El documento presenta varios problemas de matemáticas resueltos. Explica conceptos como divisibilidad, numeración en diferentes bases, regla de tres simple, interés simple, estadística, combinatoria y probabilidades. Resuelve problemas aplicando estas nociones, como calcular el mayor número divisible por 3 y 25, determinar un valor de base n, calcular una cantidad de obreros incorporados y una suma prestada.

1. SOLUCIONARIO ARITMÉTICA UNAC 2018-2
PIZARRA MATEMÁTICA
EUDOXO†
December 28, 2018
†
mateasesor86@gmail.com
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2. DIVISIBILIDAD
PROPIEDAD
N=
{
˚a
˚b
−→ N =
˚
MCD(a, b)
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 7
§
¦
¤
¥
abcdef = ˚7 ←→ f + 3e + 2d − c − 3b − 2a = ˚7
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3. PROBLEMA 01
Calcule el mayor numero de cuatro cifras que sea divisible por 3 y 25.
Dar como respuesta el residuo que deja al dividir entre 7
SOLUCIÓN
Sea N el número buscado. Luego
N =
{
˚3
˚25
−→ N =
˚
MCD(3, 25) = ˚75 = 75k
Donde k ∈ Z+ luego:
75k 10000
k
10000
75
k 133, 333 · · · −→ k = 133
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4. Por tanto el número buscado es 75(133) = 9975
Como nos piden el residuo que deja dividir 9975 entre 7, usamos el
criterio por 7 al número 9975
5(1) + 7(3) + 2(9) − 1(9) = 35 = ˚7
Por tanto si dividimos 9975 entre 7 residuo es 0
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5. NUMERACIÓN
PROPIEDAD (NUMERAL EN CIFRAS MÁXIMAS)
En la base n un numeral está escrito en cifras máximas cuando todas
sus cifras son una unidad menos que la base, es decir todas sus
cifras son (n − 1). Si este numeral tiene k cifras se le pasa a base 10,
mediante la siguiente propiedad:
(n − 1)(n − 1) · · · (n − 1)
k cifras
(n) = nk − 1
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6. PROBLEMA 02
El mayor número de tres cifras del sistema de base n se escribe en el
sistema senario como 2211. Halle el valor de n.
SOLUCIÓN
(n − 1)(n − 1)(n − 1)(n) = 2211(6)
n3
− 1 = 2(6)3
+ 2(6)2
+ 1(6) + 1
n3
− 1 = 2(216) + 2(36) + 6 + 1
n3
− 1 = 432 + 72 + 6 + 1
n3
− 1 = 511
n3
= 512 = 83
−→ n = 8
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7. REGLA DE TRES SIMPLE
PROBLEMA 03
En 18 días, 28 obreros terminan una obra. Después de 8 días de
iniciada la obra e incorporó cierta cantidad de obreros doblemente
hábiles que los anteriores. Terminando la obra tres dÍas antes de lo
planificado. Determine la cantidad de obreros que se incorporaron.
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8. SOLUCIÓN
Consideremos que la eficiencia de un obrero ”normal” es 1, por tanto
un obrero ”especial” cuya eficiencia sea el doble tendrá 2 de
eficiencia, Ahora plantiemos los datos del problema en una tabla.
Obra obreros días
total 28 18
primera parte 28 8
segunda parte 28+2x 7
Se tiene que:
§
¦
¤
¥obreros IP días
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9. Total
28×18
= primera parte
28×8
+ segunda parte
(28+2x)×7
28 × 18 − 28 × 8 = (28 + 2x) × 7
b
4
28 × 10 = (28 + 2x) × ¡¡!
1
7
40 = 28 + 2x
12 = 2x
12
2
= x −→ x = 6
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10. INTERÉS SIMPLE
INTERÉS SIMPLE
El interes I producido por cierto capital C a una cierta tasa de interés
r⁒ impuesto durante un cierto tiempo t es dado por la siguiente
fórmula
§
¦
¤
¥I=C r ⁒ t
En los problemas de interés simple se considera el mes comercial (30
días) y el año comercial (360 días)
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11. PROBLEMA 04
Por un dinero que recibí en préstamo al
1
6
⁒ mensual (interés simple) y
que devolví a los 100 días, tuve que pagar de interés S/. 200. ¿Cuál
fue la suma prestada en soles?
SOLUCIÓN
Reconocemos los datos:
◦ EL interés es 200 (I = 200)
◦ La tasa porcentual es r⁒ =
1
6
⁒ mensual =
1
600
mensual
◦ Por tanto el tiempo que está en dïas debe expresare en meses
t =
¨¨100
30
=
10
3
mes
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12. Reemplazamos los datos en la fórmula del interés y hallamos el
capital.
I = C r ⁒ t
200 = C(
1
60¡0
)(
10
3
)
200 = C(
1
180
)
200(180) = C −→ C = 36000
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13. ESTADÍSTICA
PROBLEMA 05
En la siguiente tabla de distribución de frecuencia, la moda es 33 y la
mediana 33,5. Halle el valor de (x + y)
Ii fi
[5, 15⟩ x
[15, 25⟩ 2y
[25, 35⟩ 10
[35, 45⟩ 3y
[45, 55⟩ 2x
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14. SOLUCIÓN
Como tenemos de dato el valor de la mediana conviene completar la
tabla de distribución de frecuencia con la columna correspondiente a
la frecuencia absoluta acumulada Fi
Ii fi Fi
[5, 15⟩ x x
[15, 25⟩ 2y x + 2y
[25, 35⟩ 10 x + 2y + 10
[35, 45⟩ 3y x + 5y + 10
[45, 55⟩ 2x 3x + 5y + 10
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15. Por dato mo = 33, pero 33 ∈ ⟨25, 35⟩ (este intervalo es la clase
modal). Se sigue que:
33 = 25 + 10
(
10 − 2y
(10 − 2y) + (10 − 3y)
)
33 − 25 = 10
(
10 − 2y
20 − 5y
)
¡¡!
4
8 = b
5
10
(
10 − 2y
20 − 5y
)
4(20 − 5y) = 5(10 − 2y)
80 − 20y = 50 − 10y
80 − 50 = 20y − 10y
30 = 10y −→ 3 = y
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16. También por dato me = 33, 5,pero 33 ∈ ⟨25, 35⟩ (este intervalo es la
clase mediana). Se sigue que:
33, 5 = 25 +10




(
3x + 25
2
)
− (x + 6)
10




33, 5 − 25 =
(
3x + 25
2
)
− (x + 6)
2(8, 5) = 2
(
3x + 25
2
)
− 2(x + 6)
17 = 3x + 25 − 2x − 12
17 = x + 13
17 − 13 = x −→ x = 4
Por tanto x + y = 4 + 3 = 7
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17. ANÁLISIS COMBINATORIO
NÚMERO COMBINATORIO
La cantidad de formas en que podemos seleccionar k elementos de
un total de n elementos es dada por
(
n
k
)
=
n!
(n − k)! k!
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18. PROBLEMA 06
Un grupo de 9 turistas llegan a un hotel y encuentran disponibles una
habitación triple y tres habitaciones dobles. ¿De cuántas formas
diferentes podrán ocupar las habitaciones?
SOLUCIÓN
(
9
3
)
·
(
6
2
)
·
(
4
2
)
·
(
2
2
)
=
9!
6! 3!
×
6!
4! 2!
·
4!
2! 2!
· 1
=
6!(7)(8)(9)
6!(1)(2)(3)
·
dd4!(5)(6)
dd4!(1)(2)
·
2!(3)(4)
2!(1)(2)
· 1
= 7560
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19. PROBABILIDADES
PROBLEMA 07
En la sala de pediatría de un hospital el 70 ⁒ de los pacientes son
varones, de estos el 42 ⁒ son menores de 3 años, y el 30 ⁒ de las
niñas son menores de 3 años. Una pediatra que ingresa a la sala
selecciona un infante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que este
tenga 3 o más años?
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20. SOLUCIÓN
Considere que hay 1000 niños en total.
hombres
70 ⁒ 1000
= 700 mujeres = 300
edades 3 años 42 ⁒700 = 294 30 ⁒ 300 = 90
edades ≥ 3 años 406 210
Por lo tanto:
P[edades ≥ 3 años] =
406 + 210
1000
=
616
1000
= 0, 616
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