Los ángulos verticales son aquellos formados por dos líneas imaginarias que parten del ojo del observador, llamadas línea horizontal y línea visual. Existen tres tipos principales de ángulos verticales: ángulo de elevación, cuando el objeto está por encima de la línea horizontal; ángulo de depresión, cuando está por debajo; y ángulo de observación, formado por dos líneas visuales que observan todo el objetivo. Estos ángulos se miden con un instrumento llamado teodolito y son importantes para resolver problemas relacionados con

3. • Son aquellos ángulos que se determinan en
un plano vertical, formados por dos líneas
imaginarias llamadas horizontal y visual, que
parten del ojo del observador.
• Los ángulos verticales se miden con un
instrumento llamado «teodolito».
ÁNGULOS VERTICALES

4. ÁNGULO DE ELEVACIÓN ÁNGULO DE DEPRESIÓN
Es el ángulo que se origina por la
línea horizontal y la línea visual,
cuando el objeto se encuentra por
encima de la línea horizontal.
línea horizontal
β
β: ángulo de elevación
Tierra o suelo
Es el ángulo que se origina por la
línea horizontal y la línea visual,
cuando el objeto se encuentra por
debajo de la línea horizontal.
línea horizontal
Tierra o suelo
θ
θ: ángulo de depresión

5. ÁNGULO DE OBSERVACIÓN
Un ángulo de observación es aquel ángulo formado por dos
líneas visuales que observan a todo el objetivo.
φ
φ: ángulo de observación

6. Observación
Para ciertos problemas, la altura
del observador se considera cero
(h = 0).
H
h
La altura del observador (h)
respecto a la altura del edificio
(H), es imperceptible.
Triángulos rectángulos notables
k 2k
3k 5k
4k
k
k
30°
60°
𝐤 𝟑
53°
37°
45°
45° 𝐤 𝟐

7. EJERCICIOS
1. Desde lo alto de un edificio de
24 𝟑 metros de altura, se observa
una piedra en el suelo con un
ángulo de depresión de 30°. ¿A qué
distancia de la base del edificio se
encuentra la piedra?
Solución:
24 𝟑
x
ctg 30° =
𝐱
𝟐𝟒 𝟑
→ 𝟑 =
𝐱
𝟐𝟒
x = 72 m.
2. Un observador divisa en lo lto de
un casa una bandera con un ángulo
de elevación de 37°si él se
encuentra a 20 m de la base de la
casa. Calcula la altura a la que se
encuentra la bandera
Solución:
x
20 m
tg 37° =
𝐱
𝟐𝟎
→ 𝟑
𝟒
=
𝐱
𝟐𝟎
x = 15 m.
30°
30°
37°

8. 3. Una persona de 1,50 m de estatura
observa la parte más alta de un árbol
con un ángulo de elevación de 60°. Si
la línea visual mide 32 m, calcula la
altura del árbol.
Solución:
x
1,50 1,50
sen 60° =
𝐱
𝟑𝟐
→
𝟑
𝟐
=
𝐱
𝟑𝟐
x = 𝟏𝟔 𝟑 m
La altura del árbol es: 𝟏𝟔 𝟑 + 𝟏, 𝟓𝟎 m.
4. Un asta de bandera está clavada
verticalmente en lo alto de un edificio y
a 12 m de distancia de la base de este se
encuentra un observador de altura
imperceptible. Si los ángulos de
elevación a la punta del asta y a la parte
superior del edificio son 60° y 30°,
respectivamente, calcula la longitud del
asta.
Solución:
x
a
12 m
tg30° =
𝐚
𝟏𝟐
→
𝟑
𝟑
=
𝒂
𝟏𝟐
→𝒂 = 𝟒 𝟑
tg60°=
𝐱+𝟒 𝟑
𝟏𝟐
→ 𝟑 =
𝒙+𝟒 𝟑
𝟏𝟐
→ 𝐱 = 𝟖 𝟑 m
60°
30°
edificio
asta
60°

9. 5. Una persona observa la parte más
alta de un edificio con un ángulo de
elevación de 45°. Si se acerca 3,4 m
el nuevo ángulo de elevación es 53°,
calcula la altura del edificio (altura
del observador es imperceptible).
Solución:
x =4k
tg 45° =
𝟑,𝟒+𝟑𝒌
𝟒𝒌
→𝟏 =
𝟑,𝟒+𝟑𝒌
𝟒𝒌
4k = 3,4 + 3k → k = 3,4
La altura del árbol es:
x = 4(34) =13,6 m.
6. Desde lo alto de un acantilado de 150
m de altura y sobre el nivel del mar se
observa un bote con un ángulo de
depresión de 37°, calcula la distancia que
se encuentra el bote de la base del
acantilado y la longitud de la línea visual.
Solución:
y 150 m
x
ctg 37° =
𝒙
𝟏𝟓𝟎
→
𝟒
𝟑
=
𝒙
𝟏𝟓𝟎
→𝐱 = 𝟐𝟎𝟎
csc 37°=
𝒚
𝟏𝟓𝟎
→
𝟓
𝟑
=
𝒚
𝟏𝟓𝟎
→ 𝐲 = 𝟐𝟓𝟎 m
45°
3,4 m
53°
3k
37°
37°

10. 7. Un observador ve un poste de luz
con un ángulo de 20°, desde un punto
situado a 50 m de este. Luego, se
sitúa a la mitad de esa distancia
calcula la altura del poste y la
tangente del nuevo ángulo de
elevación. (tg20° = 0,36)
Solución:
x
tg 20° =
𝒙
𝟓𝟎
→𝟎, 𝟑𝟔 =
𝒙
𝟓𝟎
x = 18
Luego: tgθ=
𝟏𝟖
𝟐𝟓
.
20°
50 m
θ
25 m25 m
8. Un observador ve la parte más alta
de un árbol con un ángulo de
elevación de 45°, luego se acerca 40
m al árbol y observa el mismo punto
con un ángulo de elevación de 60°.
Calcula la altura del árbol.
Solución:
x
tg 45° =
𝒙
𝟒𝟎+𝒂
→𝟏 =
𝒙
𝟒𝟎+𝒂
x = 40 + a … (I)
tg60°=
𝒙
𝒂
→ 𝟑 =
𝒙
𝒂
→ 𝟑𝒂 = 𝒙… (II)
De (I) y (II): x = 𝟐𝟎 𝟑 + 𝟏 𝒎
45°
a40 m
60°