El documento contiene varios problemas matemáticos de álgebra y geometría de diferentes niveles educativos. En el primer problema se calcula el valor de un ángulo en un triángulo. En el segundo problema se resuelve una expresión algebraica. En el tercer problema se suma los dígitos de un número.

1. Problemas de la 5ª semana
2º ESO
1º-) Calcular xº en la figura
D
5xº
A C E G
3xº 2xº
6xº
4xº F
B
Solución: En el triángulo ABC → C = 180º - 7xº
En el triángulo CDE → E = 180º - (180º - 7xº) -5xº = 2xº
En el triángulo EFG → 2xº + 2xº + 6xº = 180º → xº = 18º
2º-) Si 2=
b
a
, calcula 22
16
4
ba
ba
+⋅
⋅⋅
Solución:
65
8
1416
24
116
4
16
4
16
4
2
2
2
2
2
2
22
=
+⋅
⋅
=
+











⋅
=
+
=
+
b
a
b
a
b
b
b
a
b
ab
ba
ab
3º-) Encuentra la suma de los dígitos del número 102003
- 101003
Solución:
( )









 =⋅=−=−
44 344 21 KKK4434421 KKK
44 344 21 KKK
cerostresnueves
nueves
10031000100310032003
000009999
9999910110101010
milmil
mil
Las cifras suman 9.000
4º ESO
1º-) Calcular el valor de 1021110211 −++
Solución:
40401822812224012121021110211
1021110211Ncuadradoalelevemos1021110211
22
2
2
=⇒=+=+=⇒−+−++=
⇒



 −++=⇒−++=
NNN
NSea

2. 2º-) Calcular el radio del semicírculo
B
3
A
3
2 r
D (4 –r) O r C
Solución: Los triángulos OAB y OBC son iguales: tienen un cateto
igual a r y la hipotenusa común, luego AB = BC = 3 → DA = 2 y DO = 4 –r.
Aplicando Pitágoras al triángulo OAD → (4 – r)2
= 22
+ r2
→ resolviendo →
→ r = 1,5
3º-) Sea la sucesión definida por a1 = 4 ; an+1 = an + 4n.
Calcular a1000.
Solución:
a1 = 4
a2 = a1 + 4 = 4 + 4 = 8
a3 = a2 + 8 = 4 + 4 + 4·2
a4 = a3 + 12 = 4 + 4 + 4·2 + 4·3
a5 = a4 + 16 = 4 + 4 +4·2 + 4·3 + 4·4
.
.
.
a1000 = 4 + 4·1 + 4·2 + 4·3 + 4·4 + …………………. 4·999
a1000 = 4 + 4·(1 + 2 + 3 + 4 +…………………..999) =
= 004.998.199950044999
2
9991
44 =⋅⋅+=⋅




 +
⋅+
Bachillerato
1º-) Calcular el menor número natural que dividido por 5, 6 y 7 da
sucesivamente por restos 4, 5 y 6.
Solución: Sea N el número, entonces verifica:










+=
+=
+=
67
56
45
cN
bN
aN
→










=−
=−
=−
cN
bN
aN
76
65
54
→










+=−
+=−
=−
274
164
54
&
&
&
N
N
N
2056558514437302316927
205433731251913716
205302520151055
KKKKKK&
KKKKKK&
KKKKKK&
→→→→→→→→→=+
→→→→→→→=+
→→→→→→=
Luego N – 4 = 205 → N = 209

3. 2º-) Resolver en Z la ecuación (x2
+ y)·(x + y2
) = (x + y)3
Solución: Desarrollamos la ecuación
( )
( )
( )
( )
251141157
751145211
3
8
3
3
13
133
03310;0
0,0
,00
0331
033
33
2222
32233223
=→−==→−==→==→=
=→==→=−=→=−=→=
−
+=
−
−
=⇒−=−
=−−+⇒≠≠
=→⇒=⇒=
=→⇒=⇒=
=−−+⋅
=−−+
+++=+++
yxSiyxSiyxSiyxSi
yxSiyxSiyxSiyxSi
xx
x
yxxy
yxxyyxSi
ZkkZxySi
ZkkZyxSi
yxxyxy
xyyxxyyx
yxyyxxyxyyxx
3º-) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 15 cm y 20 cm.
Determina la distancia del centro del círculo inscrito a la altura correspondiente
a la hipotenusa.
Solución: Calculamos la hipotenusa 256252015 22
==+=CD
La figura OMEH es un cuadrado de lado r → CM = 15 – r → HD = 20 - r
Llamamos CF = x ; FD = 25 – x → ( )22222
252015 xxEF −−=−=
Operando x = 9.
Los triángulos OCM y OCG son rectángulos e iguales → CG = 15 – r
Los triángulos OHD y OGD son rectángulos e iguales → GD = 20 – r
Luego CG + GD = 25 → 15 – r + 20 – r = 25 → r = 5
CG = 15 – 5 = 10 → CF = 9 → distancia = CG – CF = 1