El documento presenta la solución de dos ecuaciones diferenciales ordinarias. La primera ecuación diferencial es de variables separables y su solución es x - x + y + e^k. La segunda ecuación diferencial es reducible a variables separables mediante la sustitución z = x + y, y su solución es x = tan(z) + sec(z) + C.

1. Ordinarias de variable separable:
 2 2   2 2

xy  y  x  1 dx  x y  2 xy  x  2 y  2 x  2 dy

0
Solución
:
xy y x dx x y xy x y x dy agrupando
 2 2   2 2

         
1 2 2 2 2 0 ,
2 2
         
 y x   x   dx   x y   x y   y   dy

1 1 1 2 1 2 1 0
     
 
2 2
y x dx x x y dy separando las variables
x
      
  
1 1 2 2 1 0 ,
1
dx y 1
dy
 
0 ,

2 2
integrando ambos miembros
x x y
  
 
2 2 1
1 1
2 2 1
1
2 2 1 1
   
x dx y dy
C
 
 
2 2
x  x  y

 x 

dx ydy dy
x x y y
 
  
2 2 2
   
 
x dx ydy dy
1 2 
1 1 2
2 2 2 2 1 1
1 2 2 1 2
  
  
2 2 2
   

 
  
  
2 2 2
,
2 2 2 2 1 1
C
x x y y
x dx ydy dy
C
x x y y
   
1 1
ln 2 2 ln 1 tan
2 2
1
ln 2 2 1 tan
2
ln 2 2 1 2 tan
2 2
     
  
  
  
  
2 2
      
 
 2   2
   
 
 2   2
   
 
   
ln 2 2 1 2 tan , levantando
2 2 2 tan
2 2 1 .
arc y
de donde tenemos
x x y arc y C
x x y arc y C
x x y arc y C
x x y C arc y el logaritmo
x x y k e
De dond

:
e se tiene
   2 2 2 tan
2 2 1 arc y
x  x  y  e  k
Ordinarias reducibles a variable separable:

2.  
  
sin 1
 
  
 
 
 
:
sin 1
:
1
1
1
:
1 sin
:
1 sin
:
1 sin
dy
x y
dx
Solución
dy
x y
dx
Haciendo la sustitución
z x y
dz dy
dx dx
dy dz
dx dx
Sustituyendo en la ecuación diferencial
dz
z
dx
Separando variables
dz
dx
z
Integrando
dz
dx
z
  
 
 
 



 
 
 
 
 
 
 
2
 
 
 
2 2
 
 
 
 
   
 
      
 
 
2
2
 2
     
1 sin
, :
1 sin
1 sin
1 sin 1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
cos
1 sin
cos cos
1 1 sin
cos cos cos
sec sec . tan
z
multiplicando por
z
dz z
dx
z z
z

 
dx dz
z
z
 
dx dz
z
z
 
dx dz
z z
z
 
dx dz
z z z
dx z z z dz
dx



 
 





 
     
 
 
      
 
 
2 sec sec . tan
z dz z z dz
 
 
   
x  tan z  sec
z 
C
Regresando a la variable x
:
x x y x y C
   
 tan   1  sec   1
