Este documento presenta información sobre sucesiones y progresiones. Define una sucesión como una lista ordenada de números reales donde cada elemento se llama término. Explica que una progresión aritmética es una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior, mientras que en una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón fija. Además, proporciona fórmulas para calcular el término general, la suma y otros conceptos relacionados con sucesiones y progres

1. Jesús Brito C.I.27.001.066
León Rafael C.I.26.823.396
Febrero, 2017.
UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO MONAGAS
MATEMATICA I
SECCION 41
Prof.: Milagros Coraspe.

2. Intuitivamente podemos describir una sucesión como una lista de objetos,
eventos o números que vienen uno después del otro, es decir, una lista de
cosas dadas en algún orden definido. Cada objeto de una sucesión se llama
término.
El presente trabajo se realiza con el fin de estudiar las sucesiones, límites y
determinar de que clase son, igualmente para tener claro su definición y
como se debe aplicar el desarrollo de cada uno en cada ejercicio. La
elaboración de la actividad aumenta nuestra capacidad de razonamiento, y
nos enseña como se deben emplear deforma adecuada las fórmulas, a
establecer similitudes y reconocer diferencias. Además, el calculo diferencial
se lo puede trabajar para desarrollar tareas los cuales impliquen datos
relacionados con el crecimiento de la población, y así nos puede llegar
demostrar el aumento del consumo de energía o porque no el incremento de
un capital en función de tiempo, en la administración y en una infinidad de
áreas.

3.  Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales:
a1, a2, a3, a4, a5, a6, ...
 Cada elemento de la sucesión se llama término de la sucesión. Para
designarlos se emplean subíndices. Los términos de las sucesiones
se pueden determinar a partir de cierto criterio, este criterio se
denomina regla de formación.
 El término general de una sucesión es el que ocupa un lugar
cualquiera, n, de la misma, se escribe an.
 Hay sucesiones cuyo término general es una expresión algebraica,
que nos permite saber cualquier término de la sucesión sabiendo el
lugar que ocupa, n. de los anteriores.
 En otras, cada término se obtiene a partir de los anteriores, se dice
que están dadas en forma recurrente. Una relación de recurrencia
es una expresión algebraica, que expresa el término n en función

4. 4, 7, 10, 13,…
• Primer término: a1=4
• Segundo término: a2=7
• Tercer término: a3=10
• Cuarto término: a4=13
Cada término se obtiene del anterior sumándole 3.
• a2 = a1 + 3 = 4 + 3 = 7
• a3 = a2 + 3 = 7 + 3 = 10
• a4 = a3 + 3 = 10 + 3 = 13
4, 8, 12, 16,…
Cada término se obtiene multiplicando el lugar que ocupa por 4
• a1 = 1·4 = 4
• a2 = 2·4 = 8
• a3 = 3·4 = 12
• a4 = 4·4 = 16

5.  Sucesiones estrictamente crecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o igual
que el anterior.
an+1 > an
 Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 ≥ an
 Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es
menor que el anterior.
an+1 < an
 Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o
igual que el anterior.
an+1 ≤ an

6. Hallar el término general de las siguientes
sucesión:
18, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8= -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5
an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

7.  La sumatoria (o también conocida como operación de suma, notación
sigma o símbolo suma), es una notación matemática que permite
representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos,
evitando el empleo de los puntos suspensivos o de una explícita notación
de paso al límite . La operación sumatoria se expresa con la letra griega
sigma mayúscula Σ, y se representa así:
 Expresión que se lee: " sumatoria de Xi, donde i toma los valores desde 1
hasta n ".
 i es el valor inicial, llamado límite inferior.
 n es el valor final, llamado límite superior.
 Pero necesariamente debe cumplirse que:
 i ≤ n
 Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan
sus límites y su expresión se puede simplificar:

8. Si se quiere expresar la suma de los cinco
primeros números naturales se puede
hacer de esta forma:

9.  La historia relata que cuando Carl Friedrich Gauss tenía diez años su profesor de matemática le
impuso al curso, como una forma de mantenerlos ocupados por largo rato, el siguiente ejercicio:
Sumar todos los números desde el 1 hasta el 100, de este modo:
 1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ……………….+ 98 + 99 + 100 =
Confiado en que los niños estarían ocupados durante mucho rato, el profesor se enfrascó en sus
tareas de estudio, pero a los cinco minutos, el pequeño Gauss le entregó el resultado: 5.050.
Sorprendido, el profesor le pidió a Gauss que le explicara cómo lo hizo:
El pequeño se dio cuenta de que la suma del primer número con el último (1 + 100 = 101) da un
resultado que se repite sumando todos los simétricos: 1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101; 3 + 98 = 101; 4
+ 97 = 101; etc., logrando establecer 50 sumas cuyo resultado es 101.
Entonces, hizo: 50 veces 101 es igual a 50 x 101 = 5.050
Este procedimiento nos conduce a la fórmula de la sumatoria de n números consecutivos:
Si aplicamos la fórmula al problema anterior,
tendremos:

10. Algunas fórmulas de la operación sumatoria:
 Fórmula para la suma de n números consecutivos (1+ 2 + 3 + 4 + 5
……+ n):
 Fórmula para la sumatoria de los cuadrados de n números
consecutivos (1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + ……….+ n 2 ) :
 Fórmula para la sumatoria de los cubos de n números consecutivos
(1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3 + 7 3 ……..+ n 3 ):

11. 1) Cuando el límite inferior sea un entero mayor que 1, la cantidad de términos (sumandos) de una sumatoria se
obtiene haciendo: límite superior (n) menos límite inferior (a) más la unidad (1):
Ejemplo:
Hallar la cantidad de términos de la siguiente expresión:
2) La sumatoria de una constante (k) es igual al producto (la multiplicación) entre dicha constante (k) y la
cantidad de sumandos (términos) :
Ejemplo:
Hallar la sumatoria de la expresión:
3) La suma del producto de una constante (k) por una variable (x), es igual a k veces la sumatoria de la variable.
Ejemplo:
Hallar la sumatoria de la expresión:

12. Una progresión aritmética es una sucesión en que cada término (menos el primero) se
obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de la progresión.
 Si d>0 los números cada vez son mayores, se dice que la progresión es creciente.
2, 4, 6, 8, … → d=2 d>0 CRECIENTE
 Si d<0 los números cada vez son menores, se dice que la progresión es decreciente.
7, 5, 3, 1, … → d=-2 d<0 DECRECIENTE
En una progresión aritmética cada término es igual al anterior más la diferencia. Observa
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2·d
a4 = a3 + d = a1 + 2·d + d = a1 + 3·d
a5 = a4 + d = a1 + 3·d + d = a1 + 4·d
y siguiendo así sucesivamente, se llega a:an = a1 + (n-1)·d
El término general de una progresión aritmética es:an = a1 + (n-1)·d
donde a1 es el primer término y d la diferencia

13.  Ejemplo (termino general):
3, 5, 7, 9, 11, …
a1=3 d=2
an = 3 + (n-1)·2
a10= 3 + 9·2 =21
 Suma de n términos En una progresión aritmética finita de n términos, la
suma de términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de ellos:
a1+an = a2+an-1= a3+an-2 = …
A partir de esta propiedad se obtiene que la suma Sn= a1+a2+.......+an de
los n primeros términos de una progresión aritmética es:

14. Ejemplo (suma de n términos)
Sumar los veinte primeros términos de la
progresión:
-5, 4, 13, 22, 31, 4o
La diferencia es d = 9
a20 = -5 + (20 - 1) · 9
a20 = -5 + 19·9 = 166

15.  Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término (menos el
primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón
de la progresión. Dicho de otro modo, en una progresión geométrica el cociente
entre cada término y el término anterior es una constante r, que se llama razón de
la progresión.
 Suma de n términos
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es:

16. • Suma de todos los términos:
La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón r, es:
•Interpolación: Interpolar significa colocar otros números entre dos dados. Dados dos
números a y b,
• Interpolar n medios diferenciales entre a y b es encontrar x1, x2, …, xn números de
forma que a, x1, x2, … , xn, b formen una progresión aritmética.
• Interpolar n medios proporcionales entre a y b es encontrar x1, x2, …,,xn números de
forma que a, x1, x2, …, xn, b formen una progresión geométrica.
Ejemplo (Progresiones Geométricas):

17. Los conceptos de sucesiones y
progresiones son bastante sencillos y
pueden ser empleados en la solución de
problemas de la vida cotidiana.
 Las sucesiones y progresiones pueden
determinar resultados futuros, de esta
forma se pueden tomar decisiones para
cumplir con los objetivos propuestos.

18.  Matemática (Mayo de 2005), Progresiones
http://www.ditutor.com/sucesiones/progresiones.html
 Vitutor (2014), Tipos de sucesiones
http://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_sucContenidos.html
 Ditutor (2010), Progresiones
http://www.ditutor.com/sucesiones/progresiones.html