS
0
1
x
(x)
Universo de Lectura para Variable Temperatura
Fría Tibia Normal Caliente
LARGA
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 5 9 13 17 21 25
DURACIÓNDEL PROYECTO (Semanas)
GRADODEPERTENENCIA
Idea de un Proyecto de Larga Duración

OPERADORES DIFUSOS

Operadores Difusos
 Unión
 A  B = Max(A[x], B[x])
 Intersección
 A  B = Min(A[x], B[x])
 Complemento
 ~A = 1- A[x]
 Normalización
 Norm(A) = A[x]/ Max(A[x])

Aplicación de Operadores Difusos
A
Norm(A)
1
0
A ~A
1
0
A
B
1
0
A
B
A  B
1
0
A  B

Operadores Difusos
 Dilatación
 Dil(A) = (A[x])1/2
 Concentración
 Con(A) = (A[x])2
 Intensificación
Int (A)=
2*(A[x])2 0.0 < A[x]  0.5
1 – 2*(1 - A[x])2 0.5 < A[x]  1.0

Aplicación de Operadores Difusos
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
A
Con(A)
Dil(A) Int(A)

Calificadores Difusos
 Las variables lingüísticas pueden tener
asociados calificadores difusos que
cambian la forma de la función de
membrecía.
 Actúan de igual manera que los
adjetivos o adverbios: muy, bastante, más
o menos, algo, casi, alrededor de,
definitivamente, positivamente, ligeramente,
extremadamente, ...

Calificadores y Operaciones Difusas
Calificador OPERACIÓN
A y B A  B
A o B A  B
No (A) ~A
Muy (A) Con(A)
Ligeramente(A) Dil(A)
Más o Menos (A) Norm(Int(Dil(A))  No(A))
Razonablemente (A) Con(Norm(Dil(Con(A)  Int(Con(A)))
Cualquier Cosa Menos (A) Int(No(A))
Algo Como (A) Int(Dil(A))
Parecido a (A) Norm(Int(Dil(A))  Int(Dil(No(A)))
En Cierto Sentido (A) Norm(Int(A)  No(A))

Estructura de una Variable
Lingüística
Variable
Lingüística
Calificadores
Difusos
Conjuntos Difusos

LÓGICA DIFUSA

La Lógica Difusa
 Es la base para el desarrollo de una nueva
tecnología en el diseño de sistemas de
inteligencia artificial embebidos en las áreas
de procesos e ingeniería de control, con el
beneficio de:
 Reducción significativa del tiempo de desarrollo.
 Modelación de sistemas no-lineales muy complejos.
 Implantación de controles utilizando sensores y
circuitos integrados más baratos.
 Diseño e instalación de sistemas avanzados
empleando ingenieros de control antes que
científicos del control.

La Lógica Difusa
 Proporciona los medios para reducir y explicar la
complejidad de sistemas:
 Mucho de la complejidad está relacionada
con la forma en que las variables del sistema
son representadas y procesadas.
 Los humanos no razonamos en términos de
símbolos discretos y números, sino en
términos lógicos ambiguos, inciertos,
inexactos e imprecisos.

La Lógica Difusa
 Es un cálculo de compatibilidad.
 Trata de describir las características de
propiedades que tienen valores que
varían en forma continua asociando
particiones de estos valores con un
membrete semántico.
 Mucho del poder descriptivo de la lógica
difusa está asociado con el hecho de que
esas particiones semánticas pueden
traslaparse.

INFERENCIA Y
RAZONAMIENTO
DIFUSO

Inferencia Difusa
 Es un método que interpreta los valores de un
vector de entrada y, basado en un conjunto de
reglas, asigna valores al vector de salida.
Reglas
Interpretación
Asignación
Términos de
Entrada
Términos de
Salida

Reglas Difusas
 Las variables y la lógica difusa pueden ser utilizadas
en reglas difusas para hacer inferencias.
 El razonamiento en sistemas difusos, se realiza a
través de proposiciones (reglas):
 Los conjuntos difusos son los bloques constructivos
de las reglas difusas. En consecuencia, un sistema
difuso se puede considerar como una proyección o
función que transfiere alternativas de un espacio de
entrada a resultados en un espacio de salida.

Interpretación de Reglas Difusas
 La interpretación de las reglas difusas se realiza en
tres pasos:
1. Fusificar las entradas.- Resolver todas las proposiciones
difusas de los antecedentes a un grado de membrecía entre 0
y 1. Si sólo hay una parte en el antecedente, entonces este el
grado de contribución de la regla.
2. Aplicar operadores fuzzy a antecedentes múltiples.- Si
en el antecedente hay múltiples partes, entonces aplicar los
operadores difusos y resolver el antecedente a un solo valor
entre 0 y 1.
3. Aplicar el método de implicación.- Usar el grado de
contribución de la regla para conformar el conjunto difuso de
salida. Si el antecedente es parcialmente verdadero el
conjunto difuso de salida es truncado, de acuerdo al método
de implicación utilizado.

Interpretación de Reglas Difusas
 En los sistemas difusos, las reglas se ejecutan
en paralelo y todas contribuyen al resultado,
según su grado de veracidad.
 La salida de cada regla es un conjunto difuso.
 Los conjuntos difusos resultantes de todas las
reglas son agregados en un solo conjunto
difuso de salida.
 Finalmente, el conjunto resultante es
defusificado, es decir resuelto a un valor
numérico único.

Sistemas de Inferencia Difusa
 Para relacionar el vector de entrada dado
al vector de salida, el proceso de inferencia
difusa involucra funciones de membrecía,
operadores difusos y reglas difusas.
 Estas relaciones proporcionan la base para
tomar decisiones o identificar patrones.
 Hay dos tipos de sistemas de inferencia
difusa:
 El propuesto por Ebrahim Mamdani; y,
 El propuesto por Takagi, Sugeno y Kang.

Método de Mamdani
 Es el más común en la metodología de
desarrollo de sistemas difusos.
 El Método de Mamdani fue el primero
que se utilizó para construir sistemas de
control (1975), utilizando la teoría de
los conjuntos difusos propuesta por
Lotfi Zadeh en 1973.
 Se caracteriza por:
 Ser muy intuitivo;
 Tener una amplia aceptación; y,
 Ser adecuado para uso humano.

Método Sugeno
 Fue introducido por Takagi, Sugeno y Kang en
1985.
 Es similar en varios aspectos al método
propuesto por Mamdani, excepto porque las
funciones de membrecía de los valores
lingüísticos de las variables de salida tienen
forma de espiga (singleton spikes).
 Se caracteriza por:
 Ser computacionalmente más eficiente
 Tener superficie de salida continua, garantizada
 Trabajar muy bien con técnicas de control lineal
(PID), optimización y adaptación
 Ser adecuado para el análisis matemático.

Razonamiento Difuso
 Los tres conceptos que constituyen la base
del razonamiento difuso, son:
 Método de Implicación: Enlace funcional
entre el grado de veracidad en las regiones
difusas relacionadas por las proposiciones.
 Método de Agregación: Forma de combinar
las regiones difusas relacionadas.
 Método de Defusificación: Operación que
recibe el resultado de la agregación y
entrega un valor resultante esperado.

Razonamiento Difuso
 Métodos de Implicación
 Mínimo: Valor lingüístico de salida truncado
 Producto: Valor lingüístico de salida escalado
 Métodos de Agregación:
 Máximo: Max(A,B,C)= Max(A[x],B[x], c[x])
 Suma: R=(A[x], B[x], C[x], ...)
 OR Probabilístico:
ProbOR(A,B)=A[x]+B[x]-A[x].B[x]
 Métodos de Defusificación
 Centroide.
 Bisector.
 Media de Valores Máximos.
 Mayor de los Máximos.
 Menor de los Máximos

Metodología Para Desarrollo de
Sistemas Difusos
 Definir el modelo funcional y sus características operativas.
 Seleccionar las variables de entrada y salida del modelo.
 Definir las funciones de membrecía para cada valor difuso
de las variables de entrada y salida del modelo.
 Definir la Reglas Difusas: Establecer las relaciones entre
todos los valores difusos de las variables de entrada y
salida.
 Definir los métodos para los operadores difusos: AND y OR.
 Definir los métodos para el razonamiento difuso:
implicación, agregación y defusificación.
 Ejecutar la simulación del sistema,
 Refinar y validar el modelo.

EJEMPLOS DE
SISTEMAS
DIFUSOS: Fuzzy
Logic ToolBox de
MATLAB

Sistema Difuso: Ejemplo (1)
 Un sistema de control de temperatura
ambiental utiliza ventiladores. La variable
de entrada X, es la temperatura ambiental
y la de salida Y es la velocidad de los
ventiladores.
 Para la temperatura del ambiente se
escogen como valores lingüísticos: fría,
fresca, normal, abrigada, caliente.
 Para la velocidad de los ventiladores se
escogen los valores lingüísticos: mínima,
baja, media, alta, máxima.

Las Reglas Difusas del Ejemplo (1) son:
 Regla 1: Si la temperatura ambiente está fría
entonces la velocidad de los ventiladores es mínima.
 Regla 2: Si la temperatura ambiente está fresca
entonces la velocidad de los ventiladores es baja.
 Regla 3: Si la temperatura ambiente está normal
entonces la velocidad de los ventiladores es media.
 Regla 4: Si la temperatura ambiente está abrigada
entonces la velocidad de los ventiladores es alta.
 Regla 5: Si la temperatura ambiente está caliente
entonces la velocidad de los ventiladores es
máxima.

Conjuntos Difusos y Función de
Transferencia del Ejemplo (1)

Ejecución de las 5 Reglas Difusas del Ejemplo (1)

Ejemplo (2): Fijación de Precios
 Una empresa mantiene una política de fijación de
precios de uno de sus productos, basada en los
costos de producción y en el nivel de precios de su
principal competidor.
 El precio de venta al público debe estar alrededor
del doble del costo de producción y siempre debe
mantenerse cerca del precio del competidor.
 Si se conoce que el costo de producción del bien
es de USD $12,00 y el precio de venta del mismo
bien por parte del consumidor, es de USD $26,00,
desarrollar un sistema difuso para la fijación del
precio de venta, según la política establecida.

Sistema Difuso para Fijación de Precio
de Venta de un Producto

Sistema Difuso: Ejemplo (3)
 Una empresa desea determinar el precio de un
producto, en función de la oferta y demanda
estimada en cierto momento.
 Si la oferta y la demanda están balaceadas, el
precio debe ser el recomendado de venta al
público, pero si sube la demanda o baja la oferta, el
precio debe incrementarse hasta un 50% arriba de
su precio nominal; y, si la demanda baja o sube la
oferta, el precio puede ser reducido hasta el 50%
de su valor nominal.
 Las variables de oferta y demanda se considera que
varían entre el 50% y el 150% de lo que se conoce
como valores normales en el mercado.

Estructura del Sistema Difuso
Precio=f(Oferta,Demanda)
Regla 1:
Si Oferta Baja y Demanda Baja
Entonces Precio Nominal
Regla 2:
Si Oferta Baja y Demanda Normal
Entonces Precio Incrementado
Regla 3:
Si Oferta Baja y Demanda Alta
Entrada 1:
Oferta
Regla 4:
Si Oferta Normal y Demanda Baja
Entonces Precio Reducido
Regla 5:
Si Oferta Normal y Demanda Normal
Salida: Precio
Entrada 2:
Demanda
Regla 6:
Si Oferta Normal y Demanda Alta
Regla 7:
Si Oferta Alta y Demanda Baja
Regla 8:
Si Oferta Alta y Demanda Normal
Regla 9:
Si Oferta Alta y Demanda Alta
Σ

Ejemplo (3) Método Mamdani

Ejemplo (3) Método Sugeno

Aplicaciones de Sistemas Difusos
Categoría Ejemplos de Áreas de Aplicación
Control
Es la categoría en la que mayormente se desarrollan
aplicaciones
Reconocimiento de
Patrones
Imagen (OCR), audio y procesamiento de señales
Análisis
Cuantitativo
Investigación de operaciones, estadística y
administración
Inferencia
Sistemas expertos para diagnóstico, planeación y
predicción; procesamiento de lenguaje natural,
interfaces inteligentes, robots inteligentes, ingeniería
de software
Recuperación de
Información
Bases de datos
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Áreas de Aplicación
 Medicina
 Robótica
 Educación
 Transporte
 Agricultura
 Computación
 Automovilismo
 Telecomunicaciones
 Seguridad / Mantenimiento
 Electrónica para el Consumidor
 Administración y Gestión Empresarial
 Ingeniería: Financiera, Eléctrica, Química,
Mecánica, Civil, Ambiental, Geofísica, Nuclear,
Aeroespacial ...

SISTEMAS DE
INFERENCIA NEURO-
DIFUSOS ADAPTATIVOS
(ANFIS)

Sistema de Inferencia Difuso
 La estructura básica de un sistema de inferencia
difuso, es un modelo que:
1. Asocia características de variables de entrada a
conjuntos difusos.
2. Los conjuntos difusos de entrada son asociados a
reglas.
3. Las reglas se asocian a un conjunto de
características de salida.
4. Las características de salida a conjuntos difusos;
y,
5. Los conjuntos difusos de salida se relacionan a un
valor único, que corresponde a las salida del
sistema.

Sistema de Inferencia Difuso
 Como se pudo observar en los ejemplos
desarrollados en la sección anterior, las funciones
de membrecía de los conjuntos difusos fueron
inicialmente escogidas de manera arbitraria.
 La estructura de las reglas fue determinada por la
interpretación del diseñador de las características
de las variables del modelo.
 Luego, siguiendo un proceso experimental se
cambiaron los parámetros de las funciones de
membrecía, para modificar su forma e ir
configurando la función de transferencia deseada.

Aprendizaje Neuro-Difuso
 De la experiencia obtenida del diseño de sistemas
difusos se puede concluir que es muy difícil
discernir las funciones de membrecía que serían
más apropiadas modelar la función de
transferencia requerida, según la información
disponible.
 Para estos casos, si se dispone de un conjunto de
datos de entrada y las correspondientes salidas
deseadas, se puede utilizar un sistema de
inferencia neuro – difuso adaptativo (ANFIS),
para ajustar los parámetros de las funciones de
membrecía.

Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System
(ANFIS)
 MATLAB, como parte del Fuzzy Toolbox, ofrece la
función anfis, que puede se accedida a través de la
línea de comando o del Diseñador Neuro – Difuso.
 La función anfis construye un sistema de inferencia
difuso en el que los parámetros de las funciones de
membrecía son adaptados utilizando ya sea un
algoritmo de retropropagación sólo o combinado con
el método de mínimos cuadrados.
 La estructura del sistema de inferencia difuso es
similar al de una red neuronal, en la que los
parámetros asociados a las funciones de membrecía,
cambian a través de un proceso de aprendizaje.

Diseñador Neuro - Difuso
 Para iniciar la interfaz gráfica, se utiliza el
siguiente comando:
neuroFuzzyDesigner
 A través de la ventana del diseñador, se pueden
realizar las siguientes tareas:
1. Cargar, graficar y borrar datos
2. Generar o cargar la estructura inicial del Sistema
de Inferencia Difuso (FIS).
3. Entrenar el FIS
4. Validar el FIS entrenado.
 El diseñador neuro-difuso, trabaja con FIS tipo
Sugeno.

ANFIS-1: Datos Control de Temperatura
Ambiental con Ventiladores
 Datos para
Entrenamiento
 Datos para
Comprobación

ANFIS-1: Resultados Control de
Temperatura Ambiental con Ventiladores

ANFIS-2: Datos Fijación de Precios
 Datos para
Entrenamiento
 Datos para
Comprobación

ANFIS-2: Resultados Fijación de Precios

ANFIS-3: Datos Precio=f(Oferta,Demanda)
 Datos para
Entrenamiento
 Datos para
Comprobación

ANFIS-3: Resultados Precio=f(Oferta,Demanda)

ANFIS-4: Datos Predicción de Consumo de
Energía Eléctrica

ANFIS-4: Resultados Predicción de
Consumo de Energía Eléctrica

Conclusión
Lo natural no es
exacto, lo exacto
no es natural.
- Albert Einstein

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