El documento describe los espacios vectoriales Rn, donde cada elemento es una n-tupla de números reales. Define vectores renglón y columna, y explica que un vector tiene componentes ordenadas y que el orden es importante. También provee ejemplos de vectores renglón y columna, y explica que dos vectores son iguales solo si tienen el mismo número de componentes y sus componentes correspondientes son iguales.

1. ESPACIO VECTORIAL Rn<br />(n veces)El conjunto Rn es el producto cartesiano de R consigo mismo n veces; es decir que:<br />Rn = R x R x … x R = {(x1, x2, … , xn) / xi R, i = }<br />Consecuentemente, un elemento a de Rn es una n – upla ordenada:<br />(x1, x2, … , xn), donde x1, x2, … , xn son números reales. Escribiremos:<br />a = (x1, x2, … , xn) y diremos que a es un punto de Rn.<br />Observación.- <br />Si n = 1, Rn = R, en este caso los elemento de R es todo número real x.<br />Si n = 2, Rn = R2, todo elemento de R2 es un par ordenado de números reales:(x , y):<br />R2 = {(x, y) / x, y R}<br />Se tiene por ejemplo que:<br />( 5, 7) R2 (0, 0) R2<br />(-1, 0) R2(1, 0) R2<br />Si n = 3: Rn = R3 y todo elemento de R3 es una terna de números reales; es decir que: <br />R3 = {(x, y, z) / x, y, z R}<br />Elementos de R3 son por ejemplo los siguientes:<br />(1, 0, -2)(0, 0, 0)(0, 1, 0)<br />()(1, 0, 0)(0, 0, 1)<br />VECTOR RENGLON DE n COMPONETES.- Definimos a un vector renglón de n componentes (o n - dimensional) como un conjunto ordenado de n números escrito como<br />(x1, x2, … , xn)(1)<br />VECTOR COLUMNA DE n COMPONENTES.- Un vector columna de n – componentes (o n - dimensional) es un conjunto ordenado de n números escrito como<br />(2)<br />En (1) o en (2), x1 se llama la primera componente del vector, x2 es la segunda componente, y así sucesivamente. En general xk es la k – ésima componente del vector.<br />Cualquier vector con todas sus componentes iguales a cero se llama vector cero. <br />Ejemplo 1. Los siguientes son ejemplos de vectores:<br />( 3 , 6 ) es un vector renglón con dos componentes.<br />es un vector columna con tres componentes.<br />( 3 , 6, -1, 0 ) es un vector renglón con cuatro componentes<br />es un vector columna con cinco componentes y un vector cero.<br />Advertencia. En la definición de vector, la palabra “ordenado” es esencial. Dos vectores con las mismas componentes escritas en diferente orden no son los mismos. Así por ejemplo, los vectores renglón ( 1 , 2 ) y ( 2 , 1 ) no son iguales.<br />De aquí en adelante denotaremos los vectores con letras minúsculas en tipo negro como u, v, a, b, c, etc. El vector cero se denota por 0.<br />Los vectores surgen de diferentes maneras. Supongamos que el comprador de una planta manufacturera debe ordenar cantidades diferentes de acero, aluminio, aceite y papel. Puede anotar las cantidades ordenadas con un simple vector. El vector indica que se han ordenado 10 unidades de acero, 30 de aluminio, y así sucesivamente.<br />Observación. Aquí vemos porque es importante el orden en el que son escritas las componentes de un vector. Es claro que los vectores y significan cosas muy diferentes para el comprador.<br />Ahora describiremos algunas propiedades de los vectores. Como seria repetitivo para vectores renglón y después para vectores columna, daremos todas las definiciones en términos de vectores columna. Las definiciones para los vectores renglón son similares.<br />Las componentes de todos los vectores en este texto son números reales. Usamos el símbolo Rn para denotar todos los n – vectores , donde cada aj es un número real.<br />IGUALDAD DE VECTORES. Dos vectores renglón (o columna) a y b son iguales si y solo si tiene el mismo número de componentes y sus componentes correspondientes son iguales. En símbolos, los vectores a = y b = son iguales si y solo si a1 = b1, a2 = b2, …, an = bn.<br />