1) El documento presenta las ecuaciones para calcular el diferencial total de una función F(x,y) y expresa los términos de la integral doble como funciones M(x,y) y N(x,y). 2) También presenta ejemplos de aplicar estas ecuaciones para calcular M(x,y), N(x,y) y evaluar la integral doble en varios casos. 3) El documento concluye expresando la integral doble como una integral de una variable después de sustituir los términos M(x,y) y N(x,y

1. d F x, y
F
dx
x
F
dx
x
F
dy
y
1
F
dy 0
y
2
M x, y dx N x, y dy
0
3

2. M x, y dx N x, y dy
F x, y
F
x, y
x
d F x, y
M x, y
and
F
dx
x
F
dy
y
d F x, y
c
F
x, y
y
M x, y dx N x, y dy
N x, y

3. d F x, y
d
M
y
1 3 3
x y
3
2
3x y
x2 y3 dx x3 y 2 dy
2
N
x

4. M
y
N
x
4
M x, y dx N x, y dy
M x, y dx N x, y dy
F
dx
x
F
dy
y

5. M
y
F
x
y
y
F
x
N
x
x
x
and
F
y
2
F
y x
M
y
N
x
F
y

6. M x, y dx N x, y dy
M
y
F x, y
F
y
N
x
M x, y dx
y
M x, y dx
g y
g y
5
6
0

7. M x, y dx N x, y dy
M
y
N
x
0

8. 2 x y dx
M x, y
M
y
2 x y and N x, y
N
x
2 x y dx
2y x dx
0
x2 1
M
y
2x
N
x
yx 2
1dy
M x, y dx
N x, y
2x ,
x 2 1 dy
y
x2 1
yx2
y
c
y
c
1 x2
on
, 1
1,1
1,

9. F
x
M x, y
F x, y
F
y
2x y
M x, y dx
y
M x, y dx
g y
g y
y
yx2
x2
g y
x2 1 x2
g y
F
y
g y
F
y
N x, y
yx2
2x y dx g y
N x, y
x2
F
y
and
g y
g y
g y
g y
y
yx2
y
c
x2
g y
1

10. e2 y
M x, y
e2 y
M
y
N
x
M x, y dx
N x, y
e2 y
2 x e2 y
y cos xy
2 x e2 y
and N x, y
2e2 y cos xy
2e2 y
2 x e2 y
y cos xy dx
cos xy
y cos xy dx
xy sin xy ,
x cos xy
2y
x e2 y
sin xy
sin xy
2y dy
y2
c
x cos xy
M
y
xy sin xy
x e2 y
x cos xy
y2
2 y dy
2y
N
x
0

11. F
x
e2 y
F x, y
F
y
e2 y
M x, y
y
xe2 y
y cos xy
y cos xy
sin xy
x e2 y
dx g y
g y
F
y
2 x e2 y
N x, y
2 x e2 y
x cos xy
2y
2 x e2 y
x cos xy
sin xy
g y
x cos xy
2 x e2 y
x cos xy
g y
g y
g y
g y
x e2 y
g y
2y
y2
sin xy
y2
c

12. xy 2
y
cos x sin x
y 1 x
y 1 x 2 dy
xy 2
cos x sin x
M
y
M x, y dx
N x, y
2 xy
cos x sin x xy
y 1 x
2
,
y 0
cos x sin x xy 2 dx
cos x sin x dx
M x, y
2
xy 2 and N x, y
2
cos2 x
2
dx
y dy
y2
2
y 1 x 2 dy
y 1 x2
N
x
x2 y 2
2
2
0

13. cos2 x
2
x2 y 2
2
y2
2
y2
1 x2
2
c
y 2 1 x2
y
cos 2 x
y 2 1 x2
c
c cos 2 x
2
y 0
cos2 x
2
1 x2
2
c 3
cos 2 x
3
c

14. M x, y dx N x, y dy
x, y M x, y dx
y
x, y N x, y dy
x, y M x, y
M
y
M
y
x
N
x
0
0
x, y N x, y
N
x
3
7

15. or
M
y
N
x
N
x
d
dx
My
d
dy
Nx
M
y
Nx
N
My
M
8

16. My
Nx
N
x
Nx
e
M y Nx
dx
N
9
e
Nx M y
dy
M
10
My
M
y

17. M x, y
xy
and
M
y
My
Nx
Nx
My
Nx M y
dy
M
3y2
20
4x
x 4x
2 x2
M
e
N
x
x
N
y
2x2
N x, y
3y2
4x x
xy
e
3
dy
y
20
3
y
e3ln y
y3

18. x y 4 dx
2 x2 y3
3 y5
x y4
M
M
y
4
M dx
N
x y dx
2 3
2x y
3y
5
20 y 3 dy
0
and
N
2 x 2 y3 3 y5
N
4x y3
x
x2 y 4
2
20 y
3
3y
x2 y 4
2
y1
1
x2 y 4
2
y6
2
y6
2
5
20 y
5 y4
3
dy
4
5 y4
c
1 1
5 c
2 2
5 y4
y6
2
c
4
20 y3

19. M x, y
4 xy 2
x2
3y
My
My
Nx
8 xy 3
4 xy 1
2 x2 y
N
x
e
x
M y Nx
dx
N
2 x4 y
x3 dy
and
N x, y
8 xy 3
Nx
2 2 xy 1
x 2 xy 1
e
2
dx
x
4 x3 y 2
2 x2 y
x
4 xy 1
2
x
x2
x4
3 yx 2 dx
0

20. 4 x3 y 2
M
x4
3 yx2
M
M dx
N
4x y
x
4
N
N
8 x3 y 3 x 2
y
3 2
and
3 yx
2
dx
2 4
x y
x
x5
5
x3 y
2x4 y x3
2 4
x y
x5
5
x3 y
c
2 x4 y x3