Este documento presenta conceptos matemáticos relacionados con ángulos verticales como el ángulo de elevación y depresión. Explica cómo calcular la longitud de una sombra o la distancia a un objeto observado usando triángulos rectángulos y funciones trigonométricas. Incluye ejemplos resueltos de problemas que involucran ángulos verticales y tres actividades para practicar estos conceptos.

1. MATEMÁTICA Profesora: Carranza Rubio, Esther Ofalia. PROBLEMAS SOBRE ÁNGULOS VERTICALES

2. El área de Matemática permite que el estudiante se enfrente a situaciones problemáticas, vinculadas o no a un contexto real, con una actitud crítica. Es decir, se debe enseñar a usar la matemática; esta afirmación es cierta por las características que presenta la labor matemática en donde la lógica y la rigurosidad permiten desarrollar un pensamiento crítico. FUNDAMENTACIÓN

3. MATEMÁTICA PARA LA VIDA VALOR FORMATIVO , dado que promueve el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes. VALOR SOCIAL , como medio de comunicación. VALOR INSTRUMENTAL , dado que provee al estudiante de capacidades, habilidades y destrezas que se traducen en el manejo preciso y eficaz de procesos operativos

4. ÁNGULO DE ELEVACIÓN. Es el ángulo vertical formado por la línea horizontal y la línea de mira que pasa por el punto de observación. El punto observado está por encima de la horizontal. ÁNGULOS VERTICALES Línea de mira Horizontal

5. Hallamos la longitud de la sombra de un edificio de 14 m de altura, si el ángulo de elevación de los rayos del sol sobre el horizonte es 17°. Solución: Los rayos del sol con la horizontal forman una ángulo de elevación de 17°. Se ha formado el triangulo rectángulo AQP donde se conoce la medida de un ángulo agudo y del cateto opuesto. Calculamos el cateto adyacente, AQ = x: AQ = 14 ctg 17° = 45,79 m. EJEMPLO Respuesta: La sombra del edificio mide 45, 79 m. 14 m 17° x A Q P

6. ANGULO DE DEPRESIÓN. Es el ángulo vertical formado por la línea horizontal y la línea de mira que pasa por el punto de observación. El punto observado esta por debajo de la horizontal. Línea de mira Horizontal

7. EJEMPLO En lo alto de una acantilado de 200 m de altura sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión con que se observa un barco es 15°. ¿A qué distancia se encuentra el barco? Solución: Por alternos internos entre paralelas: < APB = < PBQ = 15° En el triangulo rectángulo PQB: x = 2OO ctg 15° x = 746,41 Respuesta: El barco se encuentra a 746, 41 m del acantilado. A P B Q 15° B = 15° ángulo de depresión

8. 1. Los ojos de un jugador de baloncesto están a 1,8 metros del piso. El jugador está en la línea de tiro libre a 4,6 metros del centro del aro de la canasta. El aro está a 3 metros del piso. ¿Cuál es el ángulo de elevación de los ojos del jugador al centro del aro? ACTIVIDADES

9. 2. Un depósito de agua está a 100 metros de un edifico. Desde una ventana del edificio se observa que el ángulo de elevación hasta la parte superior del deposito es de 40° y el ángulo de depresión a la parte inferior es de 20°. ¿Cuál es la altura del deposito?

10. 3. La torre Eiffel fue terminada el año 1889. Encuentra la altura de la torre Eiffel (sin considerar la antena instalada en la parte superior) usando la información dada en la figura adjunta.