Este documento presenta conceptos sobre extremos de funciones como máximos, mínimos y puntos críticos. Explica cómo determinar los extremos de una función continua en un intervalo cerrado mediante la evaluación de la función y sus puntos críticos en el intervalo y en los puntos finales. También incluye un ejemplo para ilustrar el procedimiento.

1. 1
Mat. Angela Alvarez de NievesMat. Angela Alvarez de Nieves

2. 2
ContenidoContenido
Extremos de una función.
Funciones crecientes y decrecientes. Máximos
y mínimos relativos
Concavidad. Punto de inflexión
Problema 1.
Problema 2.
Actividad grupal
Mat. Angela Alvarez de NievesMat. Angela Alvarez de Nieves

3. 3
Extremos de una funciónExtremos de una función
Sea f una función definida en un intervalo I que contiene a
c.
 f ( c ) es el mínimo de f en I si f (c) ≤ f ( x ) para todo x
en I.
 f ( c ) es el máximo de f en I si f (c ) ≥ f (x) para todo x
en I.
Mat. Angela Alvarez de NievesMat. Angela Alvarez de Nieves

4. 4
Punto críticoPunto crítico
Sea f definida en c. si f ´( c) = 0 o si f ´( c)
no existe, entonces c es un punto crítico
de f.
Mat. Angela Alvarez de NievesMat. Angela Alvarez de Nieves

5. 5
¿Cómo determinar los extremos de una¿Cómo determinar los extremos de una
función continua en un intervalo cerrado?función continua en un intervalo cerrado?
Para determinar los extremos de una función continua f
en un intervalo cerrado [a, b], se sigue los siguientes
pasos:
 Encontrar los puntos críticos de f en el intervalo
abierto (a, b).
 Evaluar la función f en cada punto crítico en (a, b).
 Evaluar la función f en los puntos x = a, x = b.
 El menor de estos valores de f es el mínimo. El
mayor de los mismos es el máximo.
Mat. Angela Alvarez de NievesMat. Angela Alvarez de Nieves

6. 6
Ejemplo 1Ejemplo 1
Determinar los extremos de
f (x) = 3x4
– 4x3
– 12x2
+ 5
en [-2, 4]
Solución
 Puntos críticos de f en (-2, 4)
– f ´(x) = 12x3
-12x2
– 24x
– Valores de x tales que f ´(x ) = 0
– f ´(x) = 0 ⇔ 12x3
-12x2
– 24x = 0
x = 0, x = -1, x = 2
Mat. Angela Alvarez de NievesMat. Angela Alvarez de Nieves

7. 6
Ejemplo 1Ejemplo 1
Determinar los extremos de
f (x) = 3x4
– 4x3
– 12x2
+ 5
en [-2, 4]
Solución
 Puntos críticos de f en (-2, 4)
– f ´(x) = 12x3
-12x2
– 24x
– Valores de x tales que f ´(x ) = 0
– f ´(x) = 0 ⇔ 12x3
-12x2
– 24x = 0
x = 0, x = -1, x = 2
Mat. Angela Alvarez de NievesMat. Angela Alvarez de Nieves